三角法及向量法解平面几何题

第27讲三角法与向量法解平面几何题相关知识在中,R为外接圆半径,为切圆半径,,则1,正弦定理:,2,余弦定理:,,.3,射影定理:,,.4,面积:==.A类例题例1．在ΔABC中，b=asinC,c=asin(900-B)，试判断ΔABC的形状。分析条件中有边、角关系,应利用正、余弦定理,把条件统一转化为边或者是角的关系,从而判定三角形的形状。解由条件c=asin(900-B)=acosB=.ΔABC是等腰直角三角形。例2．〔1〕在△ABC中，cosA=，sinB=，则cosC的值为〔〕A．B．C．D．解∵C=(A+B),∴cosC=cos(A+B),又∵A(0,),∴sinA=,而sinB=显然sinA>sinB,∴A>B,∵A为锐角,∴B必为锐角,∴cosB=∴cosC=cos(A+B)=sinAsinBcosAcosB=.选A.说明△ABC中,sinA>sinBA>B.根据这一充要条件可判定B必为锐角。〔2〕在Rt△ABC中，C＝90°，A＝θ，外接圆半径为R，切圆半径为r，当θ为时，的值最小。解答由题意，R＝，r＝．〔其中a、b、c为Rt△ABC的三条边长，c为斜边长〕∴＝＝＝．∵sin〔α＋〕≤1，∴≥＝＋1．当且仅当θ＝时，的最小值为＋1。例3在△ABC中，＝，求证：B、A、C成等差数列。分析由于条件等式是关于三角形的边、角关系，而要证的结论只有角的关系，故应运用正弦定理将边转化为角。而B、A、C成等差数列的充要条件是A＝60°,故应证A＝60°。证明由条件得＝．∵sin〔A＋B〕＝sinC，∴sin〔A－B〕＝sinC－sinB，∴sinB＝sin〔A＋B〕－sin〔A－B〕＝2cosAsinB．∵sinB≠0，∴cosA＝，A＝60°．∴B、A、C成等差数列。例4ABC中，三个角A、B、C的对边分别为，假设，求角C的大小。解由=cosB，故B=，A＋C=.由正弦定理有：，又sinA=sin(-C)=，于是sinC=cosC，tanC=1,C=。A＋C=,要求C需消去A。说明解此题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，从而得关于A、C的两个方程1．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：〔1〕己知两角和任一边，求其它两边和一角；〔2〕己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。己知两边和其中一边的对角解三角形，有一解或两解。2．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：〔1〕己知三边，求三个角；〔2〕己知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。3．解斜三角形：要明确三角形的六个元素(三条边、三个角)中己知什么，求什么。再运用三角形角和定理、正弦定理与余弦定理解题。4．研究三角形的边角关系和判断三角形的形状：运用三角形角和、正弦定理与余弦定理及三角变换公式，灵活进展边角转换。三角形中的边角关系式和三角形形状的判断证明，都可归入条件恒等式证明一类，常用到互补、互余角的三角函数关系。情景再现1△ABC的三个角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b〔b+c〕，求证：A=2B.2．ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a、b、c成等比数列，且〔1〕求的值〔2〕设，求的值3A、B、C是△ABC的三个角，y=cotA+.假设任意交换两个角的位置，y的值是否变化"试证明你的结论.〔2〕求y的最小值.B类例题例5如图，*园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.假设BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．〔１〕用a，表示S1和S2；〔２〕当a固定，变化时，求取最小值时的角。解〔1〕设正方形边长为，则〔2〕当固定，变化时，令，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。o说明三角函数有着广泛的应用，此题就是一个典型的例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。o例6如图，A、B是一矩OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=，设∠AOE=α.〔1〕写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α);〔2〕写出函数f(*)的取值围。解：〔1〕∵OE=1，EF=∴∠EOF=60°当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α)∴f(α)=S△AOB=[tan(45°+α)－tanα]==当a∈〔15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=∴=S△AOB=OA·OB·sin45°=··sin45°=综上得：f(α)=〔2〕由〔1〕得：当α∈[0，]时f(α)=∈[,－1]且当α=0时，f(α)min=；α=时，f(α)ma*=－1；当α∈时,－≤2α－≤，f〔α〕=∈[－,]且当α=时，f(α)min=－；当α=时，f(α)ma*=所以f(*)∈[,]。说明三角函数与其他数学知识有着严密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。注意三角函数的综合应用。例7海中相距2海里的A、B两岛，分别到海岸线〔直线〕的距离的海里和海里，现要在海岸线上建立一个观测站P，使APB最大，求点P的位置，且求APB的最大值。解如图，过P作的垂线PQ交于，，设，且，在直角梯形ABDC中，〔过A作于〕在中求出，设〔〕有最大值时，也有最大值。令，即时，LDBA’CLPALQLLDBA’CLPALQL的最大值为，点P在点D时，最大，最大值为。例8*城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB局部为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短"并求其最短距离.〔不要求作近似计算〕解：在△AOB中，设OA=a，OB=b.因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°.则|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=〔2+〕ab，当且仅当a=b时，“=〞成立.又O到AB的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α.所以a=，b=，ab=·====≥，当且仅当α=22°30′时，“=〞成立.所以|AB|2≥=400〔+1〕2，当且仅当a=b，α=22°30′时，“=〞成立.所以当a=b==10时，|AB|最短，其最短距离为20〔+1〕，即当1.一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.3．根据实际情景，选择适当的变量，建立目标函数，通过函数方法到达问题的解决。情景再现4如图，三棱锥P-ABC的底面ABC为等腰三角形，AB=AC=a，侧棱长均为2a，问BC为何值时，三棱锥P-ABC的体积V最大，最大值是多少？5如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，其中tanα=。在距离港口O为a〔a为正常数〕海里北偏东β角的A处有一个供应科学考察船物资的小岛，其中cosβ=。现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供应科学考察船，该船沿BA方向不变全速追赶科学考察船，并在C处相遇。经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成的三角形OBC面积S最小时，补给最适宜。〔1〕求S关于m的函数关系式S(m)；〔2〕当m为何值时，补给最适宜？C类例题例9．假设△ABC的外接圆的直径AE交BC于D，则tanB•tanC＝．证如图，作AM⊥BC，EN⊥BC，于是有．①另一方面，注意到sinA＝sin∠BEC，＝tan∠AEC＝tanB，＝tan∠AEB＝tanC．因此＝tanB•tanC．②由①、②得tanB•tanC＝．例10在□ABCD的每个边上取一点，假设以所取的四个点为顶点的四边形的面积等于平行四边形面积的一半，则该四边形至少有一条对角线平行于平行四边形的边．证如图，设∠DAB＝α，AD＝a，AB＝b．由面积公式得S△AKN＝AK•ANsinα，S△BLK＝BL•〔b－AK〕•sinα，S△CLM＝〔a－BL〕〔b－MD〕•sinα，S△DMN＝〔a－AN〕•MD•sinα，S□ABCD＝absinα．于是SLMNK＝S□ABCD－〔S△AKN＋S△BLK＋S△CLM＋S△DMN〕＝absinα•[1－]．由SLMNK＝absinα，得〔AN－BL〕〔AK－MD〕＝0．故AN＝BL，或AK＝MD，也就是说LN∥AB或KM∥AD．例11在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE＝∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC〔M、N是垂足〕，延长AE交三角形ABC的外接圆于D点．证明：四边形AMDN与△ABC面积相等．证连结MN、BD，因为FM⊥AB，FN⊥AC，所以A、M、F、N四点共圆．所以∠AMN＝∠AFN，∠AMN＋∠BAE＝∠AFN＋∠CAF＝90°，即MN⊥AD，SAMDN＝AD•MN．又因为∠CAF＝∠BAD，∠ACF＝∠ADB，所以△AFC∽△ABD，所以，AF•AD＝AB•AC．而AF•sin∠BAC＝MN，AF＝，所以S△ABC＝AB•Acsin∠BAC＝AF•ADsin∠BAC＝AD•MN＝SAMDH．例12如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC＝∠EAC．证连结BD交AC于H，对△BCD用塞瓦定理有：．因为AH是∠BAD的角平分线，由角平分线定理有：．故设∠BAC＝∠DAC＝α〔α∈〕，设∠GAC＝∠1，∠EAC＝∠2，由角公式有：，，于是，即sin∠1•sin〔α－∠2〕＝sin∠2•sin〔α－∠1〕，所以sin∠1•sinαcos∠2－sin∠1•cosαsin∠2＝sin∠2•sinαcos∠1－sin∠2•cosαsin∠1．所以sin∠1•cos∠2＝cos∠1•sin∠2，即sin〔∠1－∠2〕＝0，而∠1，∠2∈，所以∠1－∠2＝0，即∠GAC＝∠EAC．情景再现在圆接四边形ABCD中，BC＝CD．求证：AC2＝AB•AD＋BC2．在△ABC中，假设D是BC上一点，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，则第27讲作业1．在△ABC中，acosB=bcosA是△ABC为等腰三角形的()A．必要但不充分条件B.充分但不必要条件C．充分必要条件D.既非充分又非必要条件2．设A是△ABC中的最小角，则函数y＝sinA－cosA的值域为〔〕A.[－，]B.〔－1，〕C.〔－1，D.[－1，]3．ΔABC中，AB=AC，AB边上的高为，AB边上的高与BC的夹角为60º，则ΔABC的面积是()A．B．C．2D．38．船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船北偏东30º，半小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75º，则灯塔S与B点的距离为______海里〔准确到0.1海里〕。4.根据以下条件，判断△ABC的形状(1)acosA＝bcosB(2)sin2Α＋sin2B＝sin2C，且c＝2acosB5.在△ABC中，假设a2＝b〔b＋c〕，则A与B有何关系"6.在△ABC中，求证7.在△ABC中，2sin2A＝3sin2B＋3sin①证明cos2A＋3cosA＋3cos〔B－C〕＝1②求：a∶b∶c8.△ABC的三个角A、B、C满足A+C=2B，且，求cos的值9.△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，假设a，b，c顺序成等差数列，且∠A-∠C=120°，求sinA，sinC．10.⊙O的半径为R，，在它的接三角形ABC中，有成立，求△ABC面积S的最大值．11在中，a，b，c分别是的对边长，a，b，c成等比数列，且，求的大小及的值。12.如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r的平方成反比，即I=k·，其中k是一个和灯光强度有关的常数，则怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？13在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，假设要使AD最小，求AD∶AB的值14如图，海岛上有一座海拔米高的山，山顶上设有一个观察站．上午时测得一轮船在岛北偏东的处，俯角为，时分又测得该船在岛的北偏西的处，俯角为。〔1〕该船的速度为每小时多少千米？〔2〕假设此船以不变的航速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时所在点离开岛多少千米？15锐角三角形ABC中，〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕设AB=3，求AB边上的高.16情景再现答1．证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b〔b+c〕中，得sin2A=sinB〔sinB+sinC〕sin2A－sin2B=sinBsin－=sinBsin〔A+B〕〔cos2B－cos2A〕=sinBsin〔A+B〕sin〔A+B〕sin〔A－B〕=sinBsin〔A+B〕，因为A、B、C为三角形的三角，所以sin〔A+B〕≠0.所以sin〔A－B〕=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.2〔1〕由，得由及正弦定理得于〔2〕由得，由，即由余弦定理解：〔1〕∵y=cotA+=cotA+=cotA+=cotA+cotB+cotC，∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.〔2〕∵cos〔B－C〕≤1，∴y≥cotA+=+2tan=〔cot+3tan〕≥=.故当A=B=C=时，ymin=.评述：此题的第〔1〕问是一道结论开放型题，y的表达式的外表不对称性显示了问题的有趣之处.第〔2〕问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥.4分析：因为三棱锥的三条侧棱长均相等，因此顶点P在底面上的射影O是△ABC的外心，从而想到用正弦定理，再利用三角函数来求最值．解：作PO⊥底面ABC，垂足为O．由PA=PB=PC=2a，知O为△ABC∵AB=AC=a，∴O落在底面ABC的高AD上．设∠ABC=θ，连结BO，则BO为△ABC外接圆的半径．记BO=R，由正弦定理，有，∵BD=acosθ，AD=asin．∴当时，．此时，．5解：〔1〕以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系。直线OZ的方程为y=3*，①设A(*0，y0)，则*0=3sinβ=9a，y0=3cosβ=6a，∴A(9a，6又B(m，0)，则直线AB的方程为y=(*-m)②由①、②解得，C()，∴S(m)=S△OBC=|OB||yc|=，()。〔2〕S(m)=3a[(m-7a)+]≥84a当且仅当m-7a=，即m=14a>7故当m=14a6证设四边形ABCD的外接圆半径为R，两条对角线的夹角为θ，由面积公式得S△ABD＝AB•AD•sin∠BAD．S△BCD＝BC•CD•sin∠BCD．以上两式相加，并注意到BC＝CD，sin∠BAD＝sin∠BCD．可得SABCD＝〔AB•AD＋BC2〕sin∠BCD．①另一方面SABCD＝AC•BD•sinθ＝ACsinθ•2Rsin∠BCD．注意到θ＝∠ABD＋∠BAC＝∠ABD＋∠BDC＝∠ABD＋∠DBC＝∠ABC，2Rsinθ＝2Rsin∠ABC＝AC于是得SABCD＝AC2•sin∠BCD．②由①、②得AC2＝AB•AD＋BC2．7证明简介：

在△ABD和△ABC中，由余弦定理，得第八讲答案1.B2.C3.A4.11.34.解：(1)∵acosA＝bcosB∴∴即sinAcosA＝sinBcosB∴sin2A＝sin2B∴2A＝2B或2A＝π－2B∴A＝B或A＋∴△ABC是等腰三角形或直角三角形(2)∵sin2A＋sin2B＝sin2∴∴a2＋b2＝c2故△ABC是直角三角形，且C＝9O°，∴cosB＝，代入c＝2acosB得cosB＝∴B＝45°，A＝45°综上，△ABC是等腰直角三角形5.解：由正弦定理得sin2A＝sinB〔sinB＋sinC〕∴sin2A－sin2B＝sinB·sinC，〔sinA＋sinB〕〔sinA－sinB〕＝sinBsinC，sin〔A＋B〕sin〔A－B〕＝sinB·sinC∵sin〔A＋B〕＝sinC，∴sin〔A－B〕＝sinB，∴A－B＝B，A＝2B，或A－B＝π－B(舍去)故A与B的关系是A＝2B6.证明：由余弦定理，知a2＋b2－c2＝2abcosC，a2－b2＋c2＝2cacosB，∴7.解：由①得2a2＝3b2＋3c2∵cosA＝－cos〔B＋C〕由②得3cos〔B－C〕－3cos〔B＋C〕＝1－cos2A＝2sin2A＝3sin2B＋3sin2∴cos〔B－C〕－cos〔B＋C〕＝sin2B＋sin2C，2sinBsinC＝sin2B＋sin2C即〔sinB－sinC〕2＝O，∴sinB＝sinC，∴2RsinB＝2RsinC，∴b＝c代入③得a＝b∴a∶b∶c＝b∶b∶b＝∶1∶18.解法一由题设条件知B=60°，A+C=120°设α=，则A－C=2α，可得A