福建省宁德高中、柘荣一中高三上学期第二次联考数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年福建省宁德高中、柘荣一中高三（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A=｛x|log2x＜1｝，B={y|y=2x，x≥0｝，则A∩B=()A．∅ B．｛x｜1＜x＜2} C．｛x|1≤x＜2} D．｛x｜1＜x≤2｝2．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．等差数列｛an}的前n项和为Sn，若S2=2,S4=10,则S6等于()A．12 B．18 C．24 D．424．已知函数f（x）=x3+ax+4则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增"的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分，也不必要条件5．如图曲线y=x2和直线x=0，x=1,y=所围成的图形（阴影部分)的面积为（）A． B． C． D．6．已知递增等比数列｛an｝满足a3•a7=6，a2+a8=5,则=（）A． B． C． D．7．已知，且﹣π＜α＜，则等于（）A． B． C． D．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495,135，则输出的m=(）A．0 B．5 C．45 D．909．已知x=lnπ，y=log52，，则(）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x10．若两个非零向量,满足|+｜=|﹣｜=2｜|，则向量+与﹣的夹角是(）A． B． C． D．11．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形,则该几何体的侧面积为（）A．12+ B．6+ C．12+2π D．6+4π12．已知函数f（x)=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．设a＞0,b＞0,且a+b=1，则+的最小值为．14．在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）．15．在矩形ABCD中,AB=4，BC=2，E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点，则•的最大值为．16．在数列{an｝中，已知a1=1，an+1﹣an=sin，记Sn为数列{an}的前n项和,则S2017=．三.解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f(x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x)的最小正周期及单调递增区间．18．已知数列｛an}前n项和为Sn,且满足3Sn﹣4an+2=0．（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；（Ⅱ）令bn=log2an，Tn为｛bn}的前n项和，求证:．19．如图，已知D是△ABC边BC上一点．（1）若B=45°，且AB=DC=1，求△ADC的面积；（2）当∠BAC=90°时，若,且，求DC的长．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形,AB=1,AA1=,D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．(Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA,求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．21．已知a是实常数，函数f(x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x)在x=1处的切线过点A(0，﹣2），求实数a的值;（2)若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1)＞﹣．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程是(θ为参数）,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ)求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ)设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．

2016—2017学年福建省宁德高中、柘荣一中高三（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A=｛x｜log2x＜1}，B={y|y=2x，x≥0}，则A∩B=（）A．∅ B．{x|1＜x＜2} C．｛x｜1≤x＜2} D．{x|1＜x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A=｛x｜log2x＜1｝=｛x｜0＜x＜2}，B={y|y=2x，x≥0}=｛y｜y≥1｝，∴A∩B={x|1≤x＜2｝．故选：C．2．已知i是虚数单位,则复数在复平面内对应的点在(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1,﹣1），位于第三象限．故选：C．3．等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2，S4=10,则S6等于（)A．12 B．18 C．24 D．42【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的性质s2，s4﹣s2,s6﹣s4成等差数列进行求解．【解答】解：∵等差数列｛an}的前n项和为Sn，∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列，即2，8,S6﹣10成等差数列，∴2+S6﹣10=8×2，∴S6=24,故选C．4．已知函数f(x)=x3+ax+4则“a＞0”是“f（x）在R上单调递增"的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分，也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用函数单调性和导数之间的关系求出a的取值范围结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解:若f（x)在R上单调递增，则函数的f（x）的导数f′(x）=x2+a≥0恒成立,即a≥0，∴“a＞0”是“f（x)在R上单调递增"的充分不必要条件，故选：A5．如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A． B． C． D．【考点】定积分．【分析】先联立y=x2与y=的方程得到交点，继而得到积分区间，再用定积分求出阴影部分面积即可．【解答】解：由于曲线y=x2(x＞0）与y=的交点为(），而曲线y=x2和直线x=0，x=1,y=所围成的图形（阴影部分）的面积为S=，所以围成的图形的面积为S==（x﹣x3）｜+（x3﹣x）|=．故答案选D．6．已知递增等比数列{an｝满足a3•a7=6，a2+a8=5，则=（）A． B． C． D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质及其通项公式即可得出．【解答】解：递增等比数列｛an}满足a3•a7=6，a2+a8=5，∴a2a8=6，a2+a8=5,解得a2=2，a8=3．∴==．故选:D．7．已知，且﹣π＜α＜,则等于（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据同角三角函数基本关系根据=sin（+α），求得sin(+α)的值,进而根据α的范围确定+α的范围，求得．【解答】解：=cos［﹣（+α）]=sin（+α）又﹣π＜α＜﹣,∴﹣＜+α＜﹣，∴sin(+α）=﹣，∴cos（﹣α）=﹣故选D．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法"，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数)，若输入的m，n分别为495,135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值,模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解:第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0,m=45，n=0,满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C9．已知x=lnπ，y=log52，,则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】不等式比较大小．【分析】利用x=lnπ＞1,0＜y=log52＜,1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=,即y∈（0,)；1=e0＞=＞=，即z∈（，1）,∴y＜z＜x．故选:D．10．若两个非零向量，满足|+｜=|﹣|=2｜｜，则向量+与﹣的夹角是（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．【解答】解：依题意，∵｜+|=｜﹣｜=2｜｜∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==﹣,所以向量与的夹角是，故选C11．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．12+ B．6+ C．12+2π D．6+4π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由俯视图为扇形及正视及侧视图为矩形知，该几何体由圆柱切割而成，故分矩形及曲面求侧面积．【解答】解：该几何体的侧面积由矩形的面积及曲面面积构成，其中矩形的面积为2×3×2=12，曲面的面积为×2×3=2π，故其侧面积S=12+2π，故选C．12．已知函数f(x)=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】分段函数的应用．【分析】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0)关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin(）﹣1,则若f（x）=sin（）﹣1,（x＜0）关于y轴对称,则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（)﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f(x）=logax,x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜loga5，即loga5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A二、填空题:本题共4小题,每小题5分13．设a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的应用，即可求+的最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+,当且仅当，即a=b=时,取等号．故答案为：4．14．在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为120（用数字作答)．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（2+x)5的展开式的通项公式，计算在(1+x）（2+x)5的展开式中含x3的项是什么,从而求出x3的系数．【解答】解：（2+x)5的展开式的通项是，所以在（1+x）(2+x)5=（2+x)5+x（2+x）5的展开式中,含x3的项为，所以x3的系数为120．故答案为:120．15．在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则•的最大值为18．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可分别以直线DC，DA为x轴,y轴,建立平面直角坐标系，进而求出A，E的坐标，并设F（x，y）,从而可求出，这样设z=4x﹣y+2，利用线性规划的方法即可求出z的最大值，即求出数量积的最大值．【解答】解：据条件，分别以边DC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，2），E（4，1），设F（x，y），x0≤x≤4，0≤y≤2;∴；∴；设z=4x﹣y+2，则y=4x+（2﹣z）;∴2﹣z是直线y=4x+（2﹣z）在y轴上的截距，截距最小时，z最大;可看出直线y=4x+（2﹣z）过点C(4,0）时z最大;即0=16+2﹣z，z=18．故答案为：18．16．在数列{an}中，已知a1=1,an+1﹣an=sin,记Sn为数列{an}的前n项和，则S2017=1009．【考点】数列的求和．【分析】a1=1，an+1﹣an=，a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，a5=a1，以此类推可得an+4=an．即可得出．【解答】解：∵a1=1,an+1﹣an=，∴a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，∴a5=a1，以此类推可得an+4=an．∴则S2017=504×（a1+a2+a3+a4）+a1=504×2+1=1009．故答案为:1009．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x)=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=,求f（α)的值；（2)求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【考点】正弦函数的图象．【分析】(1)根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f(x），求出f（x)的最小正周期与单调增区间即可．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×(+）﹣=;（2）∵函数f(x）=cosx（sinx+cosx)﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f(x）的最小正周期为T==π;令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x)的单调增区间为[kπ﹣，kπ+］，k∈Z．18．已知数列｛an}前n项和为Sn,且满足3Sn﹣4an+2=0．（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式;（Ⅱ）令bn=log2an,Tn为｛bn｝的前n项和，求证：．【考点】数列的求和;数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n=1,a1=2，当n≥2,求得an=4an﹣1，数列｛an}是首项为a1=2，公比为4的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可得出，（Ⅱ）写出｛bn}的通项公式，bn=2n﹣1，及前n项和Tn=n2，采用裂项法，化简=＜2．【解答】解：（Ⅰ）由3Sn﹣4an+2=0,令n=1，可得：a1=2;…当n≥2时，可得(3Sn﹣4an+2）﹣（3Sn﹣1﹣4an﹣1+2)=0⇒an=4an﹣1…所以数列｛an}是首项为a1=2，公比为4的等比数列，故：=22n﹣1…(Ⅱ)，Tn=1+3+…+（2n﹣1）=n2…≤…==＜2…19．如图，已知D是△ABC边BC上一点．（1)若B=45°，且AB=DC=1，求△ADC的面积；（2）当∠BAC=90°时，若，且，求DC的长．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（）1）过A点作AE⊥BC，交BC于点E，由已知可求AE，进而利用三角形面积公式即可计算得解．（2)设CD=x，则BD=2x,AC=x,可求BC=3x，进而利用余弦定理,三角函数的定义建立方程即可解得DC的值．【解答】解:（1）过A点作AE⊥BC，交BC于点E，∵B=45°，且AB=DC=1，则AE=ABsinB=,可得：S△ADC=DC•AE=×1×=，(2）设CD=x，则BD=2x，AC=x，∴BC=CD+BD=3x，∴cos∠ACB==在△ADC中由余弦定理可得AD2=AC2+CD2﹣2AC•CD•COS∠ACB，即(4）2=3x2+x2﹣2×x•x•，解得x=4，即DC=420．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形，AB=1,AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ)证明：BC⊥AB1；(Ⅱ)若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ)要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x,y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可得出结论．【解答】(I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点,AB=1，AA1=，AD=,所以在直角三角形ABB1中,tan∠AB1B=，在直角三角形ABD中，tan∠ABD=,所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°,即BD⊥AB1,又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD,所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD,OB1，OC所在的直线为x，y,z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A(0，﹣，0），B(﹣，0，0)，C（0,0，)，B1(0,，0）,D（，0，0)，又因为=2，所以所以=(﹣,，0），=（0,，)，=（），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=(1,，﹣）是平面ABC的一个法向量,设直线C1D与平面ABC所成角为α，则sinα=．21．已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f(x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1,x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f(x2）＞f（x1）＞﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1)求出f(x）的导数,求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点(0,﹣2），即可解得a；（2）①依题意：f′（x）=0有两个不等实根x1，x2(x1＜x2），设g(x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1∈（0，1），设h（x)=（xlnx﹣x)（0＜x＜1）,求得h（x)的单调性,即可得证．【解答】（1)解：由已知可得，f′（x)=lnx+1+2ax(x＞0)，切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx