2024届一轮复习人教A版 函数与导数 作业（五）

函数与导数（五）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数，记，，，则（

）A． B． C． D．2．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=3，则f（-2）=（

）A．-7 B．7 C．-5 D．53．函数（其中为自然对数的底数）的图象如图所示，则（

）A．，B．，C．，D．，4．已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（

）A． B． C． D．5．已知定义在上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为A．-5 B．-6 C．-7 D．-86．已知函数，若在恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．7．函数的图象大致是（）A． B． C． D．8．若函数在区间上存在极大值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．二、多选题9．已知随机变量满足，，，若，则（

）A．有最大值 B．无最小值C．有最大值 D．无最小值10．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的可能取值为（

）A． B．0 C． D．211．若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A． B． C． D．12．已知函数，下列结论中正确的是（

）A．函数在点处的切线斜率为B．对于，恒成立C．若，则D．若对于恒成立，则a的最大值为三、填空题13．设函数，若，则．14．如图，圆O：交x轴的正半轴于点A．B是圆上一点，M是弧的中点，设∠AOM=（），函数表示弦AB长与劣弧长之和．当函数取得最大值时，点M的坐标是________．15．已知，则___________.16．已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________．四、解答题17．设函数，．(1)若，求函数的单调区间和最值；(2)求函数的零点个数，并说明理由．18．已知函数（k为常数），函数，（a为常数，且）.（1）若函数有且只有1个零点，求k的取值的集合.（2）当（1）中的k取最大值时，求证：.19．已知函数.（I）求在其定义域上单调区间；（II）若，都有成立，求实数的取值范围.20．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．21．已知．(1)求的解集；(2)已知在上恒成立，求实数a的取值范围．22．已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点为，且，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：1．D【分析】首先根据函数是偶函数判断，然后比较得到，最后根据函数在上单调递增比较三个函数值的大小即可.【详解】因为，，由对数的单调性可知：，所以，且，因为函数，所以函数为偶函数，从而，因为时，，所以，则当时，，所以在上单调递增；则当时，，所以在上单调递增；因为，所以，即；故选：D.【点睛】对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断．对于不同底而同真数的对数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与真数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．当底数与真数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．2．B【分析】首先设，利用，求的值.【详解】设，，所以，所以.故选：B3．C【分析】根据函数的对称轴确定的范围，再根据函数有最大值确定的范围.【详解】函数关于对称，而根据图象可知，，函数可拆成，，根据图象可知，函数有最大值，有最大值，即图象开口向下，.故选C【点睛】本题考查由函数图象确定解析式参数的范围，意在考查识图能力，属于基础题型.4．B【分析】首先证得的周期为，进而根据周期性和奇偶性以及对数得运算即可求出结果.【详解】因为函数为奇函数，所以，所以，所以，所以，即，所以的周期为.所以，又时，，所以，所以.故选：.5．C【详解】试题分析：由题意知，函数的周期为2，则函数在区间上的图像如下图所示：由图形可知函数在区间上的交点为，易知点的横坐标为-3，若设的横坐标为，则点的横坐标为，所以方程在区间上的所有实数根之和为.考点：分段函数及基本函数的性质.6．C【详解】分析：首先能够发现，下边需要考虑的就是时，上式可以转化为恒成立，之后转化为最值来处理，在解题的过程中，需要反复求导，化简式子，研究对应函数的单调性，得到时，单调递增，之后应用极限的思想，利用洛必达法则求得结果.详解：由题意知满足条件，当时，在恒成立可以转化为在时恒成立，令，则，令，则，因为，所以，所以函数在上单调递减，所以，从而得到，即函数在上单调递增，而，故的取值范围是.点睛：该题考查的是应用导数研究恒成立问题，在解题的过程中，需要构造新函数，将问题转化为求最值问题来解决，该题注意到，也可以通过让函数单调递减，导数小于等于零恒成立，求出结果，再验证其他范围时不成立，从而得到最后的答案.7．C【详解】由与时，>0可知原函数图象大致为C．8．C【详解】因，即，由题设可知，即，解之得，应选答案C．9．BD【分析】利用，的计算公式求出，再利用函数的单调性即可判断出结论．【详解】由题意可得，，因为在上单调递减，所以当时，无最大值和最小值.故A错误，B正确.，因为在上单调递减，所以当时，无最大值和最小值.故C错误，D正确.故选:BD.10．CD【分析】原不等式转化为时，恒成立，只需证明时，恒成立，对求导得，则，分别讨论和，即可求解.【详解】由题意得：时，恒成立，即时，恒成立，设（），则,,所以时，恒成立.又，则，①时，，设，存在时，，即在上是减函数，此时，，不满足题意；②时，在上恒成立，所以在上恒成立，设（），即，则，令（），则，当时，，所以在上是增函数，则时，，即时，时，，所以时，.则，又时，有，，所以，当且仅当时等号成立，故时，.所以在上是增函数，则，所以时，在上恒成立.综上，时，在恒成立，故选：CD【点睛】对导函数二导后进行放缩判断正负是问题的关键11．AD【分析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，再由导数为3求解.【详解】解：设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，对于函数，，则，解得，所以，即.对于函数，，则，又，所以，又，所以，.故选：AD12．BD【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而判断A，设，利用导数说明函数的单调性，即可判断B，再根据函数的单调性判断C、D；【详解】解：对于选项A，因为，所以，所以，所以函数在点处的切线斜率为，故选项A错误；对于选项B，设，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，故选项B正确；对于选项C，在上单调递减．又，所以，故选项C错误；对于选项D，因为函数在上单调递减，所以函数在上也单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，即a的最大值为，故选项D正确，故选：BD．13．或/19或-6【分析】解：令和分别求解，再根据a的范围即可得答案.【详解】解：由题意得，当时，令，解得，(舍)；当时，令，解得，综上,或.故答案为：或.14．【分析】先求导表示出，求导确定当时，取得最大值，进而求出点M的坐标.【详解】由题意知：圆半径为2，，故，，则，令，解得，又，当时，，单增；当时，，单减；故当时，取得最大值，此时，即.故答案为：.15．4【分析】根据分段函数分段处理及复合函数从里到外的原则即可求解.【详解】，所以.故答案为：.16．【分析】对函数求导，设切点坐标，表示出与，根据导数的几何意义写出切线方程，且该直线过点，代入求解出的值，即可得切线方程.【详解】，设切点坐标为，则，，所以切线方程为，且该直线过点，所以，得，得，所以切线方程为.故答案为：【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.17．(1)增区间为，减区间为；最大值为，无最小值(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）由，求导，再分别令，求解；（2）由，，求导，得到函数有唯一的极大值点，极大值，令，，利用导数法求解.(1)解：函数的定义域为，当时，，，令，得；由，得；由，得．所以，增区间为，减区间为．当时，函数有最大值为，无最小值(2)，，，令，得（舍）或；由，得；由，得．所以，增区间为，减区间为．函数有唯一的极大值点，，令，．因为恒成立，函数为增函数，且，①时，，即函数一定没有零点．②时，，即函数有唯一的零点．③时，，即，，且，，，令，则，当时，成立，所以，所以，∴，，所以，在区间上有唯一零点，在区间上有唯一零点，函数有两个不同的零点．综上所述：①时，函数一定没有零点．②时，函数有唯一的零点．③时，函数有两个不同的零点．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．18．(1){k|k≤0或k=1}(2)见解析【详解】试题分析：（1）由题意得，①当k≤0时，由根的存在性定理可得f(x)在(ek-2，1)上存在唯一零点，符合题意．②当k>0时，可得f(x)在上单调递增，在上单调递减．若，得k=1，显然满足题意；若，则得在上有唯一零点，在上有唯一零点，不符题意．综上可得实数k的取值的集合为{k|k≤0或k=1}.（2）由(1)知k=1，可得lnx≤x-1，而，故．故当k=1时，．再证记，即可得到结论．试题解析：(1)由题意得，①当k≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，+∞)单调递增.而f(ek-2)=k-2-kek-2+1=k(1-ek-2)-1≤-1<0，f(1)=1-k>0，故f(x)在(ek-2，1)上存在唯一零点，满足题意；②当k>0时，令f′(x)>0得0<x<，则f(x)在上单调递增；令f′(x)<0得x>，则f(x)在上单调递减；若，得k=1，显然满足题意；若，则0<k<1，而f=<0，又f=2ln-+1=2+1，令h(x)=lnx-x+1，则h′(x)=，令h′(x)>0，得x<1，故h(x)在(0，1)上单调递增；令h′(x)<0，得x>1，故h(x)在(1，+∞)上单调递减；故h(x)≤h(1)=0，则h=ln-+1<0，即ln-<-1，则f=2ln-+1=2+1<-1<0.故在上有唯一零点，在上有唯一零点，不符题意.综上实数k的取值的集合为{k|k≤0或k=1}.(2)由(1)知k=1，可得lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立，而，故，则k=1时，．记，则F′(x)=(x+1)=(axex-2)，令G(x)=axex-2，则G′(x)=a(x+1)ex>0，故G(x)在(0，+∞)上单调递增.而G(0)=-2<0，G=2(-1)>0，故存在x0∈，使得G(x0)=0，即ax0-2=0.且当x∈(0，x0)时，G′(x)<0，故F′(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，G′(x)>0，故F′(x)>0.则F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，故故ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2).点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．19．(Ⅰ)单调增区间是，，单调减区间是；(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)对求导，分别找到导函数大于和小于时，的取值范围，得到的单调区间.（II）若，都有成立，得到，分别求出最大值，和最大值，得到的范围.【详解】(Ⅰ)的单调增区间是，，单调减区间是.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，令在区间上的最大值为，，都有成立，则而是二次函数，开口向上，最大值在或者处取得.需满足即得：，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、值域，对量词的理解和转化，属于难题.20．(1)单调递增区间为；单减区间为(2)【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出函数的单调区间；（2）同构处理，为设函数，则，结合的单调性得到有两个根，结合第一问中的结论，列出不等关系，求出a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，．函数的单调递增区间为；单减区间为．（2）要使函数有两个零点，即有两个实根，即有两个实根．即．整理为，设函数，则上式为，因为恒成