2024届一轮复习人教A版 等式与不等式专题 作业（五）

人教版2024届高二下学期一轮复习等式与不等式专题（五）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知关于x的方程的两个实根分别为，，且，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．若实数满足，则最大值为（

）A． B．1 C． D．24．若变量，满足条则的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．5．已知向量，满足，，则与的夹角的最大值为（

）A． B．C． D．6．已知集合，则（

）A． B． C． D．7．已知，若存在点，使得，则的取值范围为A． B． C． D．8．若x，y满足约束条件，则的最大值是（

）A．6 B．12 C．16 D．18二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．为内一点，且，则为的重心B．展开式中的常数项为40C．命题“对任意，都有”的否定为：存在，使得D．实数满足，则的最大值为10．已知，且，则下列结论中正确的是（

）A．有最大值 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最大值411．已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（

）A． B．当时，C． D．12．若a，b，c都是正数，且则（

）A． B． C． D．三、填空题13．若满足约束条件，则的最大值为___________．14．已知x，y满足约束条件，则的最大值为______．15．已知实数，满足约束条件，则的最小值为______.16．已知实数、满足条件，则目标函数的最大值为___________.四、解答题17．某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2．（Ⅰ）求f(x)的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）当x等于多少时，f(x)取得最小值？18．若函数（，）的部分图象如图所示，其中，．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角，，的对边分别为，，，，且满足，求面积的最大值．19．在中，，，分别为的内角，，所对的边，且.（1）求角的大小；（2）若的面积等于，求的最小值.20．已知函数（1）当时，解关于的不等式（2）对于给定的正数,有一个最大的正数,使得在整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式．（3）函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．21．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用原料3吨，原料2吨；生产每吨乙产品要用原料1吨，原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗原料不超过13吨，原料不超过18吨.求在一个生产周期内生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业可获得最大利润，最大利润是多少万元？22．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，且该抛物线经过点，其焦点在轴上.（Ⅰ）求过点且与直线垂直的直线的方程；（Ⅱ）设过点的直线交抛物线于，两点，，求的最小值.参考答案：1．B【分析】构造函数，根据函数零点的分布，求得关于的不等式组，利用线性规划的知识求得的取值范围.【详解】令，因为关于x的方程的两个实根分别，，且，，所以，，所以，，设，k是满足的点与点连线的斜率，由解得.设，则，在平面直角坐标系中，画出不等式组成的可行域如下图阴影部分所示，直线的斜率为，直线的斜率为.由图可知.故选：B【点睛】本小题主要考查一元二次方程根的分布，考查非线性目标函数取值范围的求法，属于中档题.2．C【分析】求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，所以.故选：C.【点睛】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3．D【分析】做出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，找出的最大值即可．【详解】解：做出直线，与圆的图象，得出不等式组对应的可行域，如图阴影部分所示，根据题意得：的最大值为1，所以的最大值为2．故选：D．【点睛】此题考查了简单线性规划，做出满足题意的图形是解本题的关键，属于基础题．4．D【分析】画出可行域，的几何意义为可行域内的点与定点P(−1,0)距离的平方，结合图形，利用点到直线距离公式求解即可.【详解】画出变量，满足条的可行域，如图，

的几何意义为可行域内的点与定点P(−1,0)距离的平方，由图可知,z的最小值为点P到直线x+2y−1=0的距离的平方,等于.故选：D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．A【分析】设与夹角为，，由，可得，整理可得，根据均值不等式和余弦函数图象，即可求得与的夹角的最大值.【详解】设与夹角为，整理可得：，即，代入可得可得：，即整理可得：当且仅当，即取等号故，结合，根据余弦函数图象可知最大值：故选：A.【点睛】本题主要考查了求两个向量夹角最值问题，解题关键是掌握向量数量积公式和根据均值不等式求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6．C【解析】求解集合的一元二次不等式，然后代入求即可.【详解】，得，所以集合，故.故选：C.7．C【详解】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围.详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选C点睛：题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8．C【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解．【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最大值，此时.故选：C.9．ABC【分析】对A，取中点，得出，根据重心的性质可判断；对B，求出展开式通项，即可求出常数项；对C，根据全称命题的否定为特称命题可得；对D，利用基本不等式可求.【详解】对A，取中点，则，又，所以，所以在中线上，且，所以为的重心，故A正确；对B，的展开式的通项为，令，即，可得常数项为，故B正确；对C，根据全称命题的否定为特称命题可得命题“对任意，都有”的否定为：存在，使得，故C正确；对D，，当且同号时等号成立，解得，所以的最大值为，故D错误.故选：ABC.10．BD【分析】对于A,直接由基本不等式求得，即可判断A；对于B，将代入中，结合二次函数性质即可判断；对于C,将变形为，展开后，利用基本不等式即可判断；对于D,构造函数，利用导数求得最大值，即可判断.【详解】对于A选项，因为，且，所以由可得，当且仅当时等号成立，.故A错误；对于B选项，由，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C选项，因为所以，当且仅当即时等号成立，故C错误对于D选项，因为，令，解得或（舍），令，解得，令，解得，故，此时，故D正确故选：BD11．BCD【分析】由作差法可判断AC，根据基本不等式可判断BD.【详解】对于A，，由于，所以，故，因此，故A错误，对于B,当时，由于，所以，因此，故B正确，对于C，由于，所以，所以，故C正确，对于D,由于，，故D正确，故选：BCD12．BCD【分析】设，得到，，，再逐项判断.【详解】解：设，则，，，，，，所以，，因为，所以，则等号不成立，所以，则，因为，所以，故选：BCD13．【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为直线在轴截距最小问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，当取得最大值时，直线在轴截距最小，由图形可知：当过点时，其在轴截距最小，由得：，即，.故答案为：.14．24【分析】根据题意作出可行域，结合目标函数的几何意义求最大值.【详解】画出可行域如图阴影部分（含边界）所示，表示斜率为，纵截距为的直线，平移直线，当表示的直线经过点A时，z取得最大值，联立方程组，解得，即，所以．故答案为：24.15．【分析】作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解与点的斜率，观察图形斜率最小在点B处，联立，解得点B坐标，即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域，该目标函数视为可行解与点的斜率，故由题可知，联立得,联立得所以，故所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.16．【分析】根据目标函数的几何意义求解即可.【详解】该不等式组对应的平面区域如下图所示目标函数可化为平移直线，当该直线过点时，取最大值，即故答案为：【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用的几何意义，结合图象得出最值.17．（1）定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}（2）当x＝75时，f(x)取得最小值．【详解】（1）因为,

所以定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．

（2）f(x)＝＝，因为1≤x≤99，x∈N*，所以＞0，＞0，所以≥2＝6，当且仅当＝，即当x＝75时取等号．答：当x＝75时，f(x)取得最小值．18．（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用，，结合和，可求得和，从而确定函数的解析式，进而求其单调区间；（Ⅱ）由，求得，再由，结合余弦定理和基本不等式求得的范围，进而可得三角形面积的最大值．【详解】解：（Ⅰ）由，得，又，故．由，得，即，，解得，．由，结合函数图象可知，则，故，，因此函数．令，，则，，故函数的单调增区间为，．（Ⅱ）由，得，又，所以．因为，由余弦定理得（当且仅当时等号成立），，所以面积的最大值为．19．（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理和和角的正弦化简即得解；（2）先化简得到，由余弦定理得到，再解不等式即得解.【详解】（1）由正弦定理得因为，所以所以即因为，所以所以，又，所以.（2）由得又，所以又因为所以，即解得，当且仅当时等号成立所以的最小值为.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由余弦定理得到后，能联想到重要不等式构建不等式.20．（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）解两个一元二次不等式，然后求交集；（2）在上递减，在上递增，，，因此由和分类讨论．（3）由，因此可分和分类讨论，结合二次函数性质可得．【详解】（1）不等式为，即，∴，∴或，∴原不等式解集为；（2），即，，易知在上递减，在上递增，，，当，即时，且，，解得，当时，，因此，且，，解得，∴．（3）由于，由题意或，这时，，若，则，∴，；若，即，∴，，，综上或．【点睛】本题考查二次函数的单调性与最值，解题时必须进行分类讨论，难度较大．21．甲生产吨，乙生产吨，最大利润为万元【分析】首先设生产甲种产品吨，乙种产品吨，则利润，从而得到不等式组，再根据可行域的图形和的几何意义求解即可.【详解】设生产甲种产品吨，乙种产品吨，则利润，由题知：，不等式组表示的可行域如图所示：联立，即.，表示直线的轴截距的倍.当直线过时，取得最大值，.所以在一个生产周期内生产甲生产吨，乙生产吨时，该企业可获得最大利润，最大利润是万元.22．（Ⅰ）.（