一些解决TSP问题的算法及源代码

模拟退火算法ﻫ模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高，再让其缓缓冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而缓缓冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。依据Ｍｅｔropｏｌis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e－ΔE/（kＴ），其中Ｅ为温度T时的内能,ΔE为其转变量，k为Ｂｏlｔｚmaｎn常数.用固体退火模拟组合优化问题,将内能Ｅ模拟为目标函数值ｆ,温度T演化成掌握参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解ｉ和掌握参数初值ｔ开头，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜寻过程。退火过程由冷却进度表（CooｌｉngSchedｕle）掌握，包括掌握参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件Ｓ。ﻫ3．５。1模拟退火算法的模型ﻫ模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分.

模拟退火的基本思想:

(１)初始化:初始温度T（充分大)，初始解状态S（是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L

（2)对ｋ=１，……，Ｌ做第（3）至第6步:ﻫ（３)产生新解S′ﻫ（4)计算增量Δt′＝Ｃ（S′）—C（Ｓ），其中C(S)为评价函数ﻫ(５）若Δｔ′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率eｘp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解．ﻫ（6）如果满意终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。ﻫ终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。ﻫ（7)T逐渐削减，且T—＞0,然后转第２步.ﻫ算法对应动态演示图:ﻫ模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：ﻫ第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受,削减算法耗时,通常选择由当前新解经过简洁地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有肯定的影响。ﻫ其次步是计算与新解所对应的目标函数差。由于目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算.事实表明，对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。ﻫ第三步是推断新解是否被接受，推断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Ｍeｔroｐo１ｉs准则:若Δt′〈0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率eｘｐ(－Δｔ′/T）接受S′作为新的当前解Ｓ。

第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可.此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开头下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上连续下一轮试验。ﻫ模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S（是算法迭代的起点）无关；模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。３。5．２模拟退火算法的简洁应用ﻫ作为模拟退火算法应用,商量货郎担问题（TｒａvellｉｎgSalesmanProblem，简记为TSP）：设有n个城市,用数码１,…，ｎ代表。城市i和城市j之间的距离为ｄ(i,j）i，j＝1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短。。ﻫ求解ＴSＰ的模拟退火算法模型可描述如下:ﻫ解空间解空间Ｓ是遍访每个城市恰好一次的全部回路，是｛1，……，ｎ｝的全部循环排列的集合，S中的成员记为(ｗ１，w2，……，wn），并记wn+1＝w1。初始解可选为（1，……,ｎ）ﻫ目标函数此时的目标函数即为访问全部城市的路径总长度或称为代价函数:我们要求此代价函数的最小值。ﻫ新解的产生随机产生１和n之间的两相异数ｋ和m,若k〈m，则将

（ｗ1,ｗ２，…,ｗｋ,wk+1,…，ｗm，…,ｗｎ)ﻫ变为:

(w1,ｗ2，…，wｍ，wm—1，…，wk+1,wk，…，wｎ）．ﻫ如果是k〉m,则将ﻫ（w１，w2，…,wk,wk+1,…,ｗm，…,ｗn)

变为：ﻫ(wm，wm—１，…,w1,wm+1，…，wk－1，wn,wn-1，…，wk）。ﻫ上述变换方法可简洁说成是“逆转中间或者逆转两端”。ﻫ也可以采纳其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法.ﻫ代价函数差设将（ｗ1,w２,……，ｗn)变换为（ｕ1，ｕ2,……，uｎ)，则代价函数差为：依据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSＰ问题的伪程序：ﻫＰroｃｅdureＴSPSA:ﻫｂeｇinﻫinit—of－T；｛Ｔ为初始温度｝ﻫＳ＝{1，……，ｎ｝；｛S为初始值｝ﻫtermiｎatｉoｎ=fａlse;ﻫwｈiｌetｅrminａtioｎ=falｓｅﻫbeｇinﻫｆori=１toＬdoﻫbegiｎﻫgｅｎｅrate（S′fｏrmS）;{从当前回路Ｓ产生新回路S′｝ﻫΔt:=f（S′))—ｆ（Ｓ）;{f(S）为路径总长｝

IF（Δｔ〈０）OR（ＥXP（—Δt/Ｔ）>Ｒａndｏm—of-[0，1］)ﻫS＝S′；ﻫIＦthe-halt－condｉｔｉon—iｓ—TRＵEＴHEＮﻫtｅｒｍｉnaｔion=true;ﻫＥｎd；

T_loweｒ;ﻫEｎd;ﻫEｎｄﻫ模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题（MaxCuｔProbｌem)、0－1背包问题（ZeｒoOnｅKｎａｐsacｋPrｏbｌeｍ)、图着色问题（GrａpｈColｏｕｒingPｒoblｅm）、调度问题(ScheｄuｌｉngＰrｏblｅm）等等.３.5。3模拟退火算法的参数掌握问题

模拟退火算法的应用很广泛,可以求解ＮP完全问题,但其参数难以掌握，其主要问题有以下三点：

(1)温度T的初始值设置问题。ﻫ温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜寻性能的重要因素之一、初始温度高，则搜寻到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间；反之,则可节省计算时间,但全局搜寻性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。ﻫ(２）退火速度问题。ﻫ模拟退火算法的全局搜寻性能也与退火速度亲密相关.一般来说，同一温度下的“充分”搜寻(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中,要针对简略问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件.ﻫ（3）温度管理问题。ﻫ温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一.实际应用中，由于必须考虑计算简洁度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式:T（t+1)=k×T(t）ﻫ式中ｋ为正的略小于1。０0的常数，t为降温的次数使用SＡ解决TＳＰ问题的Mａtｌab程序：ｆｕｎcｔiｏｎouｔ=tsp(loc)ﻫ%ＴSPＴｒaｖｅlinｇsaｌesｍanprｏbleｍ（TSP）usｉngSA(siｍｕｌatedａnnealinｇ）。ﻫ％TＳPｂｙitｓelｆwillｇｅnｅrａtｅ２０citｉｅｓwithｉｎaｕnｉtcuｂeandﻫ％ｔhｅnusｅSAtｏｓlovethisproblem．ﻫ%

%TＳP（LOC)solvethetraveｌingｓａleｓｍaｎｐrｏblｅｍwithciｔiｅｓ’ﻫ％ｃｏordｉnaｔesgiveｎbｙＬOC,ｗｈichisａｎＭｂy２ｍatrｉxａｎdMisﻫ%tｈenumbeｒofciｔies。ﻫ%

%Ｆｏｒexａmpｌe：ﻫ%ﻫ％ｌｏｃ=ｒａnｄ(5０,２)；ﻫ％ｔsｐ（ｌｏc）;

ifnａｒｇiｎ＝=0，ﻫ％ＴｈｅｆoｌｌoｗｉngｄａtaiｓｆｒomｔｈepostbyJennifｅｒMｙeｒｓ(HＹPEＲLINK"http：//www。madio．net/bbｓ／mailｔｊmyｅｒs＠nwu＂\t”_blａnk”jｍｙｅｒs@nｗｕ。ﻫｅｄu)

eｄｕ）ﻫ％toｃoｍp.ａｉ．nｅural—nets。Ｉｔ’ｓobtaiｎedfroｍｔhefiguｒeiｎ

％Hｏpfｉｅlｄ&Tａnk’ｓ１985paperinＢｉologｉcａｌCyｂｅｒｎeticｓﻫ%(Ｖoｌ５2，pp.1４1-152）.ﻫｌoc=［0.3６６３,0.9076；0.7４5９，0。8713；0.４5２１，0．8４６5;ﻫ0.７６２4，0。745９；0.7０96，0.7２２８；0。0７10，0．742６；ﻫ０.４224,0。７１29；0．590８,０．6９31;０．3201，0。6４03;ﻫ0.5974,0。6436;0．36３０，0.５９08；0。６7００，0。590８;ﻫ０．６1７2，0。５495；0。６667，0。544６；０.1９80,０。46８６；ﻫ0．349８，０.44８8；0.2673，０.4２７4；0。9４３９,０。4２08;ﻫ0。82１８，０.３7９5;0．３72９,0。２6９0；0.6073，0。２64０；ﻫ０.4158,０.2475；0．５990，０。2261；0．３927，0.1９4７;ﻫ０.５34７,0．１898;0．3960,0.132０；０.6287,０。０８42；ﻫ0.5０0０,0。0３96；0．9８02，0。01８2；０。6８3２，0.85１5］；ﻫｅｎd

NuｍCity＝lｅnｇth(lｏｃ）；％Numｂeｒofciｔiｅｓﻫｄｉｓｔａnｃｅ＝ｚerｏｓ（ＮuｍCitｙ)；%Ｉnｉtiaｌiｚeadisｔaｎceｍａtrix

％Fｉｌｌthedistaｎｃeｍatrixﻫｆoｒi=１：NumCity，ﻫforj＝１:NumCｉｔy，ﻫｄiｓtａnｃe（i,j)=norm(ｌoｃ（i，－ｌoc（ｊ，)；ﻫdiｓtａnｃe（ｉ，j)=nｏｒm（lｏc（i,-loc（j，);ﻫｅnd

enｄﻫ％Togeneｒａteｅnｅrgｙ（objectivｅｆuｎcｔｉon）fｒｏmｐatｈﻫ％patｈ＝ｒandｐｅrｍ（ＮｕmCｉty)；ﻫ%enerｇy=ｓum（dｉstａｎcｅ（(pａｔh－１）＊ＮuｍＣity＋［pａｔｈ(2:ＮumＣity）ｐａth（１）]））；ﻫ％FｉndtｙｐicaｌvａluｅsoｆdEﻫcoｕnt＝20；ﻫａll＿dE=zｅros（cｏunt，１);

ｆori＝1:cｏunｔﻫpａｔｈ=raｎdperｍ（NumＣｉty）；ﻫenerｇｙ＝sum(diｓｔancｅ（(ｐａth－1）＊NｕｍCiｔy+[patｈ(２:NｕmCity）ﻫpaｔh(1）］)）;ﻫｎeｗ＿paｔh＝ｐath；

index=ｒｏund（raｎd（２，1)＊NumCｉty＋.5)；ﻫiｎversｉｏn_iｎdeｘ=(ｍｉn(inｄex)：ｍax（inｄex)）；ﻫnew＿ｐath（inveｒsiｏn_inｄex）=ｆlｉｐｌr（patｈ(inｖersion_ｉndeｘ））；

all＿ｄE（i)=abｓ（energｙ-.．.ﻫsum(sum(difｆ(loc(［new_paｔhnｅw_patｈ（１）］，）’．^2）））；

endﻫdE＝max(ａlｌ_ｄE）;ﻫｄＥ＝max（all_dE）；ﻫtemp=1０＊dE;％Choosｅthetｅｍperatｕｒetｏｂelargeｅｎoughﻫｆprｉntf(＇Inｉtiａｌenｅｒｇy=%ｆ\n＼ｎ’，energｙ)；ﻫ％Ｉnitiaｌplｏts

ｏｕt＝［pａｔｈpath（1)]；ﻫｐloｔ（ｌｏc（ｏut(，1)，ｌoｃ(ｏuｔ（，２），＇r。’，＇Ｍarkersizｅ’，２０)；ﻫaｘiｓsquare；ｈｏｌdonﻫh=plｏｔ(ｌoc（oｕt(，1）,ｌoｃ（out（，2））;ｈolｄofｆ

MaxTrialＮ＝NｕｍＣiｔy＊100；％Mａx.＃oftｒiaｌｓataﻫteｍｐeｒａtuｒｅ

MaxＡcceptN＝ＮuｍCity*１０；％Mａｘ.＃ofacceｐtａncesatａ

teｍpｅratｕre

StopToleraｎce=0.０05；％SｔopｐingtｏleranｃeﻫTeｍpRatiｏ=０．5；％TｅｍpｅrａtureｄｅcreasｅratｉoﻫminＥ＝ｉnf；%Initｉalvａlｕｅforｍｉn。energｙﻫmaxE＝—１；％Iniｔｉalｖａｌｕeforｍax．enｅrgｙﻫ％Ｍａjoranｎealｉngloｏpﻫwｈｉｌｅ(mａxE－miｎＥ)／ｍaxE〉StｏpToｌｅｒａｎｃe，ﻫminE=iｎf；ﻫminE=inf；ﻫmaｘＥ=０；

TrialN=0;%ＮumｂｅｒoｆtriａｌmoveｓﻫＡcｃeptN=０;％NｕｍbｅrｏｆactｕalｍｏvｅsﻫwhiｌｅＴrialN<ＭaｘＴriａlＮ&AccｅptＮ〈ＭaxAｃcｅｐtＮ，ﻫnｅw_patｈ=pａth;ﻫｉndｅx＝ｒoｕｎd（ｒand（２，1）＊NｕｍＣitｙ+．5）；

ｉnvｅｒsioｎ_iｎdeｘ=（min(inｄex）:mａx(inｄｅx))；ﻫnew_path(iｎｖｅrsiｏｎ_ｉndｅx）＝ﻫｆliｐlr（pａｔｈ（iｎveｒsiｏn_ｉndｅｘ)）；

nｅw＿enerｇy＝sum(ｄistａｎｃｅ（．。.ﻫ(new_patｈ－１)＊ＮｕｍCｉｔy＋［ｎeｗ_paｔh（2：NuｍCｉｔy）ﻫｎeｗ_pａｔh（1）］));ﻫifrand＜exp（（eｎeｒgｙ-new＿ｅnｅｒｇy）/temｐ），%

ａccepｔﻫiｔ！ﻫｅnｅrｇy=ｎeｗ_enerｇy；ﻫpａtｈ=new＿ｐath；ﻫmｉｎE=min（minE，ｅnｅｒgy）;ﻫmaxＥ=mａx（maxＥ,eneｒgy)；ﻫAｃｃeptN=AcceｐｔＮ+１；ﻫｅnd

TrｉａlＮ＝TrialＮ+１;

eｎｄﻫenｄﻫ％Ｕpdatｅpｌotﻫout=[pａthpaｔｈ（1）]；ﻫsｅt(h，’xdａta＇,loｃ（oｕt（，1），’yｄata’，loｃ(ｏut（,2）)；ﻫdｒawnｏw；

％Pｒiｎｒｍationincｏmmandwinｄowﻫfprｉntｆ('tｅmp.=％ｆ＼n＇,temp)；ﻫｔmｐ=sprintf（＇％ｄ'，ｐatｈ);ﻫfｐriｎtf(＇path＝％s＼n＇，tｍp)；ﻫｆprinｔf（’energｙ=％f＼n’，enｅｒｇｙ）；ﻫfpｒintｆ('［ｍｉｎEｍaxE]=[%ｆ%f］\n’，minＥ，ｍaxＥ）；ﻫfpｒinｔf（'［AｃcｅptＮTrialN]=［％ｄ%ｄ]＼n＼ｎ’，ＡcceｐｔN，TrｉａｌＮ）;ﻫ％Loweｒtｈｅtｅmpｅｒａｔuｒeﻫteｍｐ=tｅｍｐ＊TempRatiｏ；ﻫendﻫ%Prｉｎtsｅqueｎtiａｌnuｍbeｒｓinthegraphｉcwindow

foｒi=1:NｕmCｉty,

ｔext(loc(path（ｉ），1）+0.01,ｌｏc（pａth（i）,2）+0．0１,iｎt２sｔｒ（ｉ）,。..ﻫ’foｎｔｓize’，8）；ﻫend又一个相关的Matlａｂ程序fuｎction［Ｘ，P]=ｚkp（w，ｃ，M,ｔ0,tｆ)ﻫ[ｍ，n］=size（w)；ﻫL=１00＊n;

t＝t0；

ｃｌeａrm;ﻫx=ｚeros(１，ｎ）ﻫｘｍａｘ=x；ﻫfｍａx＝0;ﻫｗｈｉlｅt>tfﻫｆｏrk=1:L

ｘr=ｃhange(ｘ）ﻫgx=g_0＿1（ｗ,x）;ﻫgxｒ=g_０_1（w,ｘr）;ﻫifｇxr＜＝Ｍﻫfr＝ｆ＿0_1(xr，c);ﻫf＝f＿0_1(ｘ，c)；ﻫdf＝ｆr－f；

ifｄf>0ﻫx=xr；

iｆｆｒ＞fmａx

fｍax＝fr;ﻫｘmａx=ｘr；ﻫｅnｄﻫeｌｓｅﻫp=ｒaｎd；

ifｐ〈ｅｘp（ｄｆ/ｔ)

ｘ=xｒ;ﻫendﻫendﻫｅnｄ

eｎdﻫｔ＝０．8７＊tﻫendﻫＰ=fmaｘ；

Ｘ＝xmax；

%下面的函数产生新解

fｕｎctioｎ［d_ｆ，pｉ＿r］=ｅxchanｇe_２（pi0，d）ﻫ[ｍ，n]=sｉｚe(d）;ﻫclearm;ﻫu=rand;ﻫｕ=ｕ＊（ｎ-２）；ﻫu＝rouｎd(u);ﻫifu〈２ﻫu＝2;ﻫenｄﻫifu＞n—2

ｕ=ｎ—2；ﻫendﻫｖ＝ｒａnd；

v=v＊（n—ｕ＋1）；ﻫv=round(v）；ﻫｉｆv<１ﻫｖ=１;ﻫｅndﻫv=v+ｕ；

ifv>ｎﻫv=n；ﻫendﻫpi_1(ｕ）=pi０（ｖ);ﻫpｉ＿1（ｕ）=pi0（ｕ）；ﻫifｕ〉１ﻫｆｏｒk=１:(ｕ-1)ﻫpi_1(k）=ｐi0(k);ﻫｅndﻫendﻫｉｆv〉(u＋１）

fork＝１:（v-ｕ－1）ﻫpｉ＿1（u+k）＝pｉ０(v-ｋ）;

ｅndﻫendﻫifｖ＜nﻫｆorｋ=(v+１)：ｎﻫpi_1（ｋ)=pi０（k）;ﻫｅnｄ

enｄﻫd＿ｆ=０;ﻫｉｆv<nﻫd_f=d(pi０（ｕ－1)，pi０(v）)+d(ｐi０（ｕ),pi0(ｖ＋1)）；ﻫfork=（u+1):nﻫd_f=ｄ_ｆ+d(pi0（ｋ)，pｉ０（k-１）)—d（ｐｉ０(v),ｐi０(ｖ+1)）;

eｎdﻫｄ_f＝d_ｆ－d（ｐi0（u—1),ｐi0（u））;ﻫｆｏｒk＝(u＋1）:n

d_f=d_f—d(ｐi0（k－１）,ｐi０(ｋ））;ﻫeｎｄﻫｅｌseﻫｄ_f=d(ｐｉ0（ｕ-1）,ｐｉ0(v）)＋d(pi０(u），ｐi0（1))—d（ｐi０(u-1)，pｉ0（ｕ)）—d(ｐi0（ｖ),pi0(１）);ﻫｆork＝(u+1）:nﻫd＿ｆ＝ｄ_ｆ—d（pｉ0(k），ｐｉ0(k－1）);

eｎdﻫfｏrk=(u+１）:ｎﻫd_f＝d＿f－d(pi0（k-1），pi0(k））；ﻫendﻫeｎｄ

pi_r＝pi_1；遗传算法GＡ遗传算法:旅行商问题（travelingsalemanpｒobleｍ,简称tsp):

已知n个城市之间的相互距离,现有一个推销员必须遍访这ｎ个城市，并且每个城市只能访问一次，最后又必须返回动身城市。如何支配他对这些城市的访问次序,可使其旅行路线的总长度最短？

用图论的术语来说,假设有一个图g＝（v,e）,其中ｖ是顶点集,ｅ是边集，设d＝（ｄij）是由顶点i和顶点ｊ之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就是求出一条通过全部顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。ﻫ这个问题可分为对称旅行商问题（dｉj=dji,，任意ｉ，j＝1，2，３,…,n)和非对称旅行商问题(dij≠ｄji,,任意i，j＝1,2，３，…,n）。ﻫ若对于城市v＝{ｖ1，ｖ２，v3，…,ｖｎ｝的一个访问挨次为t＝（t１，t2，t3,…,ｔi,…，tn）,其中ti∈v(ｉ=1，2，3，…,n)，且记tn+1=ｔ1，则旅行商问题的数学模型为：ﻫｍｉｎｌ=σd（ｔ(i),t（ｉ+1））(i=1，…，n)ﻫ旅行商问题是一个典型的组合优化问题,并且是一个np难问题,其可能的路径数目与城市数目n是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最优解，本文采纳遗传算法求其近似解。ﻫ遗传算法：

初始化过程：用v1，v2,v3,…，ｖｎ代表所选n个城市。定义整数pｏｐ—size作为染色体的个数，并且随机产生pop-size个初始染色体，每个染色体为1到１8的整数组成的随机序列.ﻫ适应度f的计算:对种群中的每个染色体vi,计算其适应度,f＝σｄ(t（i),t(i＋1））.ﻫ评价函数ｅvａｌ(vi):用来对种群中的每个染色体vi设定一个概率,以使该染色体被选中的可能性与其种群中其它染色体的适应性成比例,既通过轮盘赌，适应性强的染色体被选择产生后台的机会要大，设ａlpha∈(0,1）,本文定义基于序的评价函数为evａl（vi）=ａｌpha*(１－aｌｐha）。＾（i-1)。［随机规划与模糊规划］ﻫ选择过程:选择过程是以旋转赌轮pop—ｓizｅ次为基础，每次旋转都为新的种群选择一个染色体。赌轮是按每个染色体的适应度进行选择染色体的.

stｅp1、对每个染色体vi,计算累计概率qi，q0=0；ｑｉ=σevaｌ(vj)j＝１，…,ｉ；ｉ=1,…pop－siｚe．ﻫsｔeｐ2、从区间（０，pop—size）中产生一个随机数r;ﻫｓteｐ3、若qi—1＜r＜qi,则选择第i个染色体；ﻫｓｔeｐ４、重复ｓtep2和sｔeｐ3共poｐ-ｓｉze次，这样可以得到ｐop—siｚｅ个复制的染色体。ﻫｇrefensｔetｔｅ编码：由于常规的交叉运算和变异运算会使种群中产生一些无实际意义的染色体，本文采纳grｅｆeｎstｅtｔe编码《遗传算法原理及应用》可以避开这种情况的消灭。所谓的grｅｆensｔｅtte编码就是用所选队员在未选（不含淘汰）队员中的位置,如：

815216１０74３１114６１２951813１7１ﻫ对应：

８1421386325７34３２４22１。ﻫ交叉过程：本文采纳常规单点交叉。为确定交叉操作的父代，从到pｏp—ｓizｅ重复以下过程：从［0,1]中产生一个随机数r,如果r〈ｐc，则选择ｖi作为一个父代。ﻫ将所选的父代两两组队，随机产生一个位置进行交叉,如:ﻫ814２１386３２５73４３24２2１ﻫ６１２35６8５６３1８563321１ﻫ交叉后为:ﻫ814２1３8６3２518５63３21１

612３56８5637343２4221

变异过程:本文采纳均匀多点变异。类似交叉操作中选择父代的过程，在r＜ｐm的标准下选择多个染色体vi作为父代。对每一个选择的父代，随机选择多个位置，使其在每位置按均匀变异（该变异点xｋ的取值范围为［ukmiｎ,ｕｋmax］，产生一个[０,1]中随机数ｒ，该点变异为x'k＝ukmｉn+r（ukmａx—ukmｉｎ)）操作.如：

８142138６32５734324２21

变异后:ﻫ８1421３1０６32273４52４1２1ﻫ反ｇｒｅfeｎstetｔe编码:交叉和变异都是在grefenstｅｔｔe编码之后进行的，为了循环操作和返回最终结果,必须逆grｅfenｓtette编码过程,将编码恢复到自然编码。ﻫ循环操作：推断是否满意设定的带数xｚome,否，则跳入适应度f的计算;是，结束遗传操作,跳出。Matlab程序：ｆunction[ｂestpop，trａce］=ｇａ（d，terｍｏpｓ，num,pｃ，cxoｐs，pm,ａｌｐha）ﻫ％ﻫ%—-—————————-—-—-——————-—ﻫ％［bｅｓtpop,ｔrａce］＝gａ（ｄ，tｅrmops，num，ｐｃ，ｃxopｓ，ｐm，ａlｐha)ﻫ%d：距离矩阵

％terｍｏpｓ：种群代数

％ｎum：每代染色体的个数ﻫ％ｐc:交叉概率ﻫ％ｃxoｐｓ：由于本程序采纳单点交叉,交叉点的设置在本程序中没有很好的解决,所以本文了采纳定点,即第ｃxops，可以随机产生。

％ｐｍ：变异概率

％alｐｈａ:评价函数evaｌ（vi）=alｐha＊（1—ａlpha）。^（ｉ－1）.ﻫ％ｂｅｓtpoｐ:返回的最优种群ﻫ％trａｃe：进化轨迹ﻫ％－—-－——-——-－－－—－－—-—-—－－———--—-－—－——-—-——-———－-——ﻫ%＃#＃＃＠＠@＃＃版权全部!欢迎宽阔网友改正,改进！＃#@＠＠#＃##ﻫ％e-mａil:ｔobｙsidney33＠ｓｏhｕ。ｃomﻫ％#＃＃＃#＃#＃＃＃＃#＃＃#＃＃###＃#＃＃#＃#＃＃＃＃＃＃＃＃#＃＃###＃＃#＃#＃#＃＃#＃ﻫ%ﻫcｉtynum=size(ｄ，２);

n=nａｒgｉｎ；ﻫｉfn<2

disｐ(’缺少变量！！＇）ﻫdiｓp（'^＿^开个玩笑^_＾’)ﻫenｄﻫｉfn<2ﻫteｒmoｐs=500;ﻫｎum＝50;

pc=０.25；ﻫcxopｓ＝3；ﻫpm=0。30；ﻫａｌｐha＝０。１０;ﻫｅｎｄﻫｉfn<3ﻫnｕm=５０；ﻫｐc=0.2５；ﻫcxｏps＝3；ﻫｐm＝０．３0；ﻫalｐha=0。10；ﻫeｎｄ

ｉｆn<4ﻫpc=０.25；ﻫｃxops=3；

pm=0．30；ﻫａｌｐha=0。１0；

ｅｎｄ

ifn<5

cxｏpｓ=3;ﻫpm=０。30；

aｌｐha=0．１0；

endﻫiｆn〈６ﻫpm=０．３0；ﻫaｌpｈａ=0.１０；

eｎｄﻫifn〈7ﻫaｌｐha＝0.10；ﻫｅnｄﻫifisempty（cxopｓ）ﻫcｘｏｐs＝3；ﻫｅｎd[t]=inｉtiａlizegａ（num，ｃitｙnｕm)；ﻫfoｒｉ=１：teｒmopsﻫ［l]=f（d,t)；ﻫ［x，y]=find（l==ｍax(ｌ）)；ﻫｔｒａｃｅ（i）=－l（ｙ（1)）；

ｂｅstｐｏp＝t（y(1）,：）；

[t］＝select(t,l,ａlｐｈa）;

［g］=gｒefｅnstｅｔte（t）；ﻫ［g1］=ｃｒoｓsovｅｒ(ｇ,ｐｃ,cxops）；ﻫ[g]＝mutatｉoｎ（g1，ｐm）;％均匀变异

[ｔ]=congrefenstｅｔte(g);ﻫｅnｄ-－--——-—--—-—-－－-－－-—－--—－——－——－——－——--——－--—－—-———-－-－—-

funｃｔiｏn［t]=inｉtｉａlｉｚｅｇa（ｎｕm，cｉtynuｍ)ﻫfoｒi=1：numﻫｔ（ｉ，：）=rａｎdperｍ（ciｔynuｍ）；ﻫｅndﻫ————--－-—-—-——－－－－－－--—-－——-－———－-———－－——－—--—－——－—－－－—---—ﻫｆｕnｃｔｉｏｎ［l］＝f（d,t）ﻫ[ｍ，ｎ]＝sizｅ(t）；ﻫfｏｒk＝１:mﻫfｏrｉ=１：n-1ﻫｌ(k，ｉ)＝d（ｔ(ｋ，i）,t（ｋ，ｉ+1））;ﻫendﻫl(k,n）＝ｄ（t（k,n)，t(ｋ,1)）；

l(k)＝—ｓum（l（ｋ，：));ﻫendﻫ－-－—－-－—－—-—－——---－－－-——-－————－－—--－－———－--－--——-—-——－--－－-ﻫfunction［ｔ］=selecｔ(ｔ，ｌ,alpｈa）ﻫ［m,n]=size（l）;ﻫｔ1=t；

［beｆｏrｅsorｔ,afｔersorｔ1］＝sｏrt（l，2）;%fｓorｔｆromlｔouﻫfoｒi=1:ｎﻫａftersoｒｔ（ｉ）＝ａftersｏrｔ１(ｎ+１—i）；％cｈａnｇe

eｎdﻫfoｒｋ=1:n;ﻫｔ(ｋ,:)=t１（aftersort（k)，：）；ﻫl１（k）＝l(afterｓｏｒｔ（k））；ﻫｅｎdﻫt１=t；ﻫl=l１;ﻫfｏｒｉ=1：sｉze(aftｅｒｓoｒt，2)

ｅvａlv（i)=alpha*(1-aｌpｈa)。^(i-1)；ﻫeｎd

m=size（t,1)；ﻫｑ＝ｃumｓum（evaｌｖ）；

ｑmax=max(q）;

ｆｏｒｋ=1：mﻫr=qmａx*ｒaｎｄ（１）;ﻫforj=１：ｍ

ifｊ==１&ｒ〈=ｑ（1）ﻫt（ｋ,:)＝ｔ１(1,:）；

eｌseiｆｊ~＝１＆r＞ｑ（j－1)&r<=q（j）

t(ｋ，：）=t１(j，：）;ﻫendﻫenｄﻫenｄﻫ---－—－－－－———————-—－－--—－—－———--——－-——－－－——－——－－——-

fｕnctｉｏn［g]=grｅｆenstetｔe(t）

[m,ｎ］＝sizｅ（t);ﻫfork＝１:m

ｔ0=1:n；

ｆoｒi＝1：nﻫｆoｒj＝１：leｎｇｔｈ(t０)ﻫift（ｋ，i)==t０(j)

ｇ（ｋ,i）＝j；

ｔ0(j）=［];ﻫbreaｋ

ｅndﻫenｄ

enｄ

eｎd

－-—－-—－-－－—－----——-—－—-—－－—－-－-—－－-－－－－－--—ﻫfｕnction[ｇ］＝cｒosｓoveｒ(ｇ，ｐc，ｃxoｐｓ)ﻫ［m,n]=size（g）；ﻫraｎ=rａnd(１，m)；ﻫｒ=ｃxoｐｓ;ﻫ[x，rｕ］=find(ｒａn＜pc）;

ifｒｕ>=２ﻫfｏｒk＝1：2：ｌengｔｈ（ru)-1ﻫg１（ｒｕ(k），：）=[ｇ(ｒu(ｋ）,[１:ｒ］）,g（ｒu（k+1），[（r+1):n]）］;

g（ｒu(k+１)，:)=［ｇ(ru（k+1），[１:ｒ］），g（ru(k),[（ｒ+1)：n])］；ﻫｇ（ｒu（k），：）=g1（rｕ(k)，：）；ﻫeｎdﻫｅｎdﻫ—－－－－－——————---—－-—--—-—－-－—-----—---—－－—--—ﻫfunｃtiｏn[g］＝mutａtion(ｇ,pm）%均匀变异

[m,n]＝sｉze(g）；ﻫｒan=rａnd（1，m）；

r＝rand(１,3）;％ｄaigaijinﻫrr=ｆlｏｏr(ｎ＊rand（1,3）+1);ﻫ［x,ｍu]＝fiｎd（ran<pｍ)；ﻫｆoｒk=1：ｌenｇtｈ(mu）ﻫｆorｉ=1：ｌｅｎｇth(ｒ)

ｕmaｘ（i）＝ｎ+1—ｒｒ（i)；ﻫｕmｉn（i）=1;ﻫg（mu（ｋ)，rr（ｉ）)=umｉｎ（ｉ)+ｆloｏr((umａx（i)—ｕmin(ｉ)）＊r（ｉ））；ﻫeｎｄﻫｅnｄﻫ--－－————--—-－—－——－—－-—-－———－－—－——－－－－－－--－－－－—－－－－-ﻫfunｃtiｏｎ［ｔ]=congrｅｆｅｎｓtette（ｇ）ﻫ[ｍ，n]=size（g)；ﻫｆoｒk＝1:mﻫｔ0=1:n;ﻫｆｏｒi=1：nﻫt（k，i）=t0（ｇ(k，ｉ))；ﻫt0(g(k，i））＝[]；

ｅnｄﻫｅnｄﻫ—－-———---－—－—－－－－—-—－－—-－-－－--—-－－－－—-—-—－－－－—-－－又一个Maｔｌａb程序,其中交叉算法采纳的是由Gｏlｄbｅrｇ和Liｎgｌe于19８5年提出的PMX(部分匹配交叉)，淘汰保护指数aｌｐha是我自己设计的，起到了加速优胜劣汰的作用。％TＳＰ问题（又名：旅行商问题，货郎担问题）遗传算法通用maｔｌab程序ﻫ％D是距离矩阵,n为种群个数，建议取为城市个数的1～２倍，ﻫ%Ｃ为停止代数，遗传到第Ｃ代时程序停止，C的简略取值视问题的规模和耗费的时间而定

％m为适应值归一化淘汰加速指数，最好取为1，2,3,4，不宜太大ﻫ%ａlｐha为淘汰保护指数,可取为0～1之间任意小数,取１时关闭保护功能，最好取为0。8～1．0

％Ｒ为最短路径，Rlｅngｔh为路径长度ﻫfｕnctiｏn［R，Rlｅngｔh]＝gｅｎetｉcTＳＰ（D，ｎ，C，m,alpha）［N,NＮ］=sｉze(Ｄ);

fａｒm＝zerｏs(n，N）;％用于存储种群ﻫfori=1:n

fａｒm（ｉ,:）=rａｎdpeｒｍ（N)；%随机生成初始种群ﻫeｎｄﻫＲ=farm(１,：)；%存储最优种群

leｎ＝zｅrｏs（n，1）；%存储路径长度ﻫfiｔnｅss=zerｏs(n，１）；％存储归一化适应值ﻫcｏunter=０;whｉlecoｕntｅr<Cｆｏｒi=1:nﻫleｎ（i，1）=myLengｔh(Ｄ,ｆarm（i,:））；%计算路径长度ﻫendﻫmaｘlｅn＝ｍａｘ（lｅn）；

mｉnlen=mｉn(len）;ﻫfitneｓs=fit(lｅn，ｍ，ｍａxlｅｎ，mｉnlen）；%计算归一化适应值ﻫrr=ｆinｄ（len＝=minlen）;

R=farm（ｒr(1，1),：);％更新最短路径FＡRM=ｆarm；％优胜劣汰,nn记录了复制的个数ﻫnｎ=０；ﻫｆori=1：ｎﻫiｆfitnｅss(ｉ,1）>=alphａ*ｒaｎｄﻫnn＝ｎｎ＋1;ﻫFＡRM（nn,：）=ｆarm(ｉ，:)；ﻫenｄﻫeｎd

FAＲM=FARM(1:ｎn，：）；［ａa,bb]=ｓｉｚｅ(FAＲM)；％交叉和变异

ｗhileaa＜ｎ

ifｎn<＝2ﻫnｎｐｅr=rａndperm（2）；ﻫelsｅﻫnｎpｅr=randpｅｒｍ(ｎn）；

eｎｄﻫＡ＝FAＲM(ｎnｐer(1),:）;ﻫB=ＦARM(nnpeｒ(２），:);

[A，B]=interｃrosｓ(A，B);ﻫFARＭ＝［FAＲM;A；B]；ﻫ[aａ，bb］=sｉzｅ(FARM）；ﻫeｎdﻫifａa>nﻫFＡRM=FAＲＭ(１：n，：);%保持种群规模为nﻫenｄｆarｍ＝FＡRＭ;ﻫcｌeａｒFＡRM

ｃounｔer＝ｃｏuｎter+1ｅndRlｅnｇｔh＝myＬenｇｔh(Ｄ，Ｒ)；functioｎ[a,b］=iｎtercｒoss（a，ｂ)

L=ｌｅngｔh（a）；ﻫifL<＝10%确定交叉宽度

Ｗ＝１；ﻫelｓeif((Ｌ／10)—ｆloor（L／10））>＝ｒaｎd＆&L〉10ﻫW=ceil（Ｌ/1０）；ﻫelse

Ｗ=floor(L/１0）；ﻫendﻫp=ｕnｉdrｎｄ(Ｌ—Ｗ+1);％随机选择交叉范围，从ｐ到p+Ｗﻫfｏrｉ=１：W%交叉ﻫｘ=find（a=＝ｂ（1，p+i-1)）；ﻫy=find(b==a(1,ｐ+i－1））；ﻫ[a（1,p+i－１）,b(1,ｐ＋i-1）］=excｈａｎｇe(ａ(1,ｐ＋i—1），b(１，ｐ+ｉ-1））；ﻫ［ａ（１，x），b（１,y）］=eｘｃhａnge(a（1,x)，b（1，ｙ）);ﻫｅnｄﻫfuｎｃtiｏｎ[ｘ,y]=exchange(x，y）

ｔemｐ=ｘ；ﻫx＝ｙ;ﻫy=ｔeｍp；%计算路径的子程序ﻫｆｕｎctionｌen=myＬength（Ｄ，p)ﻫ［Ｎ，ＮＮ］=ｓｉzｅ（Ｄ);ﻫlｅｎ=D（ｐ（1，N),p（1,1))；ﻫｆoｒi=1:（N－１)ﻫｌen＝ｌen+D（p（1，ｉ）,p（１,ｉ+1））；ﻫeｎｄ%计算归一化适应值子程序ﻫｆuｎcｔiｏnｆiｔｎess＝fiｔ(leｎ，m,maxｌｅn，minｌeｎ）ﻫfitness=lｅn；ﻫfori=1:ｌｅngth（leｎ）ﻫfｉtｎess（i，1)＝（1－(（ｌen(i，1）－miｎｌen）／(maxlen—minlen+０．000０0１）））．＾ｍ；ﻫenｄ一个C＋＋的程序：／/ｃ++的程序ﻫ#iｎｃluｄe<iostｒｅam.h＞

＃inclｕde〈stdliｂ.ｈ〉ﻫteｍｐｌaｔe<classＴ＞ﻫcｌasｓGraｐｈﻫ｛ﻫ

ｐｕｂlic:ﻫ

Graph（intｖｅｒｔｉceｓ=10)

｛ﻫ

n=veｒticeｓ；

e＝0；

｝ﻫ

~Ｇｒａｐh（){｝ﻫ

viｒtualbｏoｌAdd（inｔｕ，intｖ，coｎｓｔＴ&w)=0;ﻫ

viｒtｕａlboolDｅleｔe（intu,iｎtv)=0；

vｉｒtuaｌboolEｘist（inｔｕ，iｎtv）cｏnｓｔ=０;ﻫ

intVeｒtices(）cｏｎsｔ{reｔｕrnｎ;}

iｎtEdges（)const{ｒeturnｅ;｝ﻫ

protｅcteｄ:ﻫ

ｉｎtｎ；

ｉｎte；

｝;ﻫｔｅmｐlate＜ｃlaｓsT>

cｌassＭGrａph：pｕbｌｉcGｒapｈ〈Ｔ>ﻫ｛ﻫ

puｂlic：ﻫ

MGraｐh(intＶeｒtices＝10,TｎｏEdｇｅ=0）;ﻫ

～MGraph（）;ﻫ

boolAdd(intu，iｎtv，constT&w)；ﻫ

boolDeｌｅtｅ（iｎtu,intv）；ﻫ

ｂoｏlExist（ｉnｔｕ，inｔv)coｎsｔ；ﻫ

voｉdFｌoｙｄ（T＊＊&d，int*＊＆path）;

voidprint(inｔＶeｒtices);ﻫ

pｒiｖaｔe：ﻫ

TNoEdgｅ;ﻫ

Ｔ**a;

};ﻫtｅmpｌａtｅ〈clasｓＴ〉ﻫMGrapｈ<T>:：MGraph（intVｅrticeｓ,TnoEdge）ﻫ{ﻫ

n=Vertｉcｅs；ﻫ

NoＥdgｅ=noEdｇｅ;ﻫ

a=newT＊［n]；

for(iｎtｉ=０;i〈n；i＋＋）{

a[ｉ］＝nｅwＴ[n］；

ａ［ｉ][i］=0；ﻫ

ｆor（iｎtj＝0;j<n;j++）ｉｆ（i！=j）a[ｉ][j]=NoＥｄge;ﻫ

｝

｝ﻫtｅmｐｌaｔe〈ｃlａssT>

MＧraph＜Ｔ>::～MＧｒaph()

｛ﻫ

fｏr（inti＝０；i＜n;ｉ++)dｅlete［]a[i]；ﻫ

deletｅ［］ａ；

}ﻫｔempｌate<cｌassT〉ﻫbｏｏｌＭＧraph<T>：：Ｅxist（intu,ｉnｔｖ）constﻫ｛ﻫ

iｆ（u＜０|｜ｖ<０｜｜ｕ〉ｎ－1｜｜v>n-1|｜ｕ=＝v|｜a[u］［ｖ］=＝ＮoEdge)retｕrnｆalse；

ｒetuｒnｔｒue；

｝ﻫtemｐlate＜clａssT>ﻫbｏolＭＧraph〈T＞:：Aｄd（iｎtu，intv,conｓtT＆w）

{ﻫ

if(ｕ＜０｜|ｖ＜０｜｜u＞n—1｜｜ｖ>n—1｜｜u==v|｜ａ[u］[ｖ］!=NoＥdgｅ){ﻫ

ｃｅrｒ<<＂BaｄIｎpｕt!"〈<ｅndｌ;ﻫ

returnfalｓe；

｝

a［ｕ］[v]=w；ﻫ

ｅ＋+;ﻫ

reｔuｒntｒuｅ；ﻫ}ﻫtｅｍｐlａte<ｃｌasｓＴ＞ﻫbooｌMＧrａph<T〉:deleｔe(intu，inｔv)ﻫ｛

if(u＜0||v<0||u〉n-１|｜ｖ〉n-1｜｜u=＝v||ａ[u][v］==NoＥdge){ﻫ

cｅrr<<"BａｄIｎput！"〈〈ｅndl；ﻫ

retｕrnｆａｌse;ﻫ

｝ﻫ

ａ［u］[ｖ］=NｏEdge；ﻫ

e－-；ﻫ

reｔｕrntｒue；ﻫ}ﻫteｍplatｅ＜classT〉

voidMGrａph〈T>：：Floyd（Ｔ＊*&d，iｎt＊*＆paｔh）ﻫ｛ﻫ

d=neｗＴ*［n］;ﻫ

path＝neｗint＊［n］;ﻫ

fｏr（inti=0;i<ｎ;i++）｛

ｄ［i]＝nｅwT［ｎ］；ﻫ

pａth［i］＝ｎewinｔ［n];ﻫ

fｏｒ（intｊ＝0;j＜n;j++)｛ﻫ

ｄ[i］[ｊ］=ａ[ｉ]［j］;ﻫ

iｆ（i！=j&＆a［i]［j］＜NoＥdge)paｔh［i］[ｊ］=ｉ；ﻫ

elsepａth[ｉ］[j]=—1；ﻫ

｝ﻫ

}ﻫ

for（inｔｋ＝0；k＜n;k++）{ﻫ

fｏr(i=0;ｉ〈n;i+＋）

fｏｒ（ｉｎｔj=0；ｊ〈n;ｊ++）ﻫ

if(d［ｉ][k］+ｄ［k］［j］〈d[i]［j]）｛ﻫ

ｄ［ｉ］［ｊ］=d［i]［k］+d[k］［j]；ﻫ

patｈ［i］［j］=patｈ［k］［j］；ﻫ

}ﻫ

}ﻫ}ﻫtempｌatｅ<cｌａssT〉

ｖoiｄＭGｒapｈ<Ｔ〉：：ｐriｎt（iｎｔＶｅｒticeｓ）ﻫ｛ﻫ

ｆｏr（iｎti=0；ｉ＜Ｖertｉｃes;ｉ++）ﻫ

fｏr（inｔj＝０;j＜Vertiｃes;j++)ﻫ

｛ﻫ

ﻫ

ｃouｔ＜＜a［i]［j]〈＜’＇；ｉf(ｊ=＝Verticｅｓ-1)cｏuｔ<〈enｄl;ﻫ

｝ﻫ}ﻫ#ｄefｉneｎoＥdge１000０ﻫ#inｃluｄe<ｉosｔreａm.h>ﻫｖoidmain（）

｛ﻫ

couｔ<<＂请输入该图的节点数："〈〈eｎdl；ﻫ

intverｔices；ﻫ

cｉn＞>vｅｒｔices；ﻫ

MGraｐh＜ｆlｏaｔ＞b（ｖｅrtｉｃes，ｎoEdge）;

coｕt〈＜"请输入u,v,w："<＜ｅnｄl；

inｔｕ,v;

ｆloatw；ﻫ

cｉｎ>>u＞＞v〉〉w；ﻫ

whｉｌe（w！=nｏEｄge)｛ﻫ

//ｕ＝ｕ—1；

b．Adｄ（ｕ－1,ｖ—1,w)；ﻫ

b.Ａｄｄ（v—1，ｕ—１,ｗ）；ﻫ

cout〈<"请输入ｕ，ｖ，w："＜＜ｅndｌ;ﻫ

cｉn>＞ｕ＞>v〉＞w；ﻫ

｝ﻫ

b．priｎｔ(vertices)；ﻫ

iｎt＊＊Path；ﻫ

int**&path=Path；ﻫ

ｆｌoat*＊D；ﻫ

floａt＊＊&d＝D；ﻫ

b．Ｆｌｏyｄ(d,ｐath）；ﻫ

foｒ（ｉntｉ=0；i〈vertｉｃes;i++）｛

foｒ（iｎtｊ=0；j〈vertｉceｓ;j++）｛ﻫ

couｔ<＜Paｔh［ｉ][j]＜＜＇’；ﻫ

if（ｊ==vertｉｃｅs-1）cｏｕt〈〈endl;ﻫ

｝ﻫ

}ﻫ

ｉnt*V；ﻫ

V=neｗｉｎt[ｖｅrｔiｃes+1］;

coｕt<＜”请输入任意一个初始H－圈：＂〈<endl；ﻫ

ｆoｒ(ｉntn=0；n〈=veｒｔiceｓ;ｎ++)｛

ﻫ

cin>>V［ｎ］;ﻫ

}ﻫ

ｆoｒ（n=0;n〈5５；ｎ++）｛

ｆor（i＝0;ｉ〈n-１;ｉ++)｛ﻫ

ｆｏr（inｔｊ=0；j〈ｎ—1；j++)ﻫ

｛ﻫ

iｆ（ｉ+1〉０＆&j〉i+1&&j〈n—1)｛

ｉｆ(D［V［i]］[V[ｊ］]＋D[Ｖ[i+1］］［V[j＋1]］<Ｄ［V［i]］[V［i+１]]＋D[V[ｊ]］［V［j＋１］］)｛ﻫ

ｉntl；ﻫ

ｌ＝V[i＋1]；Ｖ[ｉ+1］=V[ｊ］；V［j］=l；ﻫ

｝

｝ﻫ

}

｝ﻫ

｝

floatｔｏtal=０；ﻫ

ｃout<〈”最小回路："＜<enｄl；ﻫ

fｏr（i=０；ｉ<＝ｖｅrtｉceｓ；ｉ+＋){ﻫ

ﻫ

cout＜<Ｖ［ｉ]+１<<'＇；ﻫ

｝ﻫ

cｏut〈<ｅndｌ；ﻫ

for(i＝0;i〈vertｉces；i＋+）ﻫ

toｔal+=D［V［i］][V[i+1]]；

coｕｔ<<＂最短路径长度:＂＜〈endl；ﻫ

cｏｕt〈<tｏｔａl;ﻫ｝Ｃ语言程序＃ｉnｃｌude〈stdｉｏ．h＞ﻫ#include〈sｔｄｌiｂ。h＞ﻫ＃iｎclude＜matｈ。ｈ>ﻫ＃incluｄｅ〈alloc.ｈ＞

＃ｉncluｄｅ＜cｏnio。ｈ＞ﻫ＃ｉnｃｌｕdｅ<ｆloａt．h＞ﻫ＃inclｕde〈tiｍｅ．h>

#ｉｎｃluｄe〈graphｉcs。ｈ〉ﻫ#ｉnclude＜bios。ｈ〉＃defｉne

ｍａxpop

100ﻫ#define

ｍaxsｔｒｉng

100ﻫstｒｕct

ｐｐ｛ｕnsｉgnｅdｃharchroｍ［mａｘstrｉng]；ﻫ

ｆｌoatx，fiｔnesｓ；ﻫ

ｕnｓiｇneｄiｎtparenｔ1,parent2，xｓiｔe；

｝;

sｔructpp＊ｏｌdpoｐ，＊nｅwｐoｐ，＊p1；

unｓiｇnｅｄiｎtpopsize,ｌｃhrom,gem，mａxｇen,co＿min，ｊｒanｄ；ﻫunsｉgnｅｄintｎmuｔaｔｉｏn,ｎcross，jｃrｏss,ｍaxpp，ｍinpp，mａｘxｙ；ﻫflｏatpcross，ｐmｕｔatiｏn，ｓｕｍｆiｔｎeｓｓ，avg，ｍax,min，seed,ｍaxolｄ,oldrａnd[ｍａxstring］；

ｕnsigneｄcｈａrx［maxsｔriｎg]，ｙ［ｍａxｓtｒｉng］；ﻫfｌoat*dd,ff，maxdｄ,reｆpｄ，ｆｍ[２０1］;ﻫＦＩLE＊fp,*fp1；

fｌoａtｏbｊfuｎｃ(flｏaｔ)；ﻫvoｉdstatｉsｔics（)；ﻫintｓeｌect（)；ﻫintflip(fｌoａt）;ﻫｉｎｔcroｓｓｏvｅr()；ﻫvoｉdgenｅratｉoｎ（);ﻫvｏidiｎｉtializｅ（)；

vｏidrepoｒt(）；ﻫfｌoａtｄｅcodｅ()；ﻫｖoidｃｒtiｎｉt(）；ﻫvoidｉnveｒsｉon(）;ﻫｆlｏaｔｒandom1（);ﻫvoｉｄｒandomize1(）;mａin（）ﻫ{ｕnｓigｎedｉnｔｇeｎ,ｋ，j，tt；ﻫｃhａｒfnａｍe[10］;ﻫfｌoａttｔt；ﻫcｌｒsｃｒ()；

co_min=0;ﻫif(（oldpop＝（struｃtｐp*)ｆarmaｌlｏc(mａxpｏｐ＊sizｅoｆ(ｓtｒuｃｔpp)）)==ＮＵＬL）ﻫ

｛ｐｒｉｎtｆ("memorｙｒequｓtｆaｉｌ！\n＂）;ｅxｉt（０）；}ﻫif（（dd=（float＊）faｒｍａllｏc（maxｓｔrｉng＊maｘｓｔrｉng*ｓizｅof（floaｔ）)）＝＝NULL）ﻫ

{pｒiｎｔf(”ｍemoｒyreqｕstｆail!\n"）；ｅｘiｔ(０）；｝ﻫif(（ｎewpｏp=（ｓｔruｃｔpｐ＊)ｆaｒmalｌｏc(maxｐop＊ｓｉｚeｏｆ(structpｐ)))==NULL)ﻫ

{prｉntｆ（＂memoryrequstfaiｌ！＼n")；eｘit(０）；}ﻫiｆ（(p１=（structｐp*)farｍalｌｏc(sｉzeof(stｒuctpp)））=＝NＵＬL）ﻫ

{pｒｉntｆ("memｏｒｙｒeｑustfaｉl！＼n”)；exｉt（０);｝ﻫfoｒ(k＝0;k〈maxpoｐ；k++)oｌdpop[k]．chｒom[０]=＇\0＇；ﻫfｏr(k＝０；k〈mａxpop；k++)neｗpop［k］.ｃｈrom［0］=＇\0＇;ﻫprintf(”ＥnterＲesulｔDaｔaFilename：”)；ﻫgetｓ（fｎａｍe）；ﻫif（（ｆp=fｏpeｎ（fnaｍe,"w+”)）=＝NＵLL）ﻫ

｛printｆ（"caｎnotoｐenfiｌe\n”)；ｅxｉt(0）;｝ﻫgｅｎ=０；ﻫrａnｄｏmize（);ﻫinｉｔiａｌｉｚe（）;fputs（”thiｓｉsresｕltofthｅＴＳPproblｅm：＂，fp）；ﻫfｐｒiｎｔｆ(fp，”ｃity:％2dpｓｉze：％３dReｆ．ＴＳＰ_patｈ:％ｆ\n"，lchrｏm,ｐopｓize，reｆｐｄ）;

ｆｐrｉntf（fｐ，"Pｃ：％ｆPm:％ｆＳｅeｄ:％f\n＂,pｃｒoss，pmutａｔioｎ,seed）；ﻫfpriｎtf（fp，＂Xｓite：\n”);ﻫfｏｒ（k＝０;k＜ｌchrｏｍ；k++)

｛iｆ((k％1６）==０）fprintf（ｆｐ,”\n"）;

ｆｐrinｔf（ｆｐ，＂%5d”,ｘ［k]）；ﻫ

｝ﻫfｐriｎtf（fp,"＼nＹsｉｔe：＼n")；ﻫｆｏｒ(k＝０；k<ｌｃhroｍ;k++）

{iｆ（（k%16）==0)fpriｎtf(fp，"\ｎ")；ﻫ

ｆpｒintf（fp,”％5d",y[k］）；

}

ｆｐrｉｎtf(fp，”\ｎ”）；ﻫcrｔinit（);ﻫstａtisｔics（ｏldｐｏp)；

rｅpｏｒｔ（gｅｎ，oldｐｏp)；ﻫgetｃh（）；ﻫmaｘold=ｍｉn；ﻫfm[０］=1００.0*oldｐｏp［ｍaxpp］．x/ff；ﻫdｏ｛

gen＝gen＋1；ﻫ

generatｉon();ﻫ

sｔａtiｓtiｃｓ（ｏldpop);ﻫ

if（maｘ〉mａxｏld）

{maxoｌｄ=max；

co_mｉn=０;ﻫ

｝ﻫ

fｍ［ｇen％2０0]＝１00．０＊olｄpoｐ[mａxpp].ｘ/ff；ﻫ

report（geｎ,oldｐop）;

gotoxy（30,２5);

ｔtt=cｌock（)/１8．2；ﻫ

tt=ｔtｔ/60；ﻫ

ｐrintf（”ＲunＣloｃk:%２d：％2d：％4．2f”,ｔt／６0，tt%60，ｔtt—tt＊6０。0）；

ｐrintｆ（"Min=%6.4ｆNm：％ｄ\ｎ”,ｍin,cｏ_ｍｉｎ）;ﻫ

｝while（(gen<1００）＆＆!bioｓkｅy（1))；ﻫpriｎｔf(＂\ｎｇen＝％d”，geｎ);

dｏ{ﻫ

gｅn=geｎ＋1；ﻫ

gｅｎｅrａtion（)；

ｓtatｉstics(ｏｌdpｏｐ）;ﻫ

if(max〉ｍaxold)ﻫ

｛mａxoｌd＝ｍax；ﻫco_mｉn＝０；ﻫ

｝ﻫ

fm［gｅn%2０0］=１０0.0*ｏｌdpｏｐ［ｍａｘｐp].x／ff；ﻫ

ｒeｐoｒt（gen,oｌdpop）；ﻫ

ｉｆ（(gen%１00）==０)ｒｅｐorｔ（ｇeｎ，olｄpop)；

gｏｔoxy（30，25）;ﻫ

ｔtt=ｃloｃｋ（）/1８.2;ﻫ

tｔ=ｔtt／6０；ﻫ

printf（"RｕｎClock:%２ｄ：％２d：%4．2f＂，tt／60，ｔt％60，ｔｔｔ－tt＊60.０）；ﻫ

printf（”Mｉn＝%６。4fNm：％d＼ｎ＂,ｍiｎ,co＿ｍin)；

｝whiｌｅ(（gen〈maxｇen）＆&!bｉoｓｋｅｙ(1）)；ｇeｔｃｈ（）；ﻫfor（k=0;ｋ<lｃhrom;k＋＋)ﻫ

{ｉf（(ｋ％16)=＝０）ｆprintf（ｆp，＂＼n”）;

ｆpｒｉntｆ（fp，＂％5ｄ”,oｌdpoｐ［ｍaｘｐp］．ｃhrom［k])；ﻫ

}ﻫfprinｔf(fp，”\ｎ”);fclose（fｐ）;

ｆａｒfreｅ(ｄd)；ﻫｆarｆrｅｅ(ｐ１）；

ｆarfreｅ(ｏldpｏp);ﻫfarｆｒee（neｗpoｐ）；ﻫrｅｓｔoｒｅｃrtmoｄe();ﻫeｘit（０）；ﻫ}／*％%％%％%％％%％％%％％％％＊/ｆｌｏat

objfｕnｃ（ｆlｏａtｘ1）ﻫ｛fｌoａty；ﻫ

y=10０．0＊ｆf/ｘ1;ﻫ

ｒｅtｕrnｙ；ﻫ

}/＊＆&＆＆&&&＆&＆&＆&&＆&＆&＆*／voidｓｔａtiｓtｉcs（pop）

structpｐ*ｐop；

｛iｎtj；ﻫsumfitｎｅss＝pop［０］.fiｔnesｓ；

mｉn=poｐ［0]．ｆitnｅｓs；

maｘ=ｐop［0］.fｉtness；ﻫmaxpp=0；ﻫmｉnpp=0；ﻫfor(ｊ=1;j＜popsize;ｊ+＋）ﻫ

｛sｕmfitnｅｓｓ=ｓumfitnesｓ+pop[ｊ]。fitneｓs;

if(poｐ[j］．ｆiｔnｅss>ｍax）ﻫ｛mａx＝pop［ｊ］。ｆｉtｎｅsｓ；ﻫ

ｍaｘpp=j；ﻫ｝ﻫ

if（pｏp[j]．ｆiｔｎｅｓs<min)ﻫ{min=ｐop［ｊ]。fiｔnｅsｓ；ﻫ

mｉnpp=j;ﻫ｝

｝avg=sｕｍfitneｓｓ／(ｆｌoａｔ）popsiｚe;

}/＊％％%%%%%％%%%％％％%％％％%%*/ｖoｉdgeｎeration(）

{uｎsｉgnedｉｎtk,j,ｊ１，j2，i1,ｉ2,maｔe1,ｍate２；ﻫfloatf１，f2；

ｊ=0；ﻫdo{ﻫ

maｔe1=seleｃt(）；ﻫ

pp：ｍａte２=selecｔ(）；ﻫ

iｆ（maｔe1＝＝ｍatｅ2）gｏtopp；ﻫ

cｒoｓｓｏｖer（oｌdpｏp[matｅ１］。ｃhrom,oｌdpｏp［ｍａte2］．chrom,j）;ﻫ

newpop［j]．x＝(flｏａｔ)ｄeｃｏde（nｅwpop[j].ｃhrom）；ﻫ

ｎｅｗpop[j］．fiｔness=oｂjfunc（ｎeｗｐｏp[j]．x）;ﻫ

newｐｏp[j]。ｐａｒenｔ1=maｔe1；ﻫ

nｅwpop[j]。ｐaｒeｎｔ２=maｔe２；ﻫ

nｅｗpｏp［j］．xsiｔe＝jｃrｏss;ﻫ

ｎｅｗpop[j+1］．ｘ=（ｆloaｔ）deｃｏde（newpoｐ[j＋１］。chrom）；ﻫ

neｗpoｐ［j+1]．ｆｉtnｅss＝obｊfuｎc（ｎewpop［ｊ＋1］.ｘ）；ﻫ

nｅｗpop[ｊ＋1]。parｅnt1=ｍate1;

neｗpoｐ［ｊ＋1］．paｒent２=maｔe2;ﻫ

newpop［j+１］．xsitｅ=jcross;ﻫ

ｉf（nｅwpop［j].fitｎeｓｓ〉ｍin）ﻫ{foｒ（ｋ＝0;k＜ｌchｒom;ｋ+＋）ﻫ

oldｐop［minpp］．chroｍ[k]=newｐｏp［ｊ]。cｈｒｏm［k］;ﻫ

oldpop[ｍｉnｐp］.x=ｎｅwpoｐ[j].x；

olｄpop[mｉｎｐp］．fitneｓs＝nｅwｐｏｐ［ｊ］。ｆｉｔｎｅｓｓ;ﻫ

co＿ｍin＋＋；ﻫ

rｅtuｒn;ﻫ｝

if（ｎｅwpop［ｊ+1］.fｉｔｎess>miｎ)ﻫ{ｆｏｒ(ｋ=0；k〈ｌcｈrom;k++)ﻫ

oldpoｐ[ｍinpp]．chｒoｍ[k］＝ｎewpｏｐ［j+1］.chrｏm［ｋ]；ﻫ

ｏlｄpｏp[miｎpp］．x=ｎewｐｏp[j+1］。x;ﻫ

olｄpop［minｐｐ]。ｆitnｅｓｓ=nｅwpop［j+1］。fitｎesｓ;ﻫ

co_miｎ＋+；ﻫ

ｒetuｒn;ﻫ}

j=j+2;ﻫ

}wｈｉle（ｊ＜popｓize）;ﻫ}/*%％%％%％％％％%％%％％％％％*／voｉｄｉｎiｔdaｔａ（)ﻫ{unsiｇｎｅｄiｎtｃh,j；

clｒｓcr（);ﻫprｉnｔｆ(＂－——--－—－———-——-－－－—－－-－\ｎ”）；

priｎtf（”AＳＧA＼ｎ＂）；ﻫpｒｉnｔf(”—--—-—-－—--－—-－-—－－－-－—－＼n＂）;

/＊paｕｓe（）；＊/ｃlrscr（)；ﻫpriｎtｆ（”＊***＊**SＧADＡTＡEＮTRＹＡNＤINIＴILIZATIＯＮ*＊*＊＊**\ｎ")；ﻫｐriｎtf（＂＼n"）；ﻫprｉｎtf（＂iｎpuｔpopsize”）;sｃanf（"％d",&ｐoｐｓｉze）；ﻫprintｆ("iｎｐutcｈｒomｌeｎgth＂）;scanf（＂％d＂，＆ｌｃhrom)；

printf（＂inpuｔmaｘgeｎｅraｔｉoｎs"）；sｃａnf(＂％d",＆maｘgen）;

pｒiｎtf（"inｐuｔcroｓsoverｐrｏbabｉｌiｔy＂）；sｃａnｆ(”%f＂,＆pcｒoss）；ﻫｐｒiｎｔｆ（"ｉnputｍutａｔionpｒob”）;scａnｆ（＂％f＂,&ｐmutaｔion);ﻫｒandomｉze1（）;ﻫclrｓｃｒ（);ﻫnｍutａtｉoｎ=0;ﻫncrｏss＝0；

｝／*％％%％％％%％％%%％%％%%%％%％＊/ｖｏｉdiniｔｒｅport（)

{ｉｎtj,k;ﻫpriｎｔｆ(＂ｐｏpsize＝%d\ｎ”,poｐｓiｚｅ);ﻫpｒintf(”chroｍoｓｏmeｌｅngｔh=％d＼ｎ"，lchrom）；ﻫｐｒｉntｆ（"maxgｅn=％d\ｎ＂,ｍaxgeｎ);ﻫprintf("pmutatiｏn＝%f\n＂,ｐmuｔａtion）；

ｐrinｔf(＂pcrｏｓｓ＝%f\n"，ｐｃｒosｓ);ﻫｐｒｉntｆ(”iｎiｔiaｌｇｅｎｅrationsｔａｔisｔｉｃs＼n"）;ﻫpriｎtf（”inipopmａｘfitneｓs=%f\n"，max）；

ｐrintf(”inｉpopａvrfiｔnｅｓs=％f\n＂，aｖｇ）；ﻫｐrｉntf(”inｉｐｏpmｉnfiｔnｅｓs=％f＼n＂,mｉn);ﻫpｒinｔf(”ｉｎipopｓumfｉt＝％ｆ\n"，sumｆitness）；ﻫ｝

ｖｏiｄｉｎitｐop（）

{unｓignedchａｒj1;ﻫunｓigｎedintk5,i1,i２,ｊ，i，ｋ，j2,j3,ｊ4,ｐ５[ｍaxｓtrinｇ]；ﻫｆloaｔｆ１,ｆ2；ﻫj=0；ﻫfor(k=０;k<lchroｍ;ｋ＋+)ﻫ

olｄpｏp［j］。ｃhｒom［k］＝ｋ；ﻫｆor（k=0；ｋ<lchrｏｍ；ｋ+＋)ﻫ

p5［ｋ］＝oldpoｐ[j］．ｃｈｒoｍ［ｋ］；ﻫｒandoｍizｅ（);

for(;ｊ〈pｏpｓｉｚｅ;ｊ++）ﻫ

｛ｊ２=random(lｃhｒom）;

ｆor(k=０;k<ｊ2+２0;k++）ﻫ

{j３＝ranｄom（lchrｏｍ）；

ｊ４＝ｒａｎｄom（lchroｍ)；

j1＝ｐ5[j3］;ﻫ

p5［j３］=p5［j4］;ﻫ

p5［ｊ4］=j１;ﻫ

｝ﻫ

foｒ（k=0；ｋ＜lｃhｒom；k＋+）ﻫ

oｌｄｐｏp[j］．ｃhrom［k]=p5［ｋ];ﻫ

｝

fｏｒ（ｋ=０;ｋ＜ｌｃhrom；ｋ＋+)ﻫ

foｒ(ｊ＝0；j〈ｌchrｏm;j++)ﻫ

dｄ［k＊ｌchrom+j］=hyｐot（x［k］－x［j］,y［k]－y[j］）；ﻫ

foｒ（ｊ＝0;j＜poｐｓizｅ；ｊ+＋）ﻫ

{oldpop［j］．x=（ｆｌoat）decodｅ（oldpop［j］.chrom）;ﻫ

oldｐop［j].fｉtｎeｓs=obｊfｕnｃ（oｌdpｏｐ[ｊ］．x）；ﻫ

olｄpｏp［j]．ｐａreｎｔ１=0;ﻫ

ｏｌｄｐｏp［ｊ］.pａrenｔ2=０；

oldpop［j］．xsiｔe=０;ﻫ

｝ﻫ｝／＊＆＆＆＆＆＆＆＆＆&&&＆＆＆&＆＊/ﻫvoｉdｉnｉｔialiｚｅ()ﻫ｛intｋ，j,mｉnｘ，miny，mａxx,mａxｙ；ﻫiｎitdａta（)；ﻫmｉnx＝０;ﻫminy=０；

mａｘx=０；maxy=0；ﻫｆor（k=0;k<lｃhrom；k+＋)

｛ｘ［k]＝rand(）；ﻫ

if(x［k］>mａｘx)maxx=ｘ[k］；ﻫ

if（x［ｋ］〈ｍinx）miｎx＝x［ｋ］;ﻫ

y［k］=rand();ﻫ

if(y[ｋ］〉ｍａxｙ）maxｙ=y［k］；ﻫ

if（ｙ［ｋ]<ｍiny）miny=y[k］；ﻫ

｝ﻫiｆ（（maｘｘ—minx）＞（maxy-miny））ﻫ

｛ｍaxxy=mａｘｘ—ｍｉｎx；｝ﻫ

elｓe{maxｘy＝ｍａxy－ｍiny;}ﻫmaｘdd=0．0；

ｆｏr（ｋ=0;k〈ｌｃhｒoｍ；k+＋)ﻫ

for（ｊ＝０；ｊ＜lchrom；j++)ﻫ

｛dｄ［k＊lcｈroｍ+j]=hypｏt(ｘ[k］—x［j］，ｙ［k］－y［j］）;ﻫ

if（maｘdｄ＜dd[k＊lchrom＋ｊ］）ｍａｘdｄ＝ｄd［k＊ｌchrom+ｊ］；ﻫ

}ﻫrefpd＝ｄｄ［lchｒｏm－１];

ｆｏr（ｋ＝0；k＜lchrom；k++)ﻫ

refpｄ＝rｅfpd+dｄ［k＊ｌcｈrｏm+ｋ+2］；ﻫfor（j=０;ｊ〈ｌｃhｒｏm；j＋＋）ﻫ

dd[j*ｌchｒom+j]＝4.０*ｍaxdd；ﻫff=（０.765＊ｍａｘxy＊ｐow(lchｒom,0．5））；

ｍinpp=0；

ｍｉn=dd[lｃｈｒom—1];ﻫｆｏｒ（ｊ＝0；j＜lcｈrom-1；j＋+)ﻫ

{if(dd[ｌchｒom＊j＋lchｒｏm—1］<ｍin)ﻫ｛mｉｎ=ｄd［lchrom＊j+lｃhroｍ－１］；

minpｐ=j；

｝ﻫ

｝

iｎｉtpop（）；ﻫstatiｓtiｃs（oldpop)；ﻫinｉtｒｅport(）；ﻫ｝／＊＆&&＆&＆&&&&＆&＆&＆＆＆&＊/voidreport（ｉntl，stｒuctpp*poｐ）

｛inｔk，ｉｘ,ｉy，ｊx，jy；ﻫuｎsigｎｅdinttt；ﻫfloattｔｔ；ﻫcleａrdevｉｃe（)；

gotoxy（1，１）；ﻫpｒｉntf(＂ciｔy:％4d

pａra_siｚe：％4ｄ

maｘｇen：%4d

ｒef_touｒ:%f\n”ﻫ

，lｃｈrom,popｓiｚe，maｘｇen，reｆpｄ);ﻫｐｒintf（”nｃross:%4d

Nｍuｔation:%4dRｕngen:％4dAＶG=%8.４ｆMＩN=％８.4f＼ｎ＼n"

，ncｒoｓｓ，ｎｍｕtatioｎ，l，avg,min）;ﻫpriｎtf(＂Rｅｆ．ｃｏminpatｈ:％6．4fＭｉnpaｔhlｅngtｈ：%1０.4ｆＲef_ｃo＿ｔｏｕr:％f\n＂

，pｏp[ｍaxpp］.x/ｍaxxy，pop[maxpp]．x，ff）;ﻫpriｎtf(”Cｏ＿minpath：％6。４fＭaｘｆit：%10.８ｆ＂ﻫ

，1００．0＊pop［mａxpp］。ｘ/ff，pop[ｍaxｐp］。ｆｉtｎess）；ﻫｔｔt=cｌｏｃｋ()/18。2;

tt=tｔt/60；

printｆ("Ｒunｃｌoｃk:％２ｄ：%２d：%４d．２f\n"，tt/60,tt％6０，tｔt-tt＊6０．０)；ﻫsetcolｏr(1％１5+1）；

foｒ(k=０;ｋ<lｃhrｏm－１；ｋ+＋)ﻫ

｛ix=x[pｏｐ［maｘpｐ]。ｃhrｏm[k］];ﻫ

ｉｙ=y［ｐop[mａxpp]．chrｏm［ｋ］]+110;ﻫ

ｊｘ＝x［pop［maｘpp]．cｈrom［k+1］］;ﻫ

jｙ＝y［ｐｏp［ｍaｘpｐ］。ｃｈｒom[k+1］］+１１0;

line(ix,ｉｙ，ｊｘ，jy)；ﻫ

ｐuｔpixel(ix，iｙ，ＲED);ﻫ

｝

ix＝x［pop[maxpp］．chrｏｍ［０]]；ﻫiy=ｙ[pｏｐ［ｍaxpp]。cｈrｏm［０］]＋1１0；ﻫｊx=x[pop［maxpp]．chroｍ［ｌｃhｒｏm－１］]；

jｙ=y［pop[maxpp］.ｃhroｍ［lchｒoｍ－1］］+110；ﻫｌｉnｅ（ix,iy，jｘ，jｙ）；ﻫｐutｐｉｘel（ｊx，jy，RED）；

setcolor（1１）；ﻫoｕttｅｘtxｙ（ix，iy,"＊”）;ﻫｓetcolor(1２)；ﻫfoｒ（k=0；k〈1％２00；k+＋)

{ix=k+2８０;

iy=３６６-ｆm[k]／3;ﻫ

jx=ix+１;ﻫ