2022年辽宁省大连市第七十九中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年辽宁省大连市第七十九中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则M∩N=（

）A.{0,1} B.{3} C.{－1,0,1,2,3} D.{0,1,2,3}参考答案：B【分析】先化简集合M、N,再求.【详解】由题得M={x|x＞2或x＜-1},所以M∩N={3}.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知正三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O上，且PA=PB=PC=，AB=BC=CA=2，则球O的表面积为

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：A略3.若函数在区间上是减函数，则的取值范围是A.

B．

C．

D．参考答案：C4.设a=，则(

)

A.a>b>c

B.b>c>a

C.b>a>c

D.a>c>b参考答案：C5.已知双曲线：（，）的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：C6.已知命题p：x∈[1,2]，使ex-a≥0.若p是假命题，则实数a的取值范围为（

）A.（-∞，e2]

B.（-∞，e]

C.[e，+∞）

D.[e2，+∞）参考答案：B7.设集合，则(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.Ｄ.参考答案：B略8.已知实数x、y满足不等式组，则z=x﹣y的最小值为（） A．﹣1 B． ﹣ C． ﹣3 D． 3参考答案：C9.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是

()参考答案：A10.用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为(

)A．54

B．72C．90

D．108参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a＞0且a≠1，若函数f（x）=ax﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．参考答案：（3，1）【考点】反函数．【分析】由于函数f（x）=ax﹣1+2经过定点（1，3），再利用反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=ax﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．12.若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是

.

参考答案：略13.若复数(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a＝

．参考答案：214.已知首项为正数的等差数列中，,则当取最大值时，数列的公差=

．参考答案：-315.如图2,中,D、E分别在边AB、AC上,CD平分∠ACB,DE∥BC,如果AC=10，AE=4，那么BC=____________。参考答案：15略16.对有n(n≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和

(m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则=

;所有

(1≤i＜j≤的和等于

.参考答案：【答案】

,

6【解析】第二空可分:①当时,;②当时,;③当时,;所以17.已知若函数的定义域是[0,2]，则函数的定义域是

．参考答案：(0,1)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆：的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：与椭圆相交于不同的两点，，是线段的中点.若经过点的直线与直线l垂直于点，求的取值范围.参考答案：（1）由已知，有.又，∴.∵，∴.∴椭圆的方程为.（2）①当时，点即为坐标原点，点即为点，则，.∴.②当时，直线l的方程为.则直线的方程为，即.设，.联立方程，消去，得.此时.∴，.∴.∵即点到直线的距离，∴.又即点到直线的距离，∴.∴.令，则.∴.即时，有.综上，可知的取值范围为.19.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（，）对应的参数φ=，射线θ=与曲线C2交于点D（1，）． （1）求曲线C1，C2的直角坐标系方程； （2）若点A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）都在曲线C1上，求+的值． 参考答案：【考点】参数方程化成普通方程． 【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程． 【分析】（1）先求出a=2，b=1，由此能求出曲线C1的直角坐标方程；把点D的极坐标化为直角坐标代入圆C2的方程为（x﹣R）2+y2=R2，求得R=1，即可得到曲线C2的方程． （2）把A、B两点的极坐标，代入曲线C1极坐标方程可得+，+，由此能求出+的值． 【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），曲线C1上的点M（，）对应的参数φ=， ∴，解得a=2，b=1， ∴曲线C1的直角坐标系方程为：=1． 设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x﹣R）2+y2=R2）， 将点D（1，）代入得：1=2Rcos，∴R=1 ∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ（或（x﹣1）2+y2=1）…（5分） （2）曲线C1的极坐标方程为：+ρ2sin2θ=1， ∵点A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）都在曲线C1上 将点A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）代入得：+，+， ∴+=（+sin2θ）+（）+cos2θ=．…（10分） 【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于中档题． 20.如图（4），三棱柱的底面是边长的正三角形，侧棱与底面垂直，且长为，是的中点．（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；

图（4）（3）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，说明理由.参考答案：（1）证明：连结，∵三棱柱的侧棱与底面垂直

∴四边形是矩形，

∴为的中点．

∵是的中点，

∴是三角形的中位线，

∴∥．∵平面，平面，

∴∥平面．（2）解：作于，连结∵平面∴平面平面,且平面平面∴平面，∴为直线与平面所成的角，在直角三角形中，∵

∴.(3)以点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：若在线段上存在点满足题设，设，则，，，，

∴，，．

设是平面的法向量，

则由得令，则，，

∴是平面的一个法向量．

∵，则，设平面的法向量，

∴即令，则，，，又，即，解得，∴存在点，使得平面平面且．略21.已知{an}的前n项和.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn.参考答案：(Ⅰ)解：当n≥2时， 2分

当n=1时，

∴ 4分(Ⅱ)解：令

当n=1时， 5分

当n≥2时，

7分

8分

两式相减得： 9分

∴(n≥2) 11分综上，． 12分

22.已知椭圆C1：的离心率为，直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

(3)设C2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C2上，且满足，求的取值范围.参考答案：解：（1）

…2分

∴椭圆C1的方程是：

….1分