2021年湖南省邵阳市武冈二中高考数学模拟试卷

2021年湖南省邵阳市武冈二中高考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.设集合A={0,2,4},8={小2-如+〃=0},若AU8={0,1,2,3,4},则的值

是（）

A.1B.3C.5D.7

2.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取一粒,

则这粒种子能成长为幼苗的概率为（）

O

A.0.72B.0.8C.—D.0.9

9

3.设a,b,机为实数，给出下列三个条件：@a3>/?3；②am2）/m1；③工《工其中使a

ab

>b成立的充分不必要条件是（）

A.①B.②C.③D.①②③

4.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一

项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”

一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”

北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一

部分是作定位用的.如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，

上面一粒珠（简称上珠）代表5,下面一粒珠（简称下珠）代表1,即五粒下珠的大小等

于同组一粒上珠的大小.现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，

且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为（）

A.9B.18C.27D.36

22

5.Q、B分别是双曲线一—匚=1的左、右焦点，过人的直线分别交该双曲线的左、右两

24

支于A、B两点，若AF2_L8B,|AF2|=|BB|,则|AB|=(

A.2B.272C.4D.V2

6.已知|a|=1,11)|=2,m=a+tb»设函数f(t)=Im1当t=j时，/⑺取得最小值,

则:在E方向上的投影为()

A.«B.一如C.亨D.

7.已知(1+X)7=4()+。］(X-1)1+〃2(X-1)2+・・・+〃7(%-1)7,则。0+43=()

A.688B.161C.129D.22

8.已知〃=4，b=(2)3c=k)g袅，则下列说法正确的是()

JJJ

A.当a=6时，c〈aB.当6=c时，a<c

C.当a=c时，b<aD.当c=0时，a<b

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得()分，部分选对的得2分)

9.关于函数f(x)=^」T，的结论正确的是()

A./(x)在定义域内单调递减

B.f(x)的值域为R

C./(x)在定义域内有两个零点

D.y=f(x-是奇函数

10.设复数ZI,Z2满足Zl+Z2=0,则()

A.Zj=Z2

B.|zd=|Z2|

C.若zi(2-i)=3+i,则ziZ2=-2i

D.若|Z「(l+«i)|=1,则1W|Z2|W3

11.已知函数f(x)=6+acosx,f(x)是的导函数，则下列说法正确的是()

A.当a=-1时，/(%)在(0,+°°)单调递增

B.当〃=-1时，/(无)在(0,7(0))处的切线为x轴

C.当。=1时，f(x)在［0,+8)上无零点

D.当4=1时，/(X)在(丑|二，一兀)存在唯一极小值点

JT

12.在直四棱柱4BC0-481G。中，四边形48C。为菱形，AB=2,A4i=l,ZBAD=—,

则下列结论正确的是()

A.直线AG_L平面AiB。

B.直线DBi与平面CiCDDi所成角的正切值为返

2

C.过4。作与AG平行的平面4QG,则平面AQG截直四棱柱ABCD-48iCQi的截

面面积为运

2

D.点E为棱BICI上任意一点，直线AAi与直线BE所成角的正切值的取值范围是［0,2］

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为.

兀1

14.已矢［lsin(--Q)=—,则sin2a+cos2a=___________________.

83

15.已知函数f(x)=lnx,数列｛〃〃｝是公差为2的等差数列，且m=/(%),若沏+及+13+…

+X10=e,贝!J(XII+X12+X13+---+X20)=.

16.函数/(X)的定义域为对。内的任意X】、X2,当Xi〈X2时，恒有/(xi)W/(X2),

则称/(X)为非减函数.已知/(x)是定义域为［0,1］的非减函数，且满足：①对任意工曰0,

-x)+f(x)=2.②对任意在［0,4］,/(x)24元贝厅(孩)的值为_____.

478

四、解答题(本大题共6小题，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的)

17.已知数列｛〃〃｝的前〃项和S〃="+“，数列｛6｝满足4=1,为+i-。〃=2・3〃1

(1)求数列｛〃〃｝与数列出〃｝的通项公式；

(2).Cn=(-1)6+1)/),求数列｛Cn｝的前”项和7；.

10§tbb

n(n+l)3n+1n

18.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,其面积为S,且〃QsinA+csinC-hsinB)

=3S.

(1)求cosB的值;

(2)若a、b、c成等比数列，且△4BC的面积是且，求△ABC的周长.

2

19.如图，在多面体A8COE尸中，ABCD是正方形，AB=2,DE=BF,BF//DE,M为棱

AE的中点.

(1)求证：平面〃平面EFC；

(2)若平面ABC。，BMLCF,求二面角E-AF-B的余弦值.

E

20.某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调

查统计，一是产品的质量参数x,二是产品的使用时间M单位：千小时)，经统计分析,

质量参数x服从正态分布N(0.8,0.0152),使用时间f与质量参数x之间有如下关系：

质量参数0.650.700.750.800.850.900.95

X

使用时间2.602.813.053.103.253.353.54

t

(1)该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在0.785以上的产品为合

格产品.现抽取20件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望;

(2)该公司研究人员根据最小二乘法求得线性回归方程为f=2.92x+0.76,请用相关系数

说明使用时间f与质量参数x之间的关系是否可用线性回归模型拟合.

附：参考数据：x=0.8,t=3.1,£x：=4.55,£t：=67.88,Vo.115=0.339.

i=li=l

若？〜N（u，。2）,则。V孑Wu+o）=0.6828,P（四-2。。）=0.9544

n

£（X£-X）（t£-t）

参考公式:相关系数L।产--------

Vi=li=l

_-X(x「x)(tj-t)

回归直线方程为;=；x+；其中b上，--------------

2

Z(Xi-x)

i=l

22

21.已知椭圆心上=i，A是椭圆的右顶点，8是椭圆的上顶点，直线/：(4>0)

169

与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限.

(1)若6=0,证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；

(2)若k^，求四边形AMBN的面积的最大值.

4

22.已知函数/(x)=(x+1)Inx.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)求证：毕…〉,(n>2,n€N*).

2J

16n-3n2

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.设集合A={0,2,4},B={x\x2-nvc+n=0},若AUB={0,1,2,3,4},则加+〃的值

是（）

A.1B.3C.5D.7

解：VA={0,2,4},B={x\x1-mx+n=0],AUB={0,1,2,3,4},

3},

，x=l,3是方程/-,〃x+〃=0的两实根，

.•.根据韦达定理，（m=l+3,

ln=lX3

A/n+n=7.

故选：D.

2.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取一粒,

则这粒种子能成长为幼苗的概率为（）

A.0.72B.0.8C.—D.0.9

9

解：设一批种子的发芽率为事件4,则P（A）=0.9,出芽后的幼苗成活率为事件8,则

P（B）=0.8,

...这粒种子能成长为幼苗的概率P=P（A）P（fi）=0.9X0.8=0.72.

故选：A.

3.设a,b,，〃为实数，给出下列三个条件：①”3>63：②卬层>励2；③!其中使。

ab

>b成立的充分不必要条件是（）

A.①B.②C.③D.①②③

解：.•.①错误，

由4小2>8加2能推出。>人，但是由当"7=0H寸，则推不出卬?I?》初%2,故②正确，

当〃=-2,6=4时，则工V」■成立，但。不成立，上不是的充分不必要

abab

条件，，③错误，

故选：B.

4.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一

项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”

一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才."

北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一

部分是作定位用的.如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，

上面一粒珠（简称上珠）代表5,下面一粒珠（简称下珠）代表1,即五粒下珠的大小等

于同组一粒上珠的大小.现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，

且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为（）

A.9B.18C.27D.36

解：根据珠算的运算法则以及题干中描述的操作，

从个、十、百上珠中选1粒往下拨，则有种，

下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百，即种，

或者来自个、十、百中的两个，即"种，

故算盘表示的数的个数为C；（C；+C»=18.

故选：B.

22

5.Q、尸2分别是双曲线——匚=1的左、右焦点，过B的直线分别交该双曲线的左、右两

24

支于A、B两点，若\AF2\^\BF2\,则|AFZ|=（）

A.2B.272C.4D.472

解：双曲线上_工1=1的左，右焦点分别为尸i,F2,过尸1的直线分别交双曲线的左，右

24

两支于点A,B.若「尸2,且|4B|=|8F2|,如图:设以局=0尸2|=%,

由定义|8Q|=〃?+2&=&ir+|AQ|,\AF\\=m-2A/2>所以团=4,

所以|AB|=4,

故选：c.

6.已知|aI=1,IbI=2,m=a+tb,设函数f（t）=Im卜当时，/⑺取得最小值,

则:在E方向上的投影为（）

A.&B.-5/3C.亨D.

解：因为|aI=1>IbI=2,m=a+tb>

所以=1当t=~^■时，产⑺=lirl2=(a+tb)2=l+2ta-b+4*tz,

当,=-2a■b即Z・E=-y时，/（力取得最小值，于是/（，）取得最小值,

2-4一-r

所以Z在E方向上的投影为Z•卫一=1'a•1=一退

lbI22，

故选：D.

7.己矢口(1+X)7=ao+〃l(X-1)1+6!2(X-1)2+・・・+m(X-1)7,贝|。0+〃3=()

A.688B.161C.129D.22

解：:(1+x)7=ao+a\(x-1)*+«2(x-1)2+…+Q7(x-1)7,

即[2+(X-1)]7=〃o+0(x-1)】+々2(X-1)2+…+m(%-1)7,

令x=l可得：ao=27=128,。3=C楙X24=560,

；・〃O+〃3=688,

故选:A.

8.已知a=4,b=(焉)x,c=logyx>则下列说法正确的是()

J4J

A.当时，c<aB.当b=c时，a<c

C.当〃=。时，b<aD.当c=0时，a<b

解：分别作出。=；4,b=A\c=i°g%的图像,

J3?

对于A,当。=8时，（当"，交点为P，此时c=log：x在上方，c>a9错误;

对于B,当b=c时，（、"）”=log枭，交点为凡此时〃=乌在上方，a>c,错误；

对于C,当。=c时，x：=log；x,交点为Q,此时6=（当”在下方，b<a9正确;

sJ3

对于Q,当c=0时，为S点，此时。=工；在b=（4）"上方，错误.

s3

故选：C.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9.关于函数£6）=!4^^不，的结论正确的是（）

Xx+1

A./（%）在定义域内单调递减

B.f（x）的值域为R

C.f（x）在定义域内有两个零点

D.y=f（X-/）是奇函数

解：f（JC）=.+1的定义域为（-8,-1）U（-1,0）U（0,+8）,

Xx+1

而上和士在各段定义域内均为减函数，

故/（X）在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A错误；

当x<-1时，X--8时，有f（x）=—+_——0,

Xx+1

因为/（X）单调递减，故/（X）在XV-1时的值域（-8,0）；

当xe（-1,0）时，有/（-之）=0,

因为/（X）单调递减，故/（尤）在-1<XVO时的值域R：

当x>0时，xf+8时，f(%)-*0,

因为f（x）单调递减，故/（X）在X>o时的值域（0,+8）；

所以/（X）的值域为R,故B正确;

2x+l1

令/(x)=0,可得X--

x2+x2

所以/（x）在定义域内有一个零点故C错误；

2x_8x

y=“f(x/1)、—11

214X2-1,

x/x法4

QX1

令g（x）=2,易知xW±K，此时定义域关于原点对称,

4x-l2

-8x,

且g（-x）=5=-g（X），故g（4）为奇函数，

4x4-l

所以y=f（x-^）是奇函数，故。正确，

故选：BD.

10.设复数zi,Z2满足Z|+Z2=0,则（）

A.Z[=Z]

B.|Z1|=|Z2|

C.若zi(2-i)=3+i,则ziz2=-2i

D.若|z「(l+百i)|=1,贝！|1W|Z2|W3

解：设复数zi=a+万，Z2=c+di,(mb,c,r/GR),

VZ]+Z2=0,

/.a+c+(b+d)i=0,

••ci-c,h=-d.

...z[=4-bi--c+di^Z2,lzil=7a2+b2=\/c2+d2：=,因此A不正确，B正确•

_3+i_(3+i)(2+i)_6-l+5i

zi(2-j)=3+i,zi———-一-—=l+i,

2-i(2-i)(2+i)5

Z2=-1~

则z\Z2=(1+i)(-1-f)=-2i.因此C正确.

•：Iz「（l+J§i）|=1,；.zi对应的点Zi的轨迹是以C（l,J1为圆心，1为半径的圆,

QQ=心2+(匾产=2,

.♦.2-13|Z2|W2+L即1W|Z2|W3.因此2正确.

故选：BCD.

11.已知函数f(x)="+acosx,f(x)是f(x)的导函数，则下列说法正确的是()

A.当。=-1时，/(X)在(0,+8)单调递增

B.当a=-1时，/(%)在(0,/(0))处的切线为x轴

C.当a=l时，f(x)在［0,+8)上无零点

D.当。=1时，/(x)在(士二，-兀)存在唯一极小值点

解：当a=-1时，/(x)-cow则f(x)=e*+sirLr,

二•当xW(0,+8)时，er>1,-iWsinxWl,

则f(x)nd+sinxAO恒成立，

故函数/(x)在(0,+8)上单调递增，故A正确；

/(0)=a+sinO=l,/(0)=0,

故/(工)在(0,/(0))处的切线方程为：y=x,故3错误；

xx

当a=l时，f(x)=e+cosxf故/(x)=e-sinx,

令cp(x)-sinx,则(p'(x)=ex-cosx>0,

故(p(x)=eJsiar在［0,+°°)单调递增，

即/(x)在［0,+8)上单调递增，f(x)司(0)=1,

故/(x)在［0,+8)上无零点，故C正确，

当XW(-3”,-71)时，f(X)在(-,-71)递增，

22

3JT3"—

又/(--^r-)=-2~-K0,而，(-n)="口>0,

2e

由零点存在定理得：存在唯一xoe(-等，-it),使得/(xo)=0,

当在(-等，迎)时，f(%o)<0,故函数/(x)在(-*，-n)递减，

当(X0,-TT)时，f(X0)>0,故函数了(九)在(”0,-71)递增，

从而/(X)在(-•，-71)上存在唯一的极小值点次，故。正确；

故选：ACD.

JT

12.在直四棱柱A8CZ)-4B|CQ中，四边形A8CD为菱形，AB=2,A4=l,ZBAD^—,

则下列结论正确的是()

A.直线AG_L平面AiB。

B.直线DBi与平面CiCDDi所成角的正切值为返

2

C.过4。作与AG平行的平面4QG,则平面AQG截直四棱柱ABCD-A|8iCQi的截

面面积为逅

2

D.点E为棱BICI上任意一点，直线AAi与直线BE所成角的正切值的取值范围是[0,2]

解：连接AC,BD交于点、O,连接4G,交于点Oi,

•/四边形ABCD为菱形，：.ACVBD,

又四棱柱ABCD-AiBiGA为直四棱柱，；.00|，平面ABCD,

以。为坐标原点，0A,0B,西的正方向为x,必z轴建立如图空间直角坐标系：

则A(匾，0,0),8(0,1,0),C(-心0,0),£)(0,-1,0),Aj(V3-0，1)，

Bi(0,1,1),5(-孤，0,1),

VAC[=(-2V3»0，1)，M=(-V3，1,T),，西•邛=6-1=5卢0,

即AG不垂直于4B,.♦.AG与平面AiBO不垂直，故选项A错误；

函=(0,2,1),西=(0,0,1),CD=(V3«-1.0)，设平面CCQQ的法向量

为n=(x,y,z),

n.CCi=z=0_一

则______，令x=L则y=E，z=0,，片(1,6，0)，

npCD=V3x-y=0

设直线DB\与平面GCDDi所成角为0,则sin。='

|DT[|'|n|"275~5，

故选项正确;

tane8

连接4。交AG与M,取CQ中点，，连接

由直四棱柱特点知：四边形AOD4为矩形，为A）中点，.•.M"〃AG,

又M”u面AQH,AGC面AQ”，〃面4QH,

过4。作平面AiDGZ/ACi,面A\DG截直四棱柱ABCD-A\B\C\D｛所得的截面为AQ”,

2

在△4。“中，由余弦定理得：A1H=4+1-4COS^^=7'；.人逆=我，

又AiD=7iTI=述，DH=7I+I=V2.A1D2+DM=A[H2,.•.AQLDH,

即所求截面面积为逗，故选项正确；

ASA.nu^A1D-DH=->C

八%UH2122

设E（x,y,1）,且率=入B[C；（O<•<1），又B[C；=（x,y-1,0）,

BQ=（-百，-1,0）,

人，y=l-x-.1.E（-V3^.1-入，1），设直线44与BE所成角为。,

a।/一一I限E1

Acos9-|cos<.BE,AAi>|=^=^-----------；—=；・'・tane=2入,

|BE|・|AAj打入2+i

又因为入日0,1],.,.tan0G[O,2],故选项O正确.

故选：BCD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为3返

一3

解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆,

所以圆锥的底面周长为：4n,

底面半径为：2,圆锥的高为：2«；

圆锥的体积为：薮71・22乂2«=呼41.

故答案为：”@皿

3_

14.已知a)=小，贝!Jsin2a+cos2a=1^2..

83-9-

JT1

解：因为sin(-^--a)=亍

o6

jrTTi7

所以cos(-----•■2a)=1-2sin2(------a)=1-2X—=—,

4899

又cos(^-+2a)(sin2a+cos2a)=—,

429

所以sin2a+cos2a=-^^-

_9

故答案为：置0.

9

15.已知函数f(x)—Inx,数列｛斯｝是公差为2的等差数列，且a”=/(X"),若X1+X2+X3+…

+xw—e,贝ijIn(X11+X12+X13+…+X20)—21

解：因为。”=/(为)=lnxn,

0+1

所以即尸0%,=/

日YC

An

所以数列｛4｝是公比为e2的等比数歹U,

若无l+X2+X3+・-+X10=e,

则友(Xl|4-X|2+X13+***+X20)=加〃=21.

故答案为：21.

16.函数/(%)的定义域为。，对。内的任意XI、X2,当XIV无2时，恒有/(汨)W/(X2),

则称/(X)为非减函数.已知/(X)是定义域为［0,1］的非减函数，且满足：①对任意x日0,

_14R

1],/(1-x)4/(x)=2.②对任意识[0,4],/(X)24尤则/*(£■)•♦/(《■)的值为

478

2

解：・・•对任意x曰0,1],/(1-x)+/(%)=2,

)+f<-1-)=4弓)=2，得/弓)=1'

当x=2■时,/(1--)+/-<—)=/(—)+fA=2,

88888

♦.•对任意xe[O,-1],/(x)24x

.,.当x=工时，f(―)234X—=1>

444

已知/(x)是定义域为[0,1]的非减函数，

・••当X1〈X2时，恒有了(XI)W/(X2),

当时,/([)W/(x)守弓)=1，

即此时/(x)=1为常数函数，

则/(4=1.=1，

则/(•1)=2-/(多=1,/A=2-/(当=2-1=1,

oorr

则/(~)+f(―)—1+1=2.

78

故答案为：2

四、解答题(本大题共6小题，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的)

17.已知数列｛斯｝的前〃项和S"=〃2+〃,数列｛仇｝满足bi=l,bn+\-bn—2'3"'

(1)求数列｛如｝与数列｛瓦｝的通项公式；

(2)记c“=(-DQn+1)+]"丛_b))求数列｛斯｝的前〃项和北.

n(n+l)3n+1n

解：(1)VS/=n2+n,.\tzi=Si=2,

22

■22时，a,i=Sn-Sn-i=n+n-[(〃-1)+n-l]=2n,

n—1时符合上式通项，.\an=2n,

又bn+\-b〃=2・3”7,

bn=(bn-bn-\)+(d-]-d-2)+…+(历-历)+历

=2•3〃-2+2•3〃-3+-+2•30+1=3〃1

即％=3叫

=(-1)飞尸)

(2)n(n+l)—+1吟风+["

：(-l)n(2n+l)

+log(3n-3n-1)

c3

nn(n+l)

=(-l)n*--(-1)~r+n-l+log2»

nn+13?

・T/■<x11(i、n+l1.0+n-1-c

••T=(-1)•『(-：!)■口+-n-*n+nlog^2

n1n+12?

_(-l)n+1n2-n_

-一1玄——1吟2,

/-i\n+12

nn

即数列｛Cn｝的前n项和Tn=-1-(T[—+^~-bnlog32-

18.八钻。的内角A、B、。的对边分别为〃、b、c,其面积为S,且。(asinA+csinC-加inB)

=3S.

(1)求cosB的值；

(2)若a、b、c成等比数列，且△43C的面积是1,求△A3C的周长.

2

解：(1)因为〃(^sinA+csinC-fesinB)=3S=3/acsinB，

所以b(a2+c2-b2)=3X^acb,

即a2+c2-b2=­,

2

2^2,2o

由余弦定理得cosB=-^——-———=—：

2ac4_____

2

(2)由题意得b=acfS=^"acsinB=^"X~^~&c=E~

乙24o2

所以4c=4,b=2,

又a^c2-h2=­=6,

2

所以。2+3=10,

所以(a+c)2-2ac=10,

所以a+c=3j"^,△4BC的周长a+b+c=3j^+4.

19.如图，在多面体ABCCEF中，A8CQ是正方形，AB=2,DE=BF,BF//DE,M为棱

AE的中点.

(1)求证：平面〃平面EFC-,

(2)若EOJ_平面ABC。，BMLCF,求二面角E-AF-B的余弦值.

E

解：（1）证明：连接AC交于。，连接MO.

•••ABCO为正方形，，0是AC的中点，

又M是AE的中点，.•.在△AEC中，MO//EC,

又BF〃DE且BF=DE,二四边形BDEF是平行四边形，：.BD//EF,

平面BMD〃平面EFC.

(2)-：EDL^ABCD,48CC是正方形,

...以。为空间坐标系原点，D4,DC,OE分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标O-Jtyz,

设。£=8尸=/,则8(2,2,0),M(1,0,—),C(0,2,0),F(2,2,r),

2

而=(-1'-3/),CF=⑵0,，),

,2

VBMLCF,・••面J•而=-2+三-=0,解得f=2,

：.E(0,0,2),F(2,2,2),A(2,0,0),B(2,2,0),

京=(0,2,2),标=(-2,0,2),谣=(0,2,0),

设平面AEF的一个法向量为；=(x,y,z),

“F'¥=-2X+2Z=°,取X=1,得k(1,-1,1),

npAF=2y+2z=0

平面ABF的法向量(1,0,0),

设二面角E-AF-B的平面角为6,

则cose=呵=^=返，

IJm?I•InI*^33

・・・二面角E-AF-3的余弦值为返.

3

20.某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调

查统计，一是产品的质量参数x,二是产品的使用时间r（单位：千小时），经统计分析,

质量参数x服从正态分布N（0.8,0.0152）,使用时间r与质量参数x之间有如下关系：

质量参数0.650.700.750.800.850.900.95

使用时间2.602.813.053.103.253.353.54

t

（1）该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在0.785以上的产品为合

格产品.现抽取20件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望；

（2）该公司研究人员根据最小二乘法求得线性回归方程为f=2.92r+0.76,请用相关系数

说明使用时间t与质量参数x之间的关系是否可用线性回归模型拟合.

77

附：参考数据：7=0.8,7=3.1,£X：=4.55,£t.=67.88,70,115=0.339.

若W〜N(山。2),则P(U-0＜《Wu+。)=0.6828,P⑺-2。＜^＜n+2o)=0.9544

(x「x)

参考公式：相关系数r=

-2n-2

-X)T(trt)

-一..£(x「x)(tj-t)--

回归直线方程为:二；，其中bA------------------,a=y-b^.

t-bx+an_'

2

Z(Xi-x)

解：（1）一件产品的质量参数在0.785以上的概率p=l-二空蟹"=0.8414,

设抽取20件该产品中为合格产品的件数为X,则X〜B(20,0.8414),

所以E(X)=20X0.8414=16.828；

7__7

2

(2)由题意,£(xi-x)(ti-t)=X(x-0.8)(t-3.1)=0.205.

i=li=l

22

£(Xi-X)=EXi-2xZXj+£7=4.55-2X0.8X7X0.8+7X0.82=0.07,

i=li=li=li=l

7_

同理£88-2X3.1X7X3.1+7X3.12=0.61，

i=l1

0.205_0.205

Vb.07X0.61=V0.0427■^0.992.

因为「接近1.故时间，与x之间可以用线性回归拟合.

22

21.已知椭圆2_J—=1，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线/：丫=履+匕(&＞0)

169

与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限.

(1)若匕=0,证明：直线AM和AN的斜率之积为定值;

(2)若k-1，求四边形AM8N的面积的最大值・

4

【解答】(1)证明：设MCxi,")，则N(田，.)，

Y1Yi