2023届高考数学二轮精讲三角与向量第2讲三角函数的图像与性质含解析

Page1第2讲三角函数的图像与性质知识与方法本专题主要知识为三角函数的图象与性质、函数.三角函数的图象与性质的基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、认识性质,并要掌握好“五点法”作图;对函数图象的研究,教材采取先讨论某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法安排内容.1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等);能借助正切线讨论正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点讨论函数的性质.(1)“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点);（2）对周期函数与周期定义中的“当取定义域内每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求;(3)正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无数支曲线组成的,正切曲线的对称中心坐标为.2.对于函数,要注意以下几点.(1)会用“五点法”作函数的图象.(2)理解并掌握函数图象和函数图象的变换关系,通常为:相位(平移)变换→周期变换→振幅变换.具体:注意,若周期变换在前,则一般公式为 .(3)当函数表示一个振动量时,叫做振㬏,叫做周期,叫做频率,叫做相位,叫做初相.一般结论:函数及函数(其中为常数,且的周期.数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要熟练把握三角函数图使的形状特征,并能借典型例题【例1】求函数的定义域.【分析】将复合函数的定义域问题转化为三角不等式问题求解,考虑用图像或单位圆中三角函数线解决.【解析】利用的图象(图1)或单位圆(图2)知:在一个周期内,满足的解为,故所求函数的定义域为.图1图2【点睛】本题是求复合函数的定义域问题,应先确定使二次根式、三角函数有意义的的取值范围,易错误提示：当列出有关的式子时,应注意其中隐含的条件.如解,利用的图象(图3)或单位圆(图4)得【例2】函数在区间上的值域为【分析】本题为含正切与余弦的三角函数在某一区间上求值域的问题,一般化为同角且同名的三角函数,转化为探讨形如的式子在某一区间上的值域.【解析】由已知得.因为,所以,所以,所求值域为.【点睛】先利用三角函数公式将已知函数化为的形式,再利用正弦函数的性质可得所求的值域,解题时要注意定义域的范围和的符号.【例3】已知,则的最大值是_________.【分析】本题为由两个不同角的三角函数关系，求解不同角、不同名、不同次函数的值域问题.一般解法为消元,根据已知条件将用表示,利用三角函数的基本关系式将用表示,所求的式子昁般化为关于的二次式,其中整理得到,最后利用的取值范围,结合二次函数图象进行求解.【解析】因为,所以.函数.又因为,所以.当时,取最大值.【点睛】解本题主要利用了同角三角函数的基本关系式、正角函数的有界性、二次函数的图象与性质.解题关键在于消元,将目标式转化为关于的二次式,这里确定的取値范围是一个易错点.事实上不成主,否则,矛盾.【例4】函数的值域是_________.【分析】令,借助的平方关系进行换元,将三角函数转化为关于的二次函数,由二次函数图象的对称轴和单调性求出最值.【解析】令,则.对平方,得,所以.所以,值域为.【点睛】三角函数运算中和、差、积存在着密切的联系.如等.在做题时要害于观察,进行相互转化.本题在换元时,注意.【例5】函数的最大值是_______.【分析】本题涉及异名三角函数的分式型函数,可用反解和三角函数的有界性求最大值;或用二倍角公式、万能公式将正弦、余弦化为半角的正切,利用基本不等式求值;或用斜率的几何㫿义求解.【解析】解法1：（反解与有界性)去分母可得,所以,故,其中.由三角函数的有界性知,所以,解得.故所求的最大值为.解法2：斜率的几何意义)将化为,可看作动点与定点连线的斜率.易得在单位圆上,且,单位圆的圆心到直线的距离,可得.故所求的最大值为.解法3：(代数法)由得.令,可得.故所求的最大值为.解法4：(半角公式、万能公式、基本不等式)因为.(分子分母同除以)要使函数最大,则.从而,当且为当时取等号.故所求的最大值为.解法5：由【解析】4得,将其化为.当时,,成立;当时,,则,得.故所求的最大值为.【点睛】本题考查分式型函数最大值的求法,用到多种方法求解,体现代数、几何的统一.【例6】已知函数,求：（1）函数的单调递减区间.(2)函数在区间上的单调递减区间.【分析】本题研究三角函数的图象与性质,在求单调区间时,一般将看作一个整体,将正弦函数的单调区间代入求解,同时注意的符号对增减的影响.【解析】(1)原函数化为,求函数的单调递减区间等价于求的单调递增区间.令,解得.故函数的单调递减区间为.(2)函数的单调递䧕区间与区间取交集即可.函数的单调递减区间为,经分析可得只能取0和.故在区间上的单调递减区间为和.【点睛】解本题的关健是先把所给函数式化为标准形式,应注意0,把看作一个整体,根据正弦函数的单调性列出不等式,求得函数的递减区间的通解.若要求某一个区间上的单㑉区间,则对通解中的进行取值,便可求得函数在这个区间上的单调区间.【例7】已知函数的最小正周期为,则函数的图象的一条对称轴方程是（） A. B. C. D. 【分析】本题已知函数的最小正周期,先利用周期性求得三角函数的【解析】式,再进一步研究其图象对称轴方程的求法.【解析】1结合函数的周期公式,得,所以.由于函数在对称轴处取到最值,将选项代人的【解析】式检验即可,故选 C.【解析】2由【解析】1知.令,解得.所以直线是图象的一条对称轴,故选 C.【点睛】本题解题的关键是先由周期公式求得的值,再解决对称轴问题.求解对称轴方程有两种方法:一种是直接求出对称轴方程;另一种是根据对称轴的特征(即对称轴处的函数值为函数的最值)解决.同样地,求解对称中心也类似.【例8】若函数的图象关于直线对称,则实数______.【分析】三角函数的图象直观体现了三角函数的性质,主要特征是对称性、值域和单调性.解决问题时应先把三合函数的综合表达式转化为标准式,再进行处理.【解析】解法1：若函数的图象关于直线对称,则为最大值,即,解得.故填.解法2:若函数的图象关于直线对称,则,解得.故填.解法3：若函数的图象关于直线对称,则.又,即,解得.故填.【点睛】正弦函数在对称轴处取到最值.解本题的关䱓是求的值,由图象关于直线对称得,从而求求的值,过程比较复杂.若换用特殊值点来求,小,注意,则的图象关于直线对称;而与的图象关于直线对称.【例9】若函数对于任意,都有,则的最小值为（） A. B. C.1 D.2 【分析】本题考查三㓩函数定义,三角函数周期的求法,以及计算能力和理解能力.【解析】由题意知和分别为函数的最小值和最大值,故的最小值为函数的半周期.又周期,故的最小值为1.答案为.的最小值就是函数的半周期,求解即可.*一般地,函数的周期为和的最小公倍数,但函数不是周期函数,不存在周㖵.易错警示:考虑到的周期均为,则的周期为.此为错误解法.【例10】已知函数.(1)求它的振幅、周期和初相.(2)用“五点法”作出它的图象.(3)的图象可由的图象经过怎样的变换得到?【分析】熟悉三角函数图象的特征,掌用“五点法”作图不图象变换.【解析】(1)的振幅为、周期为、初相为.(2)列表如下.所作图象如下.(3)【解析】解法1：(先平移后伸缩)先将函数的图象向右平移个单位长度,得;再将横坐标变为原来的,纵坐标不变,得;最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得.解法2：(先伸缩后平移)先将函数的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得;再将图象向右平移个单位长度,得;最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得.【点睛】本题主要考查的图象,以“五点法”作图求解最为方便,但必须清楚它的图象与函数图象问的关系,弄清怎样由函㪇图象变换得到.要注意,在不同的变换中顺序可以不同,平移的单位长度可能不同.【例11】已知函数的一个周期的图象如图所示.(1)写出解析式.(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标.(3)求函数的单调区间.【分析】本题为已知函数的部分图象求三角函数的解析式等问题.一般观点(“五点法”)求.【解析】(1)由图象知振幅,周期,所以,所以.代人初始点,得.又,所以,函数的解析式为.(2)令,得,对称轴方程为.令,得,对称中心坐标为.(3)令,得.所以函数的单调递增区间为.令,得.所以函数的单调递减区间为.【点睛】由函数的图象求函数的解析式,一般将“五点法”逆用求解,注意对影响,进而由研究的性质.【例12】已知,且在区间上有最小值,无最大值,则________________.【分析】由三角函数的图象和性质确定参数的值.【解析】因为在区间上有最小值,无最大值,所以,故,所以.又直线为函数图象的一条对称轴,且,故,所以.结合知,.【点睛】由三角函数的图象和性质确定参数的值,注意区间范围.【例13】设函数,则在下列区间上,函数不存在零点的是（）A.B.C.D.【分析】由三角函数的图象和性质确定方程的根或零点.【解析】解法1：画出函数与的图象,它们在区间上没有交点.故选A.解法2：考虑方程在指定区间上是否有解.令,则.考虑方程在区间上是否有解.作图发现函数和的图象在区间上无交点,从而方程在区间上无解.故选A.【点睛】将求方程的根变换为求和图象的交点.强化训练求函数的定义域.【解析】定义域为由得角的终边位于图中的轴下方;由得角的终边位于图中的阴影部分(包含).在函数的一个周期内,满足以上两个条件的的范围是.故定义域为或2.已知的最大值为,最小值为,求实数与的值.【解析】当时,因为的最大值为、最小值为,所以,解得.当时,因为的最大值为、最小值为,所以,解得.当时,不满足条件.综上所述,或.已知,则的最大值为_______,最小值为___________.【答案】【解析】由得所以.由于,由已知条件知,所以,故函数的值域是________.【答案】【解析】令,则.因为,所以,,则.对平方得,所以.所以,值域为.函数的值域是________.【答案】【解析】解法(反解表示与有界性)去分母可得,即.由三角函数的有界性知,,整理得,解得.故值域是.解法2：(常数分离法)函数.因为,所以,,则.故值域是.已知是正数,函数在区号上是增函数,求的取值范围.【解析】解法函数在区间上是增函数,故且,从而.解法2：由题意知.因为,所以即故.7.若函数是偶函数,则等于（） A. B. C. D. 【答案】C【解析】为偶函数,函数的图象关于直线对称,则.又,得.故选C.8.若函数为常数,在处取得最小值,则函数是（） A.偶函数,且它的图象关于点对称 B.偶函数,且它的图象关于点对称 C.奇函数,且它的图象关于点对称 D.奇函数,且它的图象关于点对称 【答案】【解析】因为函数图象的对称轴是直线,则,得,所以.所以为奇函数且其图象关于点对称.故选C9.为了使函数在区间上至少出现50次最大值,则的最小值是________.【答案】【解析】至少需要个周期,即.10.已知是实数,则函数的图像不可能是（）【答案】D【解析】对于选项,可得振幅,则周期;对于选项,可得当振幅时,周期;对于选项,可得,图象符合;选项不符合要求,它的振幅,则,但周期反而大于了.故选D.11.已知函数的部分图象如图所示,则__________. A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 【分析】本题为已知三角函数与,研究两者图象间的变换问的