等差数列前n项和的性质

1.等差数列的递推公式是什么？

an－1＋an＋1＝2an（n≥2）an－an－1＝d（n≥2）【问题提出】2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？在结构上是关于n的一次函数.an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋k.第一页第二页，共30页。3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？4.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究.第二页第三页，共30页。思考1：若数列{an}的前n和那么数列{an}是等差数列吗？{an}是等差数列【知识探究】『知识探究（一）——等差数列与前n项和的关系』第三页第四页，共30页。思考2：将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时，Sn是常数项为零的二次函数.第四页第五页，共30页。思考3：一般地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C呢？（1）数列{an}是等差数列

Sn＝An2＋Bn（2）数列{an}的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C，则：①若C＝0，则数列{an}是等差数列；②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。第五页第六页，共30页。思考4：若{an}为等差数列，那么是什么数列？数列{an}是等差数列

为等差数列即等差数列{an}的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差是数列{an}的公差的一半。第六页第七页，共30页。『知识探究（二）——等差数列前n项和的性质』思考1：在等差数列{an}中，每连续k项的和组成的数列，即数列a1＋a2＋…＋ak，ak+1＋ak+2＋…＋a2k，a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k，……是等差数列吗？性质：若数列{an}是等差数列，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k,…仍然成等差数列第七页第八页，共30页。思考3：在等差数列{an}中，设S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，则S偶－S奇与等于什么？S偶－S奇＝nd思考2：在等差数列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么关系？S3n＝3(S2n－Sn)第八页第九页，共30页。思考4：设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则等于什么？思考5：在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn是否存在最值？如何确定其最值？

当ak≥0，ak＋1＜0时，Sk为最大.第九页第十页，共30页。【题型分类深度剖析】题型1：等差数列前n项和性质的简单应用例1：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则该数列有()项。A.13 B.12 C.11 D.10第十页第十一页，共30页。『变式探究』1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=512.等差数列{an}前n项和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a＋2，则an＝

.3.等差数列{an}中，已知S4＝2，S8＝7，则S12=_____；第十一页第十二页，共30页。4.等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.2605.等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2011，，则S2011的值为()A.0B.2011C.－2011D.－2011×2011第十二页第十三页，共30页。题型2：等差数列最值问题例2：等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．第十三页第十四页，共30页。>>第十四页第十五页，共30页。小结：求等差数列{an}前n项和Sn的最值常用方法：方法1：二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn，讨论二次函数的性质方法2：讨论数列{an}的通项，找出正负临界项。（1）若a1>0，d<0，则Sn有大值，且Sn最大时的n满足an≥0且an+1<0;（2）若a1<0，d>0，则Sn有小值，且Sn最小时的n满足an≤0且an+1>0;第十五页第十六页，共30页。『变式探究』1.首项为正数的等差数列{an}，它的前3项和与前11项和相等，则此数列前________项和最大？2.等差数列{an}前n项和Sn中，以S7最大，且|a7|<|a8|，则使Sn>0的n的最大值为_____．3.等差数列{an}中，已知|a7|=|a16|=9，且a14=5，则使an<0的最大自数n=（）．

A.10B.11C.12D.13第十六页第十七页，共30页。4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S12＞0，S13＜0.（1）求数列{an}公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个值最大。5.数列{an}首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.（1）求数列{an}的公差d；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当Sn>0时，求n的最大值；第十七页第十八页，共30页。题型3：等差数列中的an与Sn的关系例3：Sn，Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项的和，且，则

.

第十八页第十九页，共30页。1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()

A．2B．3C．4D．5『变式探究』第十九页第二十页，共30页。例4：已知数列{an}的前n项和Sn＝12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.当n＝1时，a1＝S1＝12－12＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n.∵n＝1时适合上式，∴{an}的通项公式为an＝13－2n.由an＝13－2n≥0，得n≤，即当1≤n≤6(n∈N*)时，an＞0；当n≥7时，an＜0.解析：题型4：求等差数列的前n项的绝对值之和第二十页第二十一页，共30页。(1)当1≤n≤6(n∈N*)时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝12n－n2.(2)当n≥7(n∈N*)时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋…＋a6)＝－Sn＋2S6＝n2－12n＋72.第二十一页第二十二页，共30页。『变式探究』1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}是等差数列，d＝＝－2，∴an＝－2n＋10，n∈N*.解析：第二十二页第二十三页，共30页。②当n≥6，n∈N*时，第二十三页第二十四页，共30页。题型5：等差数列的综合应用第二十四页第二十五页，共30页。①2－②2得4an＝an2－an－12＋2an－2an－1，即(