2022年河南省驻马店市石寨卜第二中学高三数学理期末试题含解析

2022年河南省驻马店市石寨卜第二中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果执行如图的框图，运行的结果为A．

B．3

C．

D．4参考答案：B2.的值为(

)A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B略3.设a是函数f（x）=|x2﹣4|﹣lnx在定义域内的最小零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）＞0 B．f（x0）＜0C．f（x0）=0 D．f（x0）的符号不确定参考答案：A【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】函数f（x）=|x2﹣4|﹣lnx的零点即为函数y=|x2﹣4|与y=lnx的交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，即可得出结论．【解答】解：由题意可知：函数f（x）=|x2﹣4|﹣lnx的零点即为函数y=|x2﹣4|与y=lnx的交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图可知：当0＜x0＜a，函数y=|x2﹣4|的图象要高于函数y=lnx的图象，故有|x02﹣4|＞lnx0，即f（x0）＞0．故选A．4.设，，若，则实数的取值范围是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A集合，而，因为，所以，选A.5.若f(x)是定义域为R的奇函数，且，则下列表述错误的是（）A.f(x)的值域为RB.f(x)为周期函数，且4为其一个周期C.f(x)的图象关于对称D.函数的图象与函数的图象关于y轴对称参考答案：A【分析】利用，可知正确；根据奇偶性可得，可知正确；根据两函数的对称关系和图象平移可知正确；通过反例，可知错误.【详解】由得：为周期函数，且为其一个周期，可知正确；为奇函数

关于直线对称，可知正确；将向左平移个单位可得：将向右平移个单位可得：与图象关于轴对称与图象依然关于轴对称，可知正确；令，此时是定义域为的奇函数，且此时值域为，可知错误.本题正确选项：6.在复平面内，复数的对应点位于(

)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D7.设函数,则满足的的取值范围是A.

B. C.[1,+

D.参考答案：D略8.复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D略9.已知命题q：?x∈R，x2+1＞0，则?q为（）A．?x∈R，x2+1≤0 B．?x∈R，x2+1＜0 C．?x∈R，x2+1≤0 D．?x∈R，x2+1＞0参考答案：C【考点】命题的否定；全称命题．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可【解答】解：∵命题q：?x∈R，x2+1＞0，∴命题q的否定是“?x∈R，x2+1≤0”故选C．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．10.若直线，则的夹角为

（

）A． B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知、、，为内（含三角形的三边与顶点）的动点，则的最大值是

．参考答案：略12.若将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于

.参考答案：13.若f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），x∈[﹣1，1]，且|f（x）|的最大值为，则4a+3b=．参考答案：﹣

【考点】二次函数的性质．【分析】根据x的范围以及函数的最大值得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值即可．【解答】解：若|f（x）|的最大值为，|f（0）|=|b|≤，﹣≤b≤①，同理﹣≤1+a+b≤②，﹣≤1﹣a+b≤③，②+③得：﹣≤b≤﹣④，由①、④得：b=﹣，当b=﹣时，分别代入②、③得：?a=0，故4a+3b=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查不等式问题，是一道中档题．14.设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：﹣1；≤a＜1或a≥2。考点： 函数的零点；分段函数的应用．

专题： 创新题型；函数的性质及应用．分析： ①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．解答： 解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．点评： 本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．15.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则=．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意，知道=，=，根据已知三角形为等边三角形解之．【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，已知向量，满足，，又=+，所以=，=，所以||=2，?=1×2×cos120°=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．16.已知抛物线的焦点为F，过点A（4，4）作直线垂线，垂足为M，则∠MAF的平分线所在直线的方程为

.参考答案：略17.（5分）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为．参考答案：+【考点】：点、线、面间的距离计算．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：有条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，相加即得所求解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的表面积为4π，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为，故鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为+，故答案为：+．【点评】：本题主要考查球的截面的性质，图形的折叠问题，点、线、面间的位置关系，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知数列的前n项和是，满足（1）求数列的前n项和；

（2）若数列满足，求数列的前n项和参考答案：解析：（1）当时，

当时，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列。∴…6分（2）19.某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为1200立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为15元，池壁每平方米的造价为12元．设池底长方形的长为x米．（1）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（2）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?参考答案：20.（15分）（2015?浙江模拟）等腰梯形ABCD，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，AE=2，沿DE，CF将梯形折叠使A，B重合于A点（如图），G为AC上一点，FG⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥AF；（Ⅱ）求DG与平面ACE所成角的正弦值．参考答案：【考点】：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（I）由FG⊥平面ACE，可得FG⊥AE，由CF⊥AF，CF⊥EF，可得CF⊥平面AEF，可得CF⊥AE，AE⊥平面ACF，即可证明；（II）如图所示，建立空间直角坐标系．则E（0，0，0），A，，D（0，0，2），G．设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，设DG与平面ACE所成角为θ，利用sinθ==即可得出．（I）证明：∵FG⊥平面ACE，∴FG⊥AE，∵CF⊥AF，CF⊥EF，AF∩EF=F，∴CF⊥平面AEF，∴CF⊥AE，又FG∩CF=F，∴AE⊥平面ACF，∴AE⊥AF；（II）解：如图所示，建立空间直角坐标系．则E（0，0，0），A，，D（0，0，2），利用三角形中位线定理与等腰直角三角形的性质可得：G．∴=，=，=．设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，令y=﹣1，解得x=1，z=．∴=．设DG与平面ACE所成角为θ．则sinθ====．【点评】：本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质、空间角的求法、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（本小题12分）设函数，其中为常数。

（1）当

时，曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间与极值。参考答案：解：（1）当

时，，，

所以，。

∴切线方程为，整理得

……6分（2）由由已知，令，得，。

∵，∴。令，得；令，得或。因此在和单调递减，在单调递增，极大值为，极小值为。

……12分22.已知Sn是数列{an}的前n项和，满足，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn，且满足b3=8，T2=6．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列{cn}的前n项和Gn．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系可得an．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得bn．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）n=1，a1=S1=2n≥2，an=Sn﹣Sn﹣1=n+1，∴an=n+1．设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，依题意可知或（舍），∴．（2）则Gn=2×2+3×22+4×23+…+n×2