新教材2023-2024学年高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系课件新人教B版选择性必修第一册

第一章1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系课程标准1.理解空间向量基本定理,掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示;2.能用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算;3.能用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1空间中向量的坐标(1)一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量(2)空间向量的运算与坐标的关系空间向量a,b,其坐标形式为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).体会坐标运算从平面到空间的推广

向量运算向量表示坐标表示加法a+ba+b=

减法a-ba-b=

数乘λaλa=

数量积a·ba·b=

(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(x1-x2,y1-y2,z1-z2)(λx1,λy1,λz1)

x1x2+y1y2+z1z2特别地,①如果μ,v是两个实数,那么μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2);(3)空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有a∥b⇔

(其中x1,y1,z1均不为0);a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.名师点睛1.若不明确x1y1z1≠0,则可以用以下结论进行求解,即2.空间向量的坐标运算可类比平面向量的坐标运算进行记忆.过关自诊1.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于(

)A.(16,0,4) B.(8,-16,4)C.(8,16,4) D.(8,0,4)D解析

4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).2.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则(

)D3.向量a=(2,-3,),b=(1,0,0),则cos<a,b>=

.

4.已知向量a=(1,-2,-1),b=(3,m,-1),若a⊥b,则m=

.2解析

∵a⊥b,∴a·b=3-2m+1=0,∴m=2.知识点2空间直角坐标系为了刻画空间中点的位置,按照如下方式建立空间直角坐标系:在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,然后过O作一条与xOy平面

的数轴z轴.这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.

在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面.z轴的正方向一般按照如下方式确定:在z轴的正半轴看xOy平面,x轴的正半轴绕O点沿

时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合.

垂直

逆

空间中建立了空间直角坐标系之后,三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分,如图.每一部分都称为一个卦限.命名体会传统文化,四象生八卦

名师点睛1.空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间,有了一一对应关系,空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z).此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标).2.八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点:Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+);Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+);Ⅴ:(+,+,-);Ⅵ:(-,+,-);Ⅶ:(-,-,-);Ⅷ:(+,-,-).过关自诊1.点P(1,2,1)关于xOz平面的对称点的坐标是(

)A.(1,-2,1) B.(-1,-2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,-2,-1)2.点A(0,-2,3)在空间直角坐标系中的位置是(

)A.在x轴上

B.在xOy平面内C.在yOz平面内 D.在xOz平面内AC解析

∵点A的横坐标为0,∴点A(0,-2,3)在yOz平面内.故选C.知识点3空间直角坐标系中两点之间的距离公式及中点坐标设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则

过关自诊1.已知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB的中点坐标是(

)B2.[2023湖南祁东高二阶段练习]已知点A(3,-1,0),若向量

=(2,5,-3),则点B的坐标是(

)A.(1,-6,3) B.(5,4,-3) C.(-1,6,-3) D.(2,5,-3)B重难探究·能力素养全提升探究点一空间向量坐标的计算【例1】

[北师大版教材例题]已知向量a=(-1,-3,2),b=(1,2,0),求:(1)2a;(2)(a+2b)·(-2a+b).解

(1)2a=2(-1,-3,2)=(-2,-6,4).(2)因为a+2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)=(-1,-3,2)+(2,4,0)=(1,1,2),-2a+b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)=(2,6,-4)+(1,2,0)=(3,8,-4),所以(a+2b)·(-2a+b)=(1,1,2)·(3,8,-4)=1×3+1×8+2×(-4)=3.规律方法

空间向量坐标的计算技巧(1)直接代入公式计算首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量按坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程组求出其坐标.变式中的求参问题便属于这一类型题目.变式训练1若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=

.

2解析

据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2.探究点二空间向量平行、垂直的坐标表示(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).又因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)变式探究若将本例改为“若ka-b与ka+2b互相垂直”,求k的值.解

由题意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4).∵(ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)·(ka+2b)=0,规律方法

1.判断空间向量垂直或平行的步骤

2.求出参数值后还要再回归到原题检验解的可行性,解决平行或垂直时用的坐标,若含参数还要注意分类讨论思想的应用.变式训练2[2023河南高二阶段练习]已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2).(1)若a∥b,求x的值;(2)若(a+b)⊥c,求x的值.解

(1)∵a∥b,∴b=λa,(2)a+b=(-2,1,3+x).∵(a+b)⊥c,∴(a+b)·c=0,∴-2-x+2(3+x)=0,∴x=-4.探究点三空间向量的夹角与长度的计算【例3】

[2023安徽高二阶段练习]棱长为2的正方体中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题:(1)求证:EF⊥B1C;(3)求FH的长.(1)证明

如图,以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,规律方法

通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.对于正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.变式训练3如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N为A1A的中点.(1)求BN的长;解

已知∠BCA=90°,如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),成果验收·课堂达标检测123451.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O为坐标原点,若,则点B的坐标为(

)A.(-1,3,-3) B.(9,1,1)C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)6B因为O为坐标原点,则点B坐标为(9,1,1).123452.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标是(

)A.(0,0,0)B.(2,-1,-4)C.(6,-3,-12)D.(-2,3,12)6C解析

设对称点为P3,则点M为线段PP3的中点,设P3(x,y,z),由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).123453.(多选题)已知a=(2,-3,1),则下列向量中不与a平行的是(

)A.(1,1,