新教材2023-2024学年高中数学第4章指数函数对数函数与幂函数4.2对数与对数函数4.2.1对数运算课件新人教B版必修第二册

第四章4.2.1对数运算基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质求对数值及解方程.3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.基础落实·必备知识全过关知识点1

对数的概念1.对数的定义:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=

,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数.

2.两种特殊的对数:名称定义常用对数将以

为底的对数称为常用对数,并把log10N记为

自然对数以

为底的对数称为自然对数,自然对数logeN通常简写为

logaN10lgNelnN名师点睛1.ab=N⇔b=logaN(a>0且a≠1,N∈(0,+∞)),以上两式是一个事实的两种不同形式,logaN表示一个实数.2.在logaN中,为什么规定a>0且a≠1,N∈(0,+∞)呢?这是因为:(1)若a<0,则b取某些数值时,N不存在;(2)若a=0,则当N≠0时,logaN不存在,当N=0时,logaN有无数个值,与函数定义不符;(3)若a=1,则当N≠1时,log1N不存在,当N=1时,log11有无数个值,与函数定义不符.依据对数定义,N是指数幂,故N>0.过关自诊1.任何一个指数式都可以化为对数式吗?提示

不是,如(-3)2=9,不能写成log(-3)9=2.B知识点2

对数的基本性质1.对数与指数的关系(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))指数表达式ab=N与对数表达式b=logaN实际上表示的是同一数量关系,如果把对数表达式中的b代入指数表达式,则可得

=

;

类似地,如果把指数表达式中的N代入对数表达式,则有logaab=b.2.对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)对于任意的a>0且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,loga=-1.N名师点睛1.=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数.2.loga1=0(a>0且a≠1),logaa=1(a>0且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.过关自诊

D0解析

原式=3+2×0-3×1+3×0=0.3.对数式lg(2x-1)中实数x的取值范围是

.

重难探究·能力素养全提升探究点一对数式与指数式的互化【例1】

[人教A版教材例题]把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:(1)54=625;(5)lg0.01=-2;(6)ln10≈2.303.解

(1)log5625=4;(5)10-2=0.01;(6)e2.303≈10.规律方法

1.logaN=b与ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图:2.在指对互化时,注意a和N的范围,在相应范围内时才能进行指对互化.变式训练1将下列指数式与对数式互化:(2)log10100=2,即lg

100=2.(3)loge16=a,即ln

16=a.(5)xz=y(x>0且x≠1,y>0).探究点二利用对数式与指数式的关系求值【例2】

[人教A版教材例题]求下列各式中x的值:(1)log64x=-;(2)logx8=6;

(3)lg100=x;(4)-lne2=x.解

因为lg

100=x,所以10x=100,10x=102,于是x=2.解

因为-ln

e2=x,所以ln

e2=-x,e2=e-x,于是x=-2.规律方法

指数式ax=N与对数式x=logaN(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个量时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个量.变式训练2求下列各式中x的值:(1)log2x=;(2)log216=x;(3)logx27=3.解∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.解∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.探究点三利用对数的基本性质求值20(2)求下列各式中x的值:①ln(log2x)=0;②log2(lgx)=1;解

①∵ln(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2.②∵log2(lg

x)=1,∴lg

x=2,∴x=102=100.规律方法

在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a>0且a≠1);(3)logaa=1(a>0且a≠1);(4)=N(a>0且a≠1,N>0)进行对数的化简与求值.9②由logx25=2,得x2=25.∵x>0且x≠1,∴x=5.③由log5x2=2,得x2=52,∴x=±5.∵52=25>0,(-5)2=25>0,∴x=5或x=-5.成果验收·课堂达标检测12341.对数式log(a-2)(5-a)中实数a的取值范围是(

)A.(-∞,5) B.(2,5)C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞)C123412343.若loga2=m,loga3=n(a>0且a≠1),则a2m+n=

.

12解析

因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3.所以a2m+n=a2m·an=(am