新教材2023-2024学年高中数学第五章数列5.1数列基础5.1.2数列中的递推课件新人教B版选择性必修第三册

第五章5.1.2数列中的递推课程标准1.逐步体会递推公式是数列的一种表示方法;2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的项;3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法;4.理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项an.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

基础落实·必备知识全过关知识点1数列的递推关系如果已知数列的

,且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的

(也称为递推公式或递归公式).

首项(或前几项)

递推关系名师点睛通项公式与递推公式的区别与联系类别区别联系通项公式an是序号n的函数式an=f(n)都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项递推公式数列的相邻两项或两项以上的关系式过关自诊1.已知数列{an}的首项a1=1,且an=3an-1+1(n≥2),则a4为(

)A.13 B.15

C.30

D.402.[人教A版教材习题改编]已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+2n-1(n≥2),试求该数列的前5项.D解析

a2=3a1+1=4,a3=3a2+1=13,a4=3a3+1=40.解a1=1,a2=a1+21=1+2=3,a3=a2+22=3+4=7,a4=a3+23=7+8=15,a5=a4+24=15+16=31.知识点2数列的前n项和一般地,给定数列{an},称

为数列{an}的前n项和.

过关自诊[人教A版教材习题改编]若数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,则数列{an}的通项公式为an=

.

Sn=a1+a2+a3+…+an2n解析

a1=S1=2.因为an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n(n≥2),并且当n=1时,a1=2×1=2依然成立,所以{an}的通项公式是an=2n.重难探究·能力素养全提升探究点一由递推关系写出数列的项【例1】

已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3).(1)写出此数列的前5项;(2)通过公式

构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.解(1)a1=1,a2=2,a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.规律方法

由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如

.变式训练1[人教A版教材例题]已知数列{an}的首项为a1=1,递推公式为,写出这个数列的前5项.解由题意可知a1=1,探究点二由递推公式求通项公式【例2】

(1)已知a1=1,an+1-an=2,求数列{an}的通项公式.解(方法一)∵an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,……,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1).又a1=1,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.(方法二)∵an+1-an=2,∴an=an-1+1×2=an-2+2×2=…=a1+(n-1)×2=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)已知a1=1,an+1=2an,求数列{an}的通项公式.又a1=1,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.(方法二)∵an+1=2an,∴an=2an-1=22an-2=23an-3=…=2n-1a1=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.规律方法

由递推公式求通项公式的方法(1)归纳法一般是根据递推公式先写出前几项,然后进行归纳猜想n与an间的内在规律,但此方法不严密,需要将通项公式代入递推公式检验.(2)累加法当an-an-1=f(n)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1来求通项公式an.(3)累乘法A探究点三

数列中an与Sn的关系

【例3】

(1)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2-3n,求通项an.(2)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=5n-3,求通项an.解

当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.显然a1=-1满足上式,故数列{an}的通项an=4n-5.解

当n=1时,a1=S1=51-3=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4×5n-1.显然a1=2不满足上式,变式探究将例3(1)中条件“Sn=2n2-3n”改为“Sn=2n2-3n+1”,求通项an.规律方法

由Sn求an的方法

若a1适合an(n≥2)的表达式,则可用一个公式表示an;若a1不适合,则要用分段函数的形式表示an.故不可不求a1而直接求an.成果验收·课堂达标检测12345C12345A123453.设数列{an}的前n项和Sn=n3,则a4=(

)A.15 B.37

C.27

D.64B解析

a4=S4-S3=43-33=64-27=37.123454.已知数列{an}满足a1=2,(n+1)an+1-(n+2)an=2,则a3=

.

6解析

当n=1时,2a2-3a1=2,即2a2-3×2=2,解得a2=4.当n=2时,3a3-4a2=2,即3a3-4×4=2,解得a3=6.123455.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+(2n-1),写出它的前5项,并归纳出数列的通项公式.解∵a1=0,an+1=an+(2n-1),∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,a4=a