2022-2023学年山西省朔州市怀仁市校高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山西省朔州市怀仁市校高一下学期期末数学试题一、单选题1．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分奇偶讨论，结合图象可得答案.【详解】当时，，当时，,所以选项C满足题意.故选：C.2．已知向量，它们的夹角为，则（

）A．10 B． C． D．13【答案】C【分析】根据模长的计算公式即可代入求值.【详解】因为向量，它们的夹角为，所以，所以.故选：C.3．在中，角的对边分别为，则外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理结合已知可求出三角形外接圆的半径，从而可求出外接圆的面积》【详解】设外接圆的半径为，则，解得，所以外接圆的面积为.故选：B.4．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数的周期公式计算作答.【详解】依题意，，所以的最小正周期为.故选：A5．某圆锥的侧面积为8，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用圆锥的侧面积公式，将圆台的侧面积转化为两个圆锥侧面积的差即可.【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，截去的小圆锥的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，圆锥的侧面积，所以.截去的小圆锥的侧面积，故圆台的侧面积为.故选:D.6．从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（

）A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球【答案】D【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误；至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确.故选：D.7．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断可得答案.【详解】对于A，缺少这个条件，故A错误；对于B，由可得，在内存在直线，因为，所以，即，故B正确；对于C，若，则与可能平行或相交，故C错误；对于D，因为，所以，若，则平行或异面，故D错误.故选：B.8．在中，角的对边分别是，则角的正切值的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理化简已知等式可得，然后利用余弦定理结合基本不等式可求出，从而可求出角的正切值的最大值.【详解】由，得，得，所以，当且仅当时取等号，所以当角取得最大值时，，又，所以，所以.所以角的正切值的最大值为，故选:A.二、多选题9．已知为复数，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．【答案】AD【分析】根据复数的乘除法运算以及复数的类型，即可判断AB,由复数的模长即可判断D，根据复数的特性判断C.【详解】设，由为实数，得，所以，故正确；若，则，故B错误；不全是实数的两个复数不能比较大小，故C错误；设，则，故D正确.故选:AD.10．下列关于平面向量的说法中，正确的是（

）A．若，则B．若，则C．D．若非零向量满足，且不共线，则【答案】AD【分析】由向量相等判断A；取判断B；由数量积公式结合数乘运算判断C；由平面向量基本定理判断D.【详解】根据平面向量相等的定义，A正确；若，则不能推出，B错误；表示与共线的向量，表示与共线的向量，C错误；根据平面向量基本定理，D正确.故选：AD.11．将函数的图象向右平移个单位长度，所得到的函数为偶函数，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据三角函数图象变换规律求出变换后的解析式，再根据偶函数性质求出可得答案.【详解】，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，因为该函数为偶函数，所以，所以.当时，；当时，，故选：AC.12．在三棱锥中，，则下列说法正确的是（

）

A．三棱锥的外接球的表面积为B．三棱锥的体积为C．直线与平面所成角的正弦值为D．若点是平面内的一点，且，则点的轨迹长度为【答案】ACD【分析】通过计算可知，是三棱锥的外接球的直径，由球的表面积公式计算可知A正确；取的中点，根据计算可知B错误；过作的垂线，垂足为，可得为直线与平面所成的角，计算可知C正确；由得，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，计算可知故D正确.【详解】因为，所以，又，，所以，所以，所以是三棱锥的外接球的直径，所以三棱锥的外接球的半径，表面积，故A正确；取的中点，因为，所以，又，，所以，因为，所以，，又平面，所以平面.在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，故B错误；过作的垂线，垂足为，因为平面平面，所以，又平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，由，得，故C正确；因为平面，平面，所以，所以，所以，所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹长度为，故D正确.

故选：ACD.【点睛】关键点点睛：A选项中，通过计算得出是三棱锥的外接球的直径是关键，C选项中，根据线面角的定义作出线面角是关键，三、填空题13．某学校有高中学生800人，其中高一年级､高二年级､高三年级的人数分别为260，240，300.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用按比例分配的分层抽样方法从中抽取一个容量为200的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为.【答案】65【分析】利用抽样比可求出结果.【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，则高一年级抽取的人数是.故答案为：.14．已知圆锥的母线长为1，底面半径为r，若圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，则＝．【答案】3【分析】根据圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，得到扇形的圆心角为，则可列出等式求解.【详解】解：由题意可知扇形的圆心角为，则，所以．故答案为：315．小张､小陈､小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为，小陈做出这道题的概率为，小胡做出这道题的概率为，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为.【答案】【分析】根据独立事件与对立事件的概率公式可求出结果.【详解】记“这道题被做出来”为事件,则.故答案为：16．已知函数在上有且仅有5个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】化简，利用正弦函数图象的性质列式可求出结果.【详解】，当时，因为，所以，因为在上有且仅有5个零点，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题17．小胡､小陈两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：小胡8580797594889584小陈9395817280829285(1)试估计两位学生预赛成绩的平均数和方差；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由.【答案】(1)小胡的平均数为85，方差为44；小陈的平均数为85，方差为54.(2)派小胡参赛比较合适，理由见解析【分析】（1）根据平均数和方差公式计算可得结果；（2）比较均值和方差的大小可得结论.【详解】（1）小胡的平均数，小胡的方差,小陈的平均数；小陈的方差.（2）因为，所以小胡的成绩较稳定，派小胡参赛比较合适.18．已知函数的图象的一条对称轴是.(1)求的单调减区间；(2)求的最小值，并求出此时的取值集合.【答案】(1)(2)最小值是，此时的取值集合是【分析】（1）由题意可得，再结合可求得，从而可求得，然后由可求出的单调减区间；（2）由正弦函数的性质可得当时，，由此可求出的取值集合.【详解】（1）因为的图象的一条对称轴是，所以，解得，又，所以，所以，令，解得，所以的单调减区间是；（2）当时，，令，解得，所以的最小值是，此时的取值集合是.19．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，为棱上一点.

(1)若为棱的中点，平面平面，求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线线平行可由线面平行的判断证明线面平行，进而由线面平行的性质即可求证线线平行，（2）根据线面角的几何法找到线面角，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】（1）证明：连接交于点，连接，如图所示.

因为四边形为菱形，且为中点，为棱的中点，所以，又平面平面，故平面，又平面平面平面，所以；（2）因为四边形为菱形，所以，因为平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面.不妨设，因为四边形为菱形，，所以，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.20．共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分直方图.

(1)求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；(2)用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率.【答案】(1)，平均数75.5，中位数75(2)【分析】（1）根据频率和为1求a；以每组区间中点值为代表，结合加权平均数求平均数的估计值；根据中位数的左右两侧频率和均为0.5，运算求解．（2）利用分层抽样可得在区间应抽取4人，在区间应抽取2人，再利用古典概型求解即可．【详解】（1）由题意知，解得.满意度评分值的平均数；设满意度评分值的中位数为，所以，解得，即满意度评分值的中位数为75.（2）满意度评分值在内的有（人），满意度评分值在内的有20（人），抽取的6人中满意度评分值在）内的有（人），记为，满意度评分值在内的有（人），记为.从这6人中随机抽取2人有，，共15种基本事件，其中抽到的2人满意度评分值均在内的有，共6种基本事件，所以抽到的2人满意度评分值均在内的概率.21．在中，角的对边分别是，且.(1)求角A的大小；(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）将右边展开，利用余弦定理和正弦定理边化角化简可得，结合辅助角公式即可求得答案.（2）利用余弦定理化简可求得a，由正弦定理表示出的表达式，即可求出三角形面积的表达式，确定角B的范围，即可求得答案.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，即，又，所以，则，解得；（2）因为，由余弦定理得，解得，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以且，故.所以的面积，又，所以，所以的面积的取值范围为.22．如图，四边形是正方形，四边形是矩形，平面平面，直线与平面所成角的正切值为.

(1)求证：平面平面；(2)求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理可证结论成立；（2）过点作的垂线，垂足为，连接，可证是二面