锐角三角函数教案

锐角三角函数一．知识框架知识概念1、正弦，余弦，正切的概念如图，在中，〔1〕sinA＝，〔2〕cosA＝，〔3〕tanA＝。asinacosatana30°EQ\f(1,2)EQ\f(\r(3),2)EQ\f(\r(3),3)45°EQ\f(\r(2),2)EQ\f(\r(2),2)160°EQ\f(\r(3),2)EQ\f(1,2)EQ\r(3)2、2.坡度〔坡比〕的概念及表示形式如下图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度l的比叫做坡度〔或坡比〕，坡度常用字母i表示．斜坡的坡度阳坡角的正切值有如下关系：，即坡度是坡角的正切值．1．正切与梯子的倾斜程度的关系：的值越大，梯子越陡．注意：梯子的倾斜程度与梯子和地面的夹角的大小有关，夹角越大说明梯子越倾斜．2．正弦、余弦与梯子的倾斜程度的关系：的值越大，梯子越陡；的值越小，梯子越陡．3.解直角三角形：锐角的正弦，余弦和正切都是∠的三角函数，直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角．除直角外只要知道其中2个元素〔至少有1个是边〕，就可利用以上关系求出另外3个元素．4.仰角，俯角当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角，如下图，为仰角，俯角：当从高处观测低处的目标时，仰角：视线与水平线所成的锐角，如下图，为俯角，例题：题型一：三角函数的定义例1、〔2015•崇左〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则以下三角函数表示正确的选项是〔A〕A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．tanB=例2、〔2015•庆阳〕在△ABC中，假设角A，B满足|cosA﹣|+〔1﹣tanB〕2=0，则∠C的大小是〔D〕A．45° B．60° C．75° D．105°例3、〔2015•**〕在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为〔D〕A．7 B．8 C．8或17 D．7或17【解答】解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB=12，∠B=45°，∴AD=BD=12，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5=17，应选D．题型分析：〔1〕对于利用三角函数求线段长度的问题，一般要把这条线段放在一个直角三角形中来解决，因此必须先构造出以该条线段为边的直角三角形。〔2〕在构造直角三角形时，要善于联系，使题目中的条件能尽量转化到同一直角三角形中。并且尽量构造出含特殊角的直角三角形。另外还需注意根本的几何模型，补全根本的几何模型，也是我们作辅助线的一个常用策略。〔3〕对于一个直角三角形，如果知道除直角的另外两个元素(至少含一边)，则可以求出其他三个元素。题型二：坡度的实际应用例1、〔2014•**〕如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为〔B〕A．4米B．6米C．12米D．24米例2、〔2015•巴彦淖尔〕如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海里C到航线AB的距离CD是〔C〕A．20海里B．40海里C．20海里D．40海里【解答】解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=40海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，∴sin60°=，∴CD=40×sin60°=40×=20〔海里〕．应选：C．题型三：利用三角函数求高例1、如图，小山岗的斜坡的坡度是，在与山脚距离的点处测得山顶的仰角为，求小山岗的高〔结果取整数；参考数据：)．分析：设小山岗的高为．则，又在中，而，所以可得关于的方程，解之即可求得解：设小山岗的高为在中，在中，而tan26.6°=0.50，解得答：小山岗的高为点拨：在直角三角形中根据的边、角求未知的边、角时，一般要借助锐角三角函数，此题中正确理解坡度，仰角的概念是关键．课堂小测1．〔2015•余姚市模拟〕如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于〔〕A．B．C．D．2．〔2015•**模拟〕如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，假设tan∠BCD=，则tanA=〔〕A．B．1 C．D．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵tan∠BCD=，设BE=*，则AC=2*，∴tanA===，应选A．3、〔2015•滨海县一模〕如图，在平面直角坐标系中，P是∠1的边OA上一点，点P的坐标为〔3，4〕，则sin∠1的值为〔C〕A．B．C．D．4．〔2015•贵港一模〕假设一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，则这个三角形最小角的正切值为〔C〕A．B．C．D．5．〔2015•**〕如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为〔〕A．B．﹣1 C．2﹣D．【考点】解直角三角形；等腰直角三角形．【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．∴tan∠DBC===．应选：A．【点评】此题考察了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．6.〔2014•**〕如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为〔D〕A．26米B．28米C．30米D．46米7．〔2015•**〕如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB〔单位：米〕为〔〕A．50B．51 C．50+1 D．101【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】设AG=*，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出*的值，继而可求出电视塔的高度AH．【解答】解：设AG=*，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG=，∴EG==*，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==*，∴*﹣*=100，解得：*=50．则AB=50+1〔米〕．应选C．【点评】此题考察了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．8．〔2016•宝山区一模〕计算：﹣．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=﹣=﹣=+﹣=+．【点评】此题考察了特殊角的三角函数值，解答此题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．9．〔2016•**模拟〕如图，在锐角三角形ABC中，AB=10，AC=2，sinB=．〔1〕求tanC；〔2〕求线段BC的长．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】〔1〕过点A作AD⊥BC于D，根据条件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，进而得出tanC；〔2〕在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD=8，结合CD的长度，即可得出BC的长．【解答】解：〔1〕如图，过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB=10，sinB==，∴=，∴AD=6，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2，∴CD2=〔2〕2﹣62=16，∴CD=4，∴tanC===；〔2〕在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，∴由勾股定理得BD=8，由〔1〕得CD=4，∴BC=BD+CD=12．【点评】此题考察了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系．课后小测1．〔2014•**模拟〕如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠局部的面积为〔〕A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【解答】解：如图，由题可知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB．作CD⊥AB，垂足为D，则CD=1．∵sin∠A=，∴==AB，∴S△ABC=×AB×CD=，∴折叠后重叠局部的面积为cm2．应选D．2．〔2016•徐汇区一模〕计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【解答】解：原式=4×﹣2××+=2﹣1+2=2+1．3．〔2016•奉贤区一模〕计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进展计算即可．【解答】解：原式=•+〔〕2﹣+2×=+﹣+=1+．【点评】此题考察的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．4.〔2015•**〕如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：〔1〕BC的长；〔2〕sin∠ADC的值．【考点】解直角三角形．【分析】〔1〕过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB=，求出BE的长即可；〔2〕根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；〔2〕∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【点评】此题考察的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．5.〔中考题〕如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理．菁优网所有【专题】压轴题．【分析】过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，在Rt△ABC中运用三角函数可得=，易证△AEB∽△BFC，运用相似三角形的性质可求出FC，然后在Rt△BFC中运用勾股定理可求出BC，再在Rt△ABC中运用三角函数就可求出AC的值．【解答】解：如图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图．∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴tan∠BAC==．∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴==．∵EB=1，∴FC=．在Rt△BFC中，BC===．在Rt△ABC中，sin∠BAC==，AC===．故答案为．战术指导战术指导解题方法〔1〕求三角函数时先确定适宜的直角三角形，然后再根据三角函数求对应边的比。〔2〕数形结合思想。锐角的一个三角函数值求其它三角函数值，一般要画出图形，设未知数，再根据定义求解。当中没有直角三角形时，一般通过做辅助线将斜三角形转化为直角三角形，再求三角函数。〔3〕用三角函数解题时，假设题中没有直角三角形，则要先构造直角三角形。〔4〕比拟同名三角函数值的大小时，可以利用三角函数的增减性来比拟。〔当为锐角时，随的增大而增大，随的增大而增大，随的增大而减小。〕总结：1．〔2015•日照〕如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，假设tanB=，则tan∠CAD的值〔〕A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即=，设AD=5*，则AB=3*，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得CE=*，DE=，从而可求tan∠CAD==．【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5*，则AB=3*，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=*，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．应选D．【点评】此题考察了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是根底知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．2．〔2015•**〕如图，斜面AC的坡度〔CD与AD的比〕为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．假设AB=10米，则旗杆BC的高度为〔〕A．5米B．6米C．8米D．〔3+〕米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】设CD=*，则AD=2*，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．【解答】解：设CD=*，则AD=2*，由勾股定理可得，AC==*，∵AC=3米，∴*=3，∴*=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，BD==8米，∴BC=8﹣3=5米．应选A．【点评】此题考察了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，找到适宜的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键．3．〔2014•**〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于〔〕A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=*，则BC与CF就可以用*表示出来．就可以求解．【解答】解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，设AB=2*，则BC=*，AC=*．∴在Rt△CFB中有CF=*，BC=*．则tan∠CFB==．应选：C．【点评】此题考察锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于比照斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．4．〔2014•**〕小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高〔〕A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】几何图形问题．【分析】构造两个直角三角形△ABE与△BDF，分别求解可得DF与EB的值，再利用图形关系，进而可求出答案．【解答】解：∵BE：AE=5：12，=13，∴BE：AE：AB=5：12：13，∵AB=1300米，∴AE=1200米，BE=500米，设EC=*米，∵∠DBF=60°，∴DF=*米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．即：1200+*=〔500+*〕，解得*=600﹣250．∴DF=*=600﹣750，∴CD=DF+CF=600﹣250〔米〕．答：山高CD为〔600﹣250〕米．应选：B．【点评】此题考察俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．5．〔2014•**〕如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为〔〕A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】几何图形问题．【分析】过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案．【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40〔海里〕，则PB==40〔海里〕．应选：A．【点评】此题主要考察了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．6．〔2013•德阳〕如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为〔〕A．B．C．D．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC=BD+CD即可求解．【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD•tan30°=120×=40m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD•tan60°=120×=120m，∴BC=BD+CD=40+120=160m．应选D．【点评】此题主要考察了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，难度适中．对于一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．7．〔2013•聊城〕河堤横断面如下图，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为〔〕A．12米B．4米C．5米D．6米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．【解答】解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，