正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理专项运用正弦、余弦定理解三角形(1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解．(2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的状况可分为几个状况．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的状况以下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解1.eq\a\vs4\al(教材习题改编)在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于()A．3eq\r(2)B．6eq\r(2)C．2eq\r(6)D．3eq\r(6)2.eq\a\vs4\al(教材习题改编)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝()3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形()A．无解B．有两解C．有一解D．解的个数不拟定4．(·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，则eq\f(b,c)＝________．5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c＝()A．3∶2∶1B.eq\r(3)∶2∶1C.eq\r(3)∶eq\r(2)∶1D．2∶eq\r(3)∶16．(1)(·卷丙)在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC边上的高等于eq\f(1,3)BC，则cosA＝()A.eq\f(3\r(10),10)B.eq\f(\r(10),10)C．－eq\f(\r(10),10)D．－eq\f(3\r(10),10)(2)(·卷甲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，则b＝________．(3)(·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，则AB等于________．7．(必修5P18练习T1(1)改编)在锐角△ABC中，a＝2，b＝3，S△ABC＝2eq\r(2)，则c＝()A．2B．3C．4D.eq\r(17)8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝eq\f(2,3)，则b＝()A．14B．6C.eq\r(14)D.eq\r(6)9．△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2atanA＝bcosC＋ccosB，则tan2A＝()A．1B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,3)10．△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c.A＝120°，a＝7，S△ABC＝eq\f(15,4)eq\r(3)，则b＋c＝________．11．(1)(·北京入学定位考试)在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，则cos5B＝()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)或－1D．－eq\f(\r(3),2)或0(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的大小为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不拟定(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若eq\f(a,sinB)＋eq\f(b,sinA)＝2c，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形(3)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形13(·铜川一模)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝2eq\r(2)，且C＝eq\f(π,4)，则△ABC的面积为()A.eq\r(3)＋1B.eq\r(3)－1C．4D．214(1)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠eq\f(π,2)，sinC＋sin(B－A)＝eq\r(2)sin2A，则角A的取值范畴为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)(3)在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acosA＝bsinA，则sinA＋sinC的最大值为()A.eq\r(2)B.eq\f(9,8)C．1D.eq\f(7,8)(4)(·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范畴是________．(5)(·海淀模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范畴是________．解三角大题1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．2．(·辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，cosB＝eq\f(1,3)，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．4．(·高考全国卷乙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝eq\r(7)，△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．5．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(B＋C)＝－eq\f(\r(3),3)sin2A.(1)求A；(2)设a＝7，b＝5，求△ABC的面积．6．(·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．7．(·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2eq\f(B,2).(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.8．(·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1.(1)求B的大小；(2)若a＋c＝eq\f(3\r(3),2)，b＝eq\r(3)，求△ABC的面积．10．(·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2eq\f(A－B,2)＋4sinAsinB＝2＋eq\r(2).(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．11．(河北衡水中学一调)已知圆O的半径为R(R为常数)，它的内接三角形ABC满足2R(sin2A－sin2C)＝(eq\r(2)a－b)sinB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．(1)求角C；(2)求三角形ABC面积S的最大值．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝eq\f(π,4)，b2－a2＝eq\f(1,2)c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．13．已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2＋b2＝6abcosC，且sin2C＝2sinAsinB.(1)求角C的值；(2)设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))－cosωx(ω＞0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为π，求f(A)的取值范畴．14．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b2＋c2－a2)tanA＝eq\r(3)bc.(1)求角A；(2)若a＝2，求bc的最大值．15．(·安徽十校联考)如图，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．16．(·洛阳统考)如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长；(2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范畴．17．(·福建福州模拟)如图，在△ABC中，AB＝2，cosB＝eq\f(1,3)，点D在线段BC上．(1)若∠ADC＝eq\f(3π,4)，求AD的长．(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为eq\f(4,3)eq\r(2)，求eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)的值．1．△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)＝()A．2eq\r(3)B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D.eq\r(2)2．(·贵州安顺二模)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．(·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范畴为()A．(eq\r(2)，eq\r(3))B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(2)，2)D．(0,2)4．在△ABC中，已知sinA∶sinB＝eq\r(2)∶1，c2＝b2＋eq\r(2)bc，则三内角A、B、C的度数依次是________．5．如图所示，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为()A．8eq\r(2)B．9eq\r(2)C．14eq\r(2)D．8eq\r(3)6．(·课标全国Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．7．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cosC＝()A.eq\f(\r(2),4)B．－eq\f(\r(2),4)C.eq\f(3,4)D．－eq\f(3,4)8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝eq\r(3)，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(3,2)9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(c,b)＜cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形10．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则eq\f(sin2A,sinC)的值为()A．1B．2C．3D．411．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA－eq\r(3)acosB＝0，且b2＝ac，则eq\f(a＋c,b)的值为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\r(2)C．2D．412．(·哈尔滨一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\r(3)13．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝eq\r(3)，则三角形外接圆的半径为________．14．在△ABC中，b＝ccosA＋eq\r(3)asinC，则角C的大小为________．15．(·贵阳市监测考试)在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2eq\f(B,2)＝eq\f(c－a,2c)，则△ABC的形状一定是________．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sinA，sinB，sinC成等差数列，且a＝2c，则cosA＝________．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，eq\f(asinA＋bsinB－csinC,sinBsinC)＝eq\f(2\r(3),3)a，a＝2eq\r(3).若b∈[1，3]，则c的最小值为()A．2B．3C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)18．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asinB＝eq\r(3)b，b＝2，c＝3，AD是内角的平分线，则BD＝________．19．(·天津高考)在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．420．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶221．(·河北石家庄二中模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4，b＝2eq\r(6)，sin2A＝sinB，则边c的长为()A．2B．3C．4D．2或422．(·甘肃天水期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°23．(·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2B＝eq\r(3)bsinA.(1)求B；(2)若cosA＝eq\f(1,3)，求sinC的值．24．(·河南省八市重点高中质量检测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA＝(2sinB－eq\r(3)sinC)b＋(2sinC－eq