最优扁担及最佳使用方式

关于“最优扁担及最正确使用方式〞的探究摘要“扁担〞是一种简单实用且省力的运输工具，但其本身的固有属性，使用者的行进方式等都将对省力的程度造成影响。本文即针对扁担的参数及使用者的舒适程度等建立相应的数学模型，进而讨论分别在平地行走与上楼时，扁担行进的最正确方式。文中首先根据简化的扁担示意图进展受力分析，以建立扁担的数学模型为根底，进而考虑“扁担—重物系统的固有频率〞、“挑担者的步频、步伐〞“扁担设计〞等因素对挑担者肩部产生的压强及舒适程度的影响，得出当挑夫的行进频率与扁担的固有频率一致、扁担实现等强度梁、当挑夫的步伐频率为系统固有频率的1.2—1.5倍时，挑夫可以走得既轻快又省力等结论。其次，通过对数学模型的进一步分析和求解，分别得出了在平地上与上楼时扁担的最优参数及挑夫的最正确行进方式。当行走在平地上时，当扁担的固有频率在18—23Hz之间，扁担的厚度按照*一公式变化，步伐频率为“扁担—重物〞系统固有频率的1.2—1.5倍，且手臂自然下垂摆动时，舒适度最高。当需要上楼梯时，除了保证平地行走扁担的最优参数外，还应按照与水平面一定的偏角选取路线，才能保证挑夫的轻松与平安。最后，根据对数学模型求最优与分析的结果，我们针对不同的实际情况给出了相应的建议或方案，并根据实际生活情况对模型进展检验，证明模型具有一定的可行性，有应用开展前景。关键词：固有频率；等强度梁；受迫振动；行进频率；舒适度一、问题重述“最好的扁担和最正确的使用方式〞探究扁担是勤劳朴实的中国人民几千年来留下的一种简单而实用的工具。扁担可以由不同的原材料制作，常见的有桑木、竹子等。根据制作材料的不同，扁担有“硬〞和“弹〞两种不同类性，在担货物的时候，“硬〞扁担不会变形，而“弹〞扁担的两端则会随着走动而上下抖动。此题目以探究“最好的扁担和最正确的使用方式〞为目标，建立和求解数学模型。为了简化问题，我们将扁担转化为如下理想简化模型：一根质量不计的、宽度固定、长度1.6米的理想硬杆，其与肩部的接触面积固定为S，长杆的两个最远端分别固定着一样的弹簧，弹簧的长度和劲度系数均可由同学们选定，弹簧下面挂货物。1.请建立担扁担的数学模型，建立一个衡量担扁担者舒适程度的数学标准；2.请尝试给出一个平地担扁担行进的最正确情况，至少包括扁担应有的参数和人的理想行进方式；3.请尝试给出上楼梯情况下，担扁担行进的最正确情况，至少包括扁担应有的参数和人的行进方式。二、问题分析此题是一个探究最好的扁担固有参数以及使用者最正确行进方式，能让使用者最省力、最舒适的现实数学问题，即需要根据题意和生活经历提炼出影响使用者受力的因素，用数学模型对其进展综合描述，进而根据数学模型在理论上分析出减小使用者所受的压强与舒适度的量化关系。探寻所受压强最小，舒适度最高时扁担的参数与使用者的行进方式，给出实际建议。另外，在挑担上楼梯时为防止受伤，挑夫一般不能直上直下，转而采取“之〞字型的路线，但是路线会因此变长，时间也将花费更多。因此，面临不同坡度且不同高度的楼梯时，应选取怎样的上楼方式〔比方：一个周期的路线包括多少级台阶〕，扁担是否要做调整等，都是要重点关注与解决的问题。三、模型假设〔1〕一根质量不计的、宽度固定、长度1.6米的理想硬杆，其与肩部的接触面积固定为S，长杆的两个最远端分别固定着一样的弹簧，弹簧下面挂货物。〔2〕由于挂钩的摩擦力、空气阻力等外力影响的因素很小，我们假设“扁担—重物〞系统的摩擦系数为0，并且忽略空气阻力。〔3〕由于当担扁担者不同时，即因为人的体质差异，如：身高，腿长，臂展，气力大小和身体强健程度的，会对我们建立的数学模型产生影响，由于这些因素具有随机性和不可控性，为方便起见，我们忽略这种体质差异，即将人的体质参数设为定值，不影响结果。〔4〕挑担者右手腕轻松地搭搁在扁担上，左手自然摆动，不对“扁担—重物〞系统施加力的作用。因为根据生活经历，假设挑担者尝试缩短或抓紧悬绳，乃至直接拉住重物或非自然地去辅助支撑扁担，一段时间后将引起手臂以及肩肘关节的疲劳，因此会大大降低挑担者的舒适程度。四、符号说明QUOTE:弹簧的固有长度QUOTE:弹簧的劲度系数〔模拟扁担的刚度系数〕QUOTE:扁担两端分别挂的重物的质量P:扁担两端分别挂的重物的重力QUOTE:“扁担—重物〞系统无阻尼固有角频率QUOTE:挑担者行走的固有角频率λ:重物的振幅F:重物对挑担者的附加作用力t:挑担的时间QUOTE:扁担横截面的厚度b:扁担的宽度QUOTE:梁上的正应力d：肩部的振幅2d：挑担者抬脚的高度QUOTE：台阶高度QUOTE：一步的步长c：阻尼比r：粘性阻尼系数QUOTE：重物对肩膀动反作用力的幅值QUOTE：重物对肩膀动作用力的幅值S：QUOTE/QUOTEQUOTE：人上楼梯时走“之〞字型的行进偏角QUOTE：人上楼梯加速阶段的加速度QUOTE：人上楼梯减速阶段的加速度QUOTE：人上楼梯加速阶段所用时间QUOTE：人上楼梯减速阶段所用时间QUOTE：楼梯的坡度五、模型的建立与求解5.1扁担的数学模型理论根底挑着扁担静止不动时，其肩膀所受的总作用力大致为两端所悬挂重物的重量之和，方向竖直向下。当挑担者行进在平地上时，由于重物的上下振动，挑担者所受到的作用力并不总等于重物的总重力，在*些条件下，其受到的作用力会小于悬挂物的总重力，挑担者会因此感受到“省力〞的舒适。具体针对可能“省力〞的条件分析如下：〔1〕肩部垂直鼓励引起的振动由于双腿支撑时人体重心较低，摆动腿越过直立的支撑腿时重心较高，使得肩部高度产生相应的变化，对扁担提供垂直方向的震荡鼓励[1]。主要的研究对象“扁担—重物〞系统受迫振动的频率与挑夫在行进过程中重心起伏变化的频率一致。基于对称性，扁担前后局部可同时绕支撑点即与肩部最初接触的点振动。〔2〕扁担近似为等强度梁扁担和肩膀的接触处位于扁担的中部，扁担对于其与肩膀的接触线是左右对称的。扁担一半的力学模型是材料力学中的悬臂梁，整根扁担相当于左右两根在固支端并在一起的两根悬臂梁。把扁担做成中间厚两端薄的近似等强度梁的形状,减轻了扁担的重量,但这受益不是很大,因为扁担本身重量不大,减轻重量也减轻不了多少。节省材料对制作扁担也没有实质的意义,因为节省下来的木料成了废品,还要花费额外的劳动。它的实质意义在于,在保证强度要求的前提下减小了扁担的刚度,增加了其柔度,降低了“扁担—重物〞系统的固有频率,这使得挑夫的步伐频率比拟容易大于“扁担—重物〞系统的固有频率。这样,在挑行的过程中,挑夫就可以既走得快,又省力。数学模型及量化分析〔1〕重物的上下振动对挑担者的影响设扁担为E，E的上下运动相当于人重心的运动，扁担E驱动着弹簧和其下悬挂的物体在竖直方向的投影为简谐振动。当E上下振动时，物体M受到向上的弹性力F。扁担—重物系统无阻尼固有角频率为：QUOTE=QUOTE，人行走的角频率为QUOTE(_^)/(_()^^)⁡⁡D_Dd__________✣ضϨϨ__________________D_Dd__________Ϗλ为重物的振幅，当QUOTE(^)/(_^^)⁡〖〗^⁡____________________由此可知，双腿支撑时肩部到达低位，扁担对肩部向下作用力到达最大，双腿左右摆动时扁担对肩部载荷较小。当重物质量较轻时，扁担系统的固有频率比拟大,挑夫要加快步伐,才能使其行进频率与固有频率相等,即重物越轻,要求挑夫频率越快才越省力。但是，当过于轻载,挑夫行进频率无法到达固有频率时,挑夫只有降低频率行走,此时省力不太明显。不过由于扁担有一些颤悠,作用在肩上的力按周期性变化,这样与没有颤悠的担子比拟起来还是觉得省力。如果载重超过额定值,但未到达扁担的最大载重量值时,其固有频率比拟小,挑夫只能放慢脚步行进。在生活中不同长度、不同厚度以及不同材质的扁担制作,在工艺上结合一定的额定载重量,将其按等强度梁进展设计,使其额定固有频率在18—23Hz之间为最正确。〔2〕关于扁担设计成等强度梁与舒适度的关系假设一：扁担两端所挑重物质量一样，重力均为P,此时可取一半长度看做悬臂梁，即：QUOTEm；假设二：扁担横截面为高(厚)h，宽b的矩形截面，且由题意知b固定为常数；悬臂梁变力分析如图：梁上*处所受弯矩为：据先画出弯矩图为：设梁上最大正应力为QUOTE，抗弯截面系数为QUOTE，则可知：QUOTEQUOTE[QUOTE](1)其中QUOTE，且QUOTE随着*的变化而变化，带入公式(1)中有：也即：可得：扁担厚度按此变化可最大节省材料，同时实现等强度梁，但*<0.8,即在扁担边缘时存在极端情况，理想情况厚度可为0，但易知实际情况不可能，故存在实际误差。〔3〕挑担者步伐对其省力程度的影响当抬脚高度为2d,肩部振幅为d。肩膀运动为：BQUOTEe=2.718…欧拉常数；QUOTEQUOTE为虚数单位，t是时间；重物对肩膀的动反作用为2mBQUOTE,振幅：QUOTE;因为扁担是有一定刚度的，两侧弹簧可使重物在行进时做受迫振动时，重物施加给肩膀的力时变化的，有时大，有时小，我们假设重物上下振动的振幅为H，则H与h存在关系：QUOTEc=QUOTE假设重物对肩膀的作用力为QUOTE,则有QUOTE_QUOTE已经确定，所以当QUOTE_QUOTE会随之增大，以当QUOTE_QUOTE会随之减小。又知QUOTE是重物作用在肩膀上的力，希望越小越好，因此QUOTED_Dd__________ÒðϨϨ________________图1.1分析图1.1我们可以得到以下结论：〔1〕当r较小〔认为r的值不大于0.1为较小〕时，随着S的增大，QUOTE的值在s<0.7时〔0.7只是一个估计值，实际围与估计值存在误差〕，QUOTE的值几乎稳定或变化幅值很小，但此时的QUOTE值并不是最小的，因此这不是所需要的围。QUOTE的值在SQUOTE之间，尤其是当S的值在1附近时〔此时QUOTE〕,QUOTE的值会变的非常大，这时最不利于挑夫省力，所以我们要防止挑夫的步伐频率与扁担—重物系统的固有频率相近或一样。〔2〕当r的值在0.1—0.15围时，其S的变化为QUOTE的影响与〔1〕中的情况相似，但值得注意的是，当S=1附近时，QUOTE的值虽然是趋近于最大的，但其值的大小远不像〔1〕中的则离谱，尽管如此，我们还是要防止w与QUOTE相近或一样。〔3〕当c的值较大〔0.15—0.3〕时，QUOTE在S=1.2处左右取得最大，而在S>1.2时，QUOTE会逐渐降低。〔4〕当r>0.3，见下列图1.2，后面会有缓慢的上升，但是仍然不能认为S的值越大越好。因为QUOTE,且QUOTE,所以QUOTE,令λ=·QUOTE,可知当λ取最小时，QUOTE取最小，又2mB为常数，因此仅讨论QUOTE·QUOTE即可。图1.2图1.3由图1.3〔代码段②见附录〕可得以下结论：〔1〕λ与c、S的关系在0~2之间时，其图形中数据变化情况与η和c、S的关系相差不大。〔2〕但当挑夫的步伐频率不断增大时，λ的值几乎成了一个指数函数，但是不管是什么函数，λ的值都是不断增加的。〔3〕不管c的值如何影响，λ总是在S=〔1.2,1.5〕能取得一个最优值〔最小值〕。因此，当我们仅考虑扁担因素所影响的舒适度时〔忽略人的因素，每个人的脚长不同，每一步的适宜步长也不同；人因体质差异使步伐频率受限；以及人的气力大小等不可控因素〕，可得出如下结论：当挑夫的步伐频率为扁担—重物系统固有频率的1.2—1.5倍〔具体数值因r与k决定〕时。挑夫可以走得既轻快又省力。5.2衡量挑扁担者舒适程度的数学标准及模型分析以5.1的各数学模型为根底，挑担者的舒适程度取决于其所受到的压强的大小。以下分析货物单摆运动时对肩膀产生的压强及舒服度。扁担—重物系统无阻尼固有角频率为0=t设重物对扁担产生向下的力为F2则F2=mgcosθF2=mgcos(t)扁担两端受力情况一样，故：F3=2F2=2mgcos(t)从伸开腿迈步到腿到达最大角过程中每一时刻肩膀所受由货物做前后单摆运动引起的压强大小为：P=F3/S=2mgcos(t)/S可知当t=tma*，即=ma*时存在P=Pmin,此时肩膀所受摆动造成的压强最小，最舒服。5.2在平地时挑夫担扁担行进的最正确情况5.2.1平地行进时扁担的最正确参数(1)扁担的额定固有频率重物的上下振动会使得挑夫肩膀上所受到的向下的作用力发生改变。并且当挑夫处于双腿支撑的状态时，其肩部收到的向下的作用力到达最大。同时，货物的质量和扁担的材质等对挑夫的步伐频率也有一定的影响。而通过中(1)的不断分析研究我们可以得到，应使扁担的额定固有频率在18—23Hz之间为最正确。〔2〕扁担的厚度设计扁担的薄厚对担扁担者肩部舒适度有之间的关系，扁担设计的太薄，不易于挑起重物，且会使担扁担者肩部感到不适。扁担设计的太厚，则显得过于笨重，使担扁担者难以掌控，既浪费材料又不能起到提高舒适度的作用。于是我们在的〔2〕中利用将扁担理想化成等强度梁的方法研究扁担厚度对舒适度及合理设计扁担的影响，最终我们得到：当扁担的厚度按照变化时，可以最大节省材料，同时实现等强度梁。值得注意的是，由于*<0.8,即在扁担边缘时存在极端情况，理想情况厚度可为0，但易知实际情况不可能，故存在实际误差。5.2.2挑夫在平地上的理想行进方式〔1〕平地行进时的理想步伐频率挑夫在行进过程中由于步伐频率的不同，会使得扁担在上下振动时的振幅产生变化，而振幅的变化则会影响到挑夫肩膀上所受到的动作用力的变化，利用以下几个公式QUOTE和QUOTE;通过借助数学软件matlab的功能分析了c和s的变化对肩膀所受动作用力的幅度QUOTE的影响，并通过一系列的比照分析，我们可以得到以下结论：挑夫在平地的行进时，最好能以扁担—重物系统固有频率的1.2倍—1.5倍前行，并且尽量要保持匀速前行，这样，挑夫可以走的既轻快又省力。〔2〕平地行进时的手臂动作如果挑夫的担扁担时用双手在肩部前方紧紧的握住扁担，则就必然会对扁担施加一个拖力或压力，然而这种拖力或压力总是会不自觉的影响扁担自由的上下振动，从而可能引起扁担的不平衡，甚至会导致扁担以肩部为支点进展转动，而这样又会造成挑夫的左右晃动，货物的前后摆动。挑夫和货物的无规则晃动乱成一气，必然不能到达省力的左右，相反，还需要白白的浪费许多力气在维持扁担平衡上，并且还会引起挑夫手臂和关节的疲劳，这显然不是我们想看到的。而通过不断的分析研究，我们得出了较为正确的手臂动作：担扁担事，挑夫应当自然的将一只胳膊轻轻的搭载扁担上，而另一只胳膊随着挑夫的前进步伐自由的摆动，这样，既不会影响到货物的自由颤抖，也不会造成手臂和关节上的疲劳。5.3上楼梯情况下挑担的最优方案5.3.1上楼进时扁担的最正确参数〔1〕扁担的额定固有频率易知此参数与扁担材质有关不发生变化，同第二问。〔2〕扁担的厚度设计我们依然需要把扁担设计成等强度梁，但此时需考虑因人上楼梯时存在两个加速度即加速时a1和减速时a2，此时两个阶段扁担不再受恒定的力，弯矩也同前两问不一样。但需要知道的是，我们不能根据不同阶段的受力情况不断随时改变扁担的厚度，所以关于扁担的厚度参数仍采取前两问扁担静止状态下受力对应的厚度变化情况，故仍遵循QUOTE变化5.3.2挑夫在上楼时的理想行进方式〔1〕挑夫上楼时的行进频率挑夫上楼时垂直方向虽然存在力的改变，但因为扁担固有参数不变故此时行进频率不发生改变。〔2〕挑夫上楼时的偏角θ挑夫上楼时抬脚运动是一个先加速后减速的过程，这个过程也决定了挑夫上一个台阶在*,y,z方向的位移，据此求出重力做功和摩擦力做功，通过分析参数楼梯坡度α和台阶高度h，根据总功和最小确定此时挑夫按照“之〞型行进时行进方向与正前方的夹角θ，如下列图所示：因为抬脚上升时产生加速度a1且m为确定常量故需要使尽可能小尽可能大，这样扁担上下振动的振幅越小，我们应尽量减小振幅，所以我们认为此阶段运动情况为先匀加速再匀减速由第〔1〕〔2〕问知人的步行频率为，则跨一步所需时间为而在时间，人脚抬起的高度必须不得小于QUOTE才能完成上一个台阶的动作，所以有：此时能保证尽可能小尽可能大，经过查文献所得最大约为2m/s，联立以上三式并带入数据解得：所以：≥h=1\*GB3①即迈出一步时脚抬起的高度不得小于h，另外做功分三局部：克制重力做功W1==2\*GB3②假设考虑两个加速阶段，克制摩擦力在水平*方向的做功W2=QUOTEtanθ尚未考虑克制摩擦力在水平y方向的做功就发现式子过于繁琐无法求出θ，故我们此时假设运动为匀速，简化求解。克制重力做功W1==3\*GB3③克制摩擦力在水平*方向做的功为W2=QUOTE=4\*GB3④克制摩擦力在水平y方向做的功W3=QUOTE=5\*GB3⑤需要总共W1+W2+W3最小，则化简得：W=QUOTE=QUOTE令t=QUOTEW=QUOTE令z=QUOTEW=QUOTE=QUOTE可知是一个开口向上的抛物线，当z=QUOTE时有最小值，此时即当人按此偏角走“之〞型时为最正确行进方向。六、模型的评价与改良此题通过建立多个简单的数学模型来分析各影响因素与挑担者舒适程度的关系。其中利用了等价分析法、几何分析法、多因素分析法、最优化等方法，把原本颇具抽象的研究问题量化，使得分析更易于理解与准确。文中在建立模型时循序渐进，先分别考虑各因素对舒适程度的作用，进而借助权重以区分各因素的影响程度，使模型更切合实际。在分析上楼梯挑担时，充分利用所建立的模型，构建出最优化的目标函数，通过分析目标函数的取值围，结合特殊情况，给出最优的策略建议。另外，运用计算机编程，加快了模型的求解速度。但是，为了简化模型，考虑的因素可能不够全面，所以此模型的运用有一定的局限性与理想化。但是，如果题目给出更多的信息，则可以确定各因素对目标的具体权重，这样便会使模型更加精准，也进一步提高了模型适用性与实际效果。七、参考文献[1]义同，岚.关于扁担的力学.力学与实践，2002,24(5)：76-78[2]漆安慎,杜婵英.力学根底[M].:高等教育,1982:430.[3]延柱，文良，立群.振动力学.:高等教育,1988.[4]鸿文.材料力学1高等教育第五版[5]尤明庆.关于扁担挑运力学原理的注记,2011,33八、附录图1.1对应代码段：>>s=0:0.1:10;>>c=0.05:0.01:0.3;>>y1=((1+(2*c(1).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(1).*s).^2)).^(1/2);>>y2=((1+(2*c(2).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(2).*s).^2)).^(1/2);>>y3=((1+(2*c(3).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(3).*s).^2)).^(1/2);>>y4=((1+(2*c(4).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(4).*s).^2)).^(1/2);>>y5=((1+(2*c(5).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(5).*s).^2)).^(1/2);>>y10=((1+(2*c(10).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(10).*s).^2)).^(1/2);>>y11=((1+(2*c(11).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(11).*s).^2)).^(1/2);>>y12=((1+(2*c(12).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(12).*s).^2)).^(1/2);>>y13=((1+(2*c(13).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(13).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(14).*s).^2)).^(1/2);>>y15=((1+(2*c(15).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y20=((1+(2*c(20).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(20).*s).^2)).^(1/2);>>y25=((1+(2*c(25).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(25).*s).^2)).^(1/2);>>plot(s,y1,s,y2,s,y3,s,y4,s,y5,s,y10,s,y11,s,y12,s,y13,s,y14,s,y15,s,y20,s,y25)>>te*t(1.27,5.32,'c=0.3');>>te*t(1.18,1.63,'c=0.25');>>te*t(1.07,9.93,'c=0.05');>>te*t(0.614,2.82,'c=0.15');>>te*t(0.694,5.32,'c=0.10--');>>te*t(0.956,7.34,'c=0.08');>>te*t(0.614,2.82,'c=0.15---');图1.2对应代码：>>s=0:0.1:10;>>c=0.05:0.01:0.3;>>y1=((1+(2*c(1).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(1).*s).^2)).^(1/2);>>y2=((1+(2*c(2).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(2).*s).^2)).^(1/2);>>y3=((1+(2*c(3).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(3).*s).^2)).^(1/2);>>y4=((1+(2*c(4).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(4).*s).^2)).^(1/2);>>y5=((1+(2*c(5).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(5).*s).^2)).^(1/2);>>y10=((1+(2*c(10).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(10).*s).^2)).^(1/2);>>y11=((1+(2*c(11).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(11).*s).^2)).^(1/2);>>y12=((1+(2*c(12).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(12).*s).^2)).^(1/2);>>y13=((1+(2*c(13).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(13).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(14).*s).^2)).^(1/2);>>y15=((1+(2*c(15).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y20=((1+(2*c(20).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(20).*s).^2)).^(1/2);>>y25=((1+(2*c(25).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(25).*s).^2)).^(1/2);>>y30=((1+(2*0.35.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.35.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y40=((1+(2*0.40.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.40.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y45=((1+(2*0.45.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.45.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y50=((1+(2*0.50.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.50.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y55=((1+(2*0.55.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.55.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y60=((1+(2*0.60.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.60.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>plot(s,y1,s,y2,s,y3,s,y4,s,y5,s,y10,s,y11,s,y12,s,y13,s,y14,s,y15,s,y20,s,y25,s,y30,s,y40,s,y45,s,y50,s,y55,s,y60)图1.3对应代码段：>>s=0:0.1:10;>>c=0.05:0.01:0.3;>>y1=((1+(2*c(1).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(1).*s).^2)).^(1/2);>>y2=((1+(2*c(2).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(2).*s).^2)).^(1/2);>>y3=((1+(2*c(3).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(3).*s).^2)).^(1/2);>>y4=((1+(2*c(4).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(4).*s