新高考专用2023年高考数学考试易错题易错点12直线及直线与圆位置关系备战含解析

Page16专题12解析几何易错分析一、使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错1．求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离．【错解】直线方程y=3x+5可化为3x―y+5=0，则直线3x―y+5=0与6x―2y+3=0间的距离．【错因】6x―2y+10=0与6x―2y+3=0中x、y的系数不对应相等，不能直接用公式。在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且x、y的系数对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形．【正解】经变形得两条平行直线的方程为6x―2y+10=0和6x―2y+3=0，故它们之间的距离为．二、有关截距相等问题忽略截距为零致错2、直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为【错解】因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.【答案】。【错因】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况.【正解】若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为；若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.综上，直线l的方程为或.3．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．【错解】设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.答案：x－y＋8＝0【错因】未考虑直线过原点的情况。【正解】①当直线过原点时，直线方程为y＝－eq\f(5,3)x，即5x＋3y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.综上，直线方程为5x＋3y＝0或x－y＋8＝0.三、已知两直线平行求参数的值未验证致错4．已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________．【错解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.答案：－1或3【错因】未验证a的值会不会使两直线平行。【正解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.当a＝－1时，两条直线的方程都为x－3y－1＝0，即两条直线重合，故舍去；当a＝3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条直线平行．∴a的值为3.四、未讨论参数的取值致错5.已知直线：，：，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【错解】C，因为，则，即，解得，所以“”是“或”的充要条件.【错因】未考虑的情况，【正解】A，（1）当时，因为，则，即，解得，（2）当时，直线的方程分别为，显然，由上可知，若，则或，所以“”是“或”的充分不必要条件.五、误用点线距离公式致错6.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()A． B． C． D．【错解】由点到直线的距离公式知【错因】在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中，B的取值，B应取-1,而不是取1.【正解】由点到直线的距离公式知7.“a=b”是“直线与圆()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【错解】当时圆心坐标为圆心到直线的距离为与半径相等，故是直线和圆相切的充分条件，同理直线与圆相切时，圆心到的距离为，故是直线与圆相切的充分必要条件.选A。【错因】在运用点到直线的距离公式时,应先变为再计算.这里y的系数应为-1而不是未变形前的1.【正解】C，当时，圆心到直线=0的距离为不一定刚好等于,故不是充分条件,当直线与圆相切时,到直线的距离应等于半径,即,解得或，故也不是必要条件,综上可得，是直线与圆相切的既不充分也不必要条件.六、忽视切线斜率不存在致错8．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝0【错解】选B，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，得切线方程为4x－3y＋4＝0.【错因】没考虑斜率不存在的情况。【正解】（1）当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，得切线方程为4x－3y＋4＝0.综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.9．已知直线l过点(5,10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程为____________．【错解】设其斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0，由点到直线的距离公式得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4).故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.答案：3x－4y＋25＝0【错因】没考虑斜率不存在的情况。【正解】（1）当斜率不存在时，所求直线的方程为x－5＝0，满足题意；（2）当斜率存在时，设其斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0，由点到直线的距离公式得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4).故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，得切线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.10．若直线过点P(4,1)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是6，则该直线的方程为______________．【错解】设直线的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y－4k＋1＝0，圆心到直线的距离d＝eq\f(|－4k＋1|,\r(k2＋1))，则2eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－4k＋1|,\r(k2＋1))))2)＝6，解得k＝－eq\f(15,8)，所以直线方程为15x＋8y－68＝0.答案：15x＋8y－68＝0【错因】没考虑斜率不存在的情况。【正解】（1）当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝4，代入圆的方程解得y＝±3，故该直线被圆截得的弦长为6，符合题意．（2）当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y－4k＋1＝0，圆心到直线的距离d＝eq\f(|－4k＋1|,\r(k2＋1))，则2eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－4k＋1|,\r(k2＋1))))2)＝6，解得k＝－eq\f(15,8)，所以直线方程为15x＋8y－68＝0.综上所述，所求直线方程为x＝4或15x＋8y－68＝0.答案：x＝4或15x＋8y－68＝0七、混淆直线与圆有公共点与直线与圆相交致错11.若曲线C：x2+(y+1)2=1与直线：x+y+a=0有公共点，则实数a的取值范围为__________．【错解】因为曲线C与直线有公共点，故联立方程得，消去x，化简得.2y2+2(a+1)y+a2=0,则则实数a的取值范围为。【错因】忽略了直线与圆相切时的情况。【正解】因为曲线C与直线有公共点，故联立方程得，消去x，化简得.2y2+2(a+1)y+a2=0,则，则实数a的取值范围为。八、忽略方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件致错12、已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围．【错解】将圆C的方程配方有(x＋eq\f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq\f(4－3a2,4).∴圆心C的坐标为(－eq\f(a,2),－1),半径r＝eq\f(\r(4－3a2),2).当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线,∴|AC|>r,即>eq\f(\r(4－3a2),2),化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0,∴a∈R.【错解】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件．注意，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D2＋E2－4F>0.【正解】将圆C的方程配方有(x＋eq\f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq\f(4－3a2,4),∴eq\f(4－3a2,4)>0,①∴圆心C的坐标为(－eq\f(a,2),－1),半径r＝eq\f(\r(4－3a2),2).当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,∴|AC|>r,即>eq\f(\r(4－3a2),2),化简得a2＋a＋9>0.②，由①②得－eq\f(2\r(3),3)<a<eq\f(2\r(3),3),∴a的取值范围是－eq\f(2\r(3),3)<a<eq\f(2\r(3),3).九、忽视隐含条件致错13．若点(1,2)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的外部，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))【错解】选A，∵点(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2＋(2－a)2＞2a2，即5－2a＞0，a＜eq\f(5,2)，∴实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2)))【错因】忽略了隐含条件a≠0，【正解】选B∵点(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2＋(2－a)2＞2a2，即5－2a＞0，a＜eq\f(5,2)，又2a2＞0，∴a≠0，∴实数a的取值范围为(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2))).14．已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2＋4y的最大值为________．【错解】因为点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，所以x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5.所以当y＝2时，x2＋4y取得最大值为5.答案：5【错因】忽略了隐含条件y∈[－1,1]，【正解】因为点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，所以x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5.因为y∈[－1,1]，所以当y＝1时，x2＋4y取得最大值为4.答案：4十、由直线的一般式方程求斜率时忽略符号致错15．已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为()A.0B.-8C.2D.10【错解】A，两直线平行故斜率相等可得：∴m=0.故选A.【错因】直线2x+y-1=0的斜率是，而不是2，注意移项时要变号。【正解】B，利用两直线平行斜率相等可得：16.设直线ax+by+c=0的倾斜角为a,且sina+cosa=0,则a、b满足()A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【错解】C.【错因】直线ax+by+c=0的斜率是，而不是，注意移项时要变号。【正解】D，十一、计算不严谨致错17．已知直线L过点（-2，0），当直线L与圆有两个交点时，其斜率k取值范围是【错解】设此直线为圆心到直线的距离刚好好等于半径（即相切）时，故选D.【错因】计算出并没有开方算出【正解】可设直线方程为代入圆的方程中,用选C.圆心为(1,2)且与直线7=0相切的圆的方程为__________.【错解】圆心到直线的距离等于半径，即圆的方程为【错因】在算出r后,往中代入时、忘记后面是r2.【正解】由圆心到直线的距离等于半径得r=2.，易错题通关1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为()A．0 B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．不存在【答案】C【解析】因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为eq\f(π,2).2．(多选)若直线l过点A(1,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0【答案】ABC【解析】当直线l经过原点时，直线l的斜率k＝eq\f(2－0,1－0)＝2，直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线l不过原点时，设直线l的方程为x－y＝k或x＋y＝k，把点A(1,2)的坐标代入可得1－2＝k或1＋2＝k，得k＝－1或k＝3，故直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选A、B、C.3．(多选)直线l1：(a2－1)x＋ay－1＝0，l2：(a－1)x＋(a2＋a)y＋2＝0，l1∥l2，则a的值可能是()A．－1 B．0C．1 D．－2【答案】BCD【解析】由题意知，a(a－1)＝(a2－1)(a2＋a)，整理得a2(a－1)(a＋2)＝0，解得a＝0或a＝1或a＝－2.当a＝0时，l1：x＋1＝0，l2：x－2＝0，l1∥l2成立；当a＝1时，l1：y－1＝0，l2：y＋1＝0，l1∥l2成立；当a＝－2时，l1：3x－2y－1＝0，l2：3x－2y－2＝0，l1∥l2成立．综上所述，a＝0或a＝1或a＝－2.4．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，则该圆的标准方程为()A．(x＋3)2＋y2＝25 B．(x－3)2＋y2＝25C．(x±3)2＋y2＝25 D．(x＋9)2＋y2＝25【答案】C【解析】如图，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|OA|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝eq\r(|AC|2－|OA|2)＝eq\r(52－42)＝3.设点C的坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.故所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.5．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A．4 B．5C．6 D．7【答案】A【解析】设圆心为C(x，y)，则eq\r(x－32＋y－42)＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝eq\r(32＋42)＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.6．直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．无法确定【答案】A【解析】圆x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，直线mx－y＋2＝0恒过点A(0,2)，而02＋22＝4<9，所以点A在圆的内部，所以直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交．7．已知直线与直线垂直，则实数a的值为（）A． B． C．或 D．不存在【答案】C【解析】当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意；当时，由两直线垂直可得，解得或1（舍去），综上所述，或.8.直线和直线垂直，则实数的值为（）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】因为直线和直线垂直，所以，或．故选A.

9.过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程为.由题意得解得或综上，符合题意的直线共有3条.10.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为，∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，故选D11．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，解得，故选C．12.经过点可做圆的两条切线，则的范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】圆，即为，或；由题意知点A在圆外，，解得．所以或.13.已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（）A．20 B．－4 C．0 D．24【答案】B【解析】直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知，，将垂足坐标代入直线方程，得到，代入直线方程，得到，所以，14.若直线平行，则与间的距离为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题：直线与平行，则，即，解得或，当时，直线与重合；当时，直线与平行，两直线之间的距离为.15.若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】直线与直线平行，则，解得，当时，直线与直线重合，故舍去．当时，直线与直线平行，故两平行线间的距离．16．已知点在圆的外部（不含边界），则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】圆，即，圆心，半径，因为点在圆的外部，所以点到圆心的距离大于半径，即，解得，故选B.17．过点作直线l，满足在两坐标轴上截距相等的直线l有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】若截距都为零，则直线过，则直线方程为；若截距都不为零，则设直线方程为，则，解得，所以直线方程为：，故满足在两坐标轴上截距相等的直线l有条；故选B18．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.故选D19．已知直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，动点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当最大时，△APB的面积为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【详解】由已知，圆A的方程为，当最大时，此时直线PB是圆的切线，即直线PB的方程为：或，当直线PA的方程为时，△APB的面积为，当直线PA的方程为时，△APB的面积为，20．当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（

）A． B． C．-1 D．1【答案】C【详解】直线过定点，圆的圆心为，半径，当时，圆截直线所得的弦长最短，由于，所以，即.21．已知直线，圆，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（

）A．直线l与圆O相切 B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为C．存在点M，使 D．存在点M，使为等边三角形【答案】BD【详解】对于A选项，圆心到直线的距离d=|-4|对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为，故B正确；对于C选项，当OM⊥l时，有最大值60°，故C错误；对于D选项，当OM⊥l时，为等边三角形，故D正确.22．下列命题正确的是（）A．已知点，，若直线与线段有交点，则或B．是直线：与直线：垂直的充分不必要条件C．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为D．已知直线，：，，和两点，，如果与交于点，则的最大值是.【答案】ABD【解析】对于A，∵直线过定点，又点，，∴，如图可知若直线与线段有交点，则或，故A正确；对于B，由直线：与直线：垂直得，，解得或，故是直线：与直线：垂直的充分不必要条件，故B正确；对于C，当直线过原点时，直线为，当直线不过原点时，可设直线为，代入点，得，所以直线方程为，故经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为或，故C错误；对于D，∵直线，：，又，所以两直线垂直，∴，∴，当且仅当时取等号，故D正确.23．下列说法错误的是（）A．若直线与直线互相垂直，则B．直线的倾斜角的取值范围是C．四点不在同一个圆上D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】ACD【解析】当时，直线与直线也互相垂直，所以选项A不正确；直线的倾斜角，可得，，所以的取值范围是；所以B正确；由题得,，所以,所以四点在同一个圆上，所以选项C不正确；经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，或，所以D不正确；24．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.【答案】0或1【解析】由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.25．若半径为r，圆心为(0,1)的圆和定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则r的值等于________．【答案】eq\r(2)－1或eq\r(2)＋1【解析】依题意，eq\r(0－12＋1－22)＝r＋1或eq\r(0－12＋1－22)＝|r－1|，解得r＝eq\r(2)－1或r＝eq\r(2)＋1.26．经过点P(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________________．【答案】x－4y＝0或x＋y－5＝0【解析】设直线l在x轴、y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，所以l的方程为y＝eq\f(1,4)x，即x－4y＝0.若a≠0，设l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，因为l过点(4,1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,a)＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.27．线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．【答案】eq\f(3\r(2),4)【解析】先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋eq\f(1,2)＝0，则两平行线间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))),\r(2))＝eq\f(3\r(2),4).28．过点作圆的切线有两条，则的取值范围是________【答案】【解析】表示一个圆，，又由过点作圆的切线有两条，得：P在圆外，所以，解得：或.综上所述：.所以的取值范围是.29．在△ABC中，A（3，3），B（2，―2），C（―7，1），求∠A的平分线AD所在直线的方程．【答案】【解析】由角平分线的性质得，∴x―5y+12=5x―y―12或x―5y+12=y―5x+12，即y=―x+6或y=x．但结合图形（如图），可知k