新高考适用2023版高考数学二轮总复习第2篇经典专题突破核心素养提升专题3立体几何第3讲立体几何与空间向量课件

第二篇经典专题突破•核心素养提升专题三立体几何第3讲立体几何与空间向量空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．考情分析自主先热身真题定乾坤核心拔头筹考点巧突破自主先热身真题定乾坤1．(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC中点，且PB⊥AM.(1)求BC；(2)求二面角A－PM－B的正弦值．真题热身【解析】

(1)连接BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，则AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD，所以AM⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，所以∠ADB＋∠DAM＝90°，(2)因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，【解析】(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值．(2)取A1B的中点E，连接AE，如图，因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC，又AE，BB1⊂平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，4．(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．【解析】

(1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；又因为DE，BE⊂平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.5．(2022·浙江卷)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F－DC－B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点．(1)证明：FN⊥AD；(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．【解析】

(1)过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H.∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面几何知识易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，∴DC⊥平面BCF，∠BCF是二面角F－DC－B的平面角，则∠BCF＝60°，∴△BCF是正三角形，由DC⊂平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF，∵N是BC的中点，∴FN⊥BC，又DC⊥平面BCF，FN⊂平面BCF，可得FN⊥CD，而BC∩CD＝C，∴FN⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，∴FN⊥AD.1．立体几何考查知识点突出立体、空间线线、线面关系及线面角，面面关系以及二面角展开，解答题考查空间中平行垂直问题，利用空间向量求空间角．2．解答题多出现在第18，19题的位置，考查空间中平行、垂直的证明，利用空间向量求空间角，难度中等．感悟高考核心拔头筹考点巧突破设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线夹角考点一利用空间向量求空间角(1)求证：PA⊥BC；(2)设点E为PC的中点，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．典例1考向2二面角

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝PA＝1，AD＝2.(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．典例2(2)过点B作BM⊥AD于M，以M为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，且PD⊥AB.(1)从下列两个条件中任选一个条件证明：AB⊥平面PAD.①O是AD的中点，且BO＝CO；②AC＝BD.【解析】(1)证明：选择条件②，∵四边形ABCD为平行四边形，且AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形，AB⊥AD.又∵AB⊥PD，且AD∩PD＝D，故AB⊥平面PAD.选择条件①，在平行四边形ABCD中，设N是BC的中点，连接ON，如图，因为O是AD的中点，所以AB∥ON.又BO＝CO，所以ON⊥BC.所以AB⊥BC，又在平行四边形ABCD中，BC∥AD，所以AB⊥AD.又AB⊥PD，且PD∩AD＝D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，故AB⊥平面PAD.以O为坐标原点，ON，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，－2，0)，B(2，－2，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．考点二利用空间向量解决探究性问题

如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C1CA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝AA1＝AC1＝2.(1)求证：C1O⊥平面ABCD；典例3【解析】(1)证明：∵AA1＝AC1，AA1＝CC1，∴AC1＝CC1，又O是AC的中点，∴C1O⊥AC，∵平面A1C1CA⊥平面ABCD，平面A1C1CA∩平面ABCD＝AC，C1O⊂平面A1C1CA，∴C1O⊥平面ABCD.(2)∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，以O为原点，OB，OC，OC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．【素养提升】正确分析空间几何体的特征，建立合适的空间直角坐标系，是解决此类问题的关键．(1)求证：BE⊥平面ACB1；(2)求二面角D1－AC－B1的余弦值；(3)在棱A1B1上是否存在点F，使得直线DF∥平面ACB1？若存在，求A1F的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：因为A1A⊥底面ABCD，所以A1A⊥AC.又因为AB⊥AC，AA1∩AB＝A，且AA1，AB