一道变力做功问题的正解与巧解

一道变力做功问题的正解与巧解王锴（四川省万源中学，四川，万源，636350）、问题的来源:笔者今年任教高三物理，在复习资料上发现这样一道习题，原题如下：如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升•若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中F做的功分别为W、W,，图中AB=BC，则一定有12（）图1W>W图112W<W12W二W12无法判断二、问题的分析:本题的本意和常规思路是：根据轻绳自身不消耗能量且在中学阶段忽略定滑轮转动的能量，以及忽略轻绳与定滑轮之间的摩擦力，从而得出定滑轮左端绳子拉滑块所做的功等于定滑轮右端绳子所受拉力所做的功，而根据定滑轮右端绳子拉力大小恒定不变且方向恒定不变，所以有：假设定滑轮所在点为O点，则有：滑块从A运动到B定滑轮左端绳子的缩短量为:(1)(2)AL=AO-BO(1)(2)1滑块从B运动到C定滑轮左端绳子的缩短量为:AL=BO-CO2所以有：滑块从A运动到B,绳子拉力做功等于绳子拉力F乘以左端绳子的缩短量AL,即：W=F•AL=F・（AO-BO） （3）11滑块从B运动到C,绳子拉力做功等于绳子拉力F乘以左端绳子的缩短量AL,2即：W=F•AL=F・(BO-CO) (4)22为了分析问题方便，假设定滑轮所在点为O点，过定滑轮所在点作竖直杆的垂线且垂足为D点，且假设：DO=L,AO=L，且AO与竖直杆夹角为a,BO=L，且BO与竖直杆夹角为012B,CO二L，且与竖直杆夹角为Y。3那么现在我们可以把AL和AL表示出来了:12根据直角三角形中的边角关系，可以得出：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"AL=AO-BO="o——^0 (6)1 sinasinp\o"CurrentDocument"AL=BO-CO=-^—-Lo (7)2 sinpsiny现在问题最终归结为比较牛与AL2的大小并最终归结为一个数学问题，那就是比较\o"CurrentDocument"LL L L0-時与临-—的大小关系。sinasinp smpsmy但是令人意外的事情是，由于a,B,Y三个角的具体角度未知，所以并不能仅仅因为：a<B以及B<Y就能简单地得出:AL=AO-BO="o—匕>AL=BO-CO="o—"o这个结论!1 sinasinp2 sinpsiny三、问题的解决：以下给出本问题的常规解法以及巧解:1、常规解法：1、如图3所示：图3我们将AB以及BC,都等分成N段，如前文所述：假设：AB的第一段下方为：AO=L=L，且L或L与竖直杆的夹角为：a,AB的第一段上方111111为：AO二L，且设L与竖直杆夹角为a，112121再假设：AB的第二段下方为：AO二L，且L与竖直杆的夹角为a，AB的第二段上方为：AO二L，112121213且设L与竖直杆夹角为a，132之后，依次类推，直到AB的最后一段上方为BO二L,。2假设：BC的第一段下方为：BO=L=L，且L或L与竖直杆的夹角为：B,BC的第一段上方221221为：BO二L，且设L与竖直杆夹角为0，122221再假设：BC的第二段下方为：BO二L，且L与竖直杆的夹角为0,BC的第二段上方为：BO二L,122221223且设L与竖直杆夹角为0,232之后，依次类推，直到BC的最后一段上方为CO二L,。3接下来我们来证明本问题的关键：AL=AO-BO>AL二BO-CO (8)12如图4所示：-O图4根据题意可知：AO与竖直杆的夹角a小于BO与竖直杆的夹角B,且由上文假设由于AB与BC都是等分成N段的，所以有：a<0,a<0,a<0•••a<0 (9)1122 N-1 N-1现分别取AB段和BC段的第一段来研究：在三角形AOA中，过A1点做AO直线的垂线，设垂足为M1,由于AA1只是AB,N等分后的一段，所11以在三角形AOA中ZAOA非常的小，如果把AB和BC等分的段数N增加到无穷大的话，ZAOA可以111趋近于0。由于ZAOA趋近于0,所以在三角形MjOAj中：ZOMA=ZOAM沁90o，从而，在三角1111111

形AA1M1中ZAMA沁90O，从而可得：三角形AAM为一个直角三角形，且ZAMA=90。111111从而，在AB等分成N段中的第一段中的三角形AA1M1中满足：TOC\o"1-5"\h\zAO-AO沁AM=AA•cosa (10)111然后用相同的方法可以证明：在AB等分成N段中的第二段中的三角形A]A2M2中满足：AO-AO沁AM=AA•cosa (11)1212121利用相同的方法就可以证明等分成N段的AB在每一小段中，这一小段下方的绳长与这一小段的上方的绳长之差均满足相同的规律，即：AO-AO沁AM=AA•cosa (12)i i+1 ii+1 ii+1 i再利用相同的方法也可以证明等分成N段的BC在每一小段中，这一小段下方的绳长与这一小段上方的绳长之差均满足相同的规律，即：BO-BOuBM=BB•cosP (13)i i+1 ii+1 ii+1 i根据题设，有线段AB和BC相等，自然，线段AB和BC在N等分后各段对应相等，且各段绳长与竖直杆的夹角始终满足：a<Pii然后比较，AB和BC，N等分后的第一段有14)所以：AA1•cosa=AB"N•14)所以：AA1•cosa=AB"N•cosa>BB1•cosP=BC•cosN15)16)17)又因为：AO-AOuAM二AA•cosa>BO-BO沁BM=BB•16)17)111111所以：AO-AO>BO-BO11然后，依此类推，因为：a<PTOC\o"1-5"\h\zAB BC所以：AA•cosa= •cosa>BB•cosP= •cosPii+1 iNiii+1 iNi又因为：AO-AOuAM=AA•cosa>BO-BOuBM=BB•cosPi i+1 iiii+1 ii i+1 iiii+1 i有AB与BC的每一段的下方的绳长与上方的绳长之差总是满足：TOC\o"1-5"\h\zAO-AO>BO-BO (21)i i+1 i i+1由于AB与BC的每一段的下方的绳长与上方的绳长之差总是满足：AO-AO>BO-BO，i+1 i i+1即满足：AO-AO>BO-BO11AO-AO>BO-BOTOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2AO-AO>BO-BO3 2 3•••AO-BO>BO-CON-1 N-1即是说：AB与BC等分后的每一段中均满足AB中的那一段下方的绳长与上方的绳长之差总是比BC中对应的那一段下方的绳长与上方的绳长之差要大些。最后，我们把AB与BC对应各段的下方的绳长与上方的绳长之差累加起来可得：(AO-AO)+(AO-AO)+(AO-AO)+•••+(AO-BO)11223N-1=AO-AO+AO-AO+AO-AO+•••AO-BO (22)11223 N-1=AO-BO=L-L=AL121(BO-BO)+(BO-BO)+(BO-BO)+…+(BO-CO)11223N-1=BO-BO+BO-BO+BO-BO+•••BO-CO (23)11223 N-1=BO-CO=L-L=AL232最后可得：AL>AL，12即：W=F•AL=F・(AO-BO)>W=F•AL=F・(BO-CO) (24)1122即拉力在AB段对滑块所做的功大于在BC段对滑块所做的功。2、巧解：如图5所示：如果要证明AO-BO>BO-CO。可以以AC为公共边作一个倒置的与三角形△AOC全等的三角形AO'C。两个三角形共同构成一个平行四边形OAO'C。可以证明：BO和BO'在同一条直线上。那么：在三角形厶OO'C中由三角形两边之和大于第三边可得：TOC\o"1-5"\h\zCO+CO'