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文档简介
2021年高考数学模拟训练卷(56)
一、单项选择题(本大题共12小题,共60.()分)
1.设集合力={司-13x33},8={用0<刀<4},则41)8=()
A.[-1,4)B.[-1,3)C.(0,3]D.(0,3)
2.在复平面内,复数捻所对应的点为(2,-1),,是虚数单位,则z=()
A.-3—iB.-3+iC.3—iD.3+i
3.甲、乙、丙、丁四人,只有一人是说谎者.
甲说:乙丙说真话;
乙说:甲丁有一人说假话;
丙说:我说真话;
丁说:我说真话.
判定四人中,说谎者是()
A.甲B.乙C.丙D.T
4.2017年2月20日,摩拜单车在济南推出“做文明骑士,周一摩拜单车免费骑”
H7,*
活动,为了解单车使用情况,记者随机抽取了五个投放区域,统计了半小时
内被骑走的单车数量,绘制了如图所示的茎叶图,则该组数据的方差为()
A.9B.4C.3D.2
5.已知抛物线C:/=2py(p>0)的准线/与圆M:(x-I/+(y-2)2=16相切,
则p=()
A.6B.8C.3D.4
6.如图,半球内有一内接正四棱锥S-4BCD,该四棱锥的体积为延,
3
则该半球的体积为()
AV2
A.—7T
3
B.』
3
C.V2TT
n4四
1J.——371
%—2y+1>0
7.若,y满足约束条件x+y+120,贝Uz=乎的取值范围为()
x-y-1<0
44.
A.[ORB.(—co,-2]U[-,4-oo)
C.[-2,|]D.(_8,_3“2,+8)
8.在△ABC中,已知AB=VL4C,NB=30。,则NA=()
A.45°B,15°C.45°或135°D.15°或105°
9.已知双曲线(7:?—,=19>0)的焦点到渐近线的距离为3,则双曲线。的虚轴长为()
A.3B.6C.2V5D.2>/21
10.如图是某几何体的三视图,则该几何体的侧面积为()
A.V3+6V2+2V6B.V3+672+476
C.6V3+4V6D.5V3+4V6
11.4男2女排成一排,要求男生必须相邻的不同排法有()
A.144种B.120种C.480种D.48种
12.已知函数/0)=治/,X],犯为两不同实数,当/(乙)=八支2)时,有()
A.x-i+x2>0B.%1+x2<0C.%!+x2=0D.无法确定
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
3x2—4,x>0
x+2,x=0,贝Ilf(/■(:))=.
(—l,x<0
2
14.设1+cos0=3sin9cosdf贝.
15.已知四=(1,一1),前=(2,0),则向量四在前方向上的投影为.
16.对于函数f(x)=1inx,sinx|cosx,关列结论:
①该函数的图象关于J2Ar+?keZ)对称;
②当且仅当/斤+:依62)时,该函数取得最大值1;
③该函数是以“为最小正周期的周期函数;
④当且仅当2/OT+7T<X<2/C7T+^-(/ceZ)W,-^</(x)<0.
N2
其中正确的是.(填序号)
三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)
17.已知等差数列{斯}的公差为d(d00),%,a2,。4恰为等比数列[%]的前3项,且/=8
(1)求数列{%},{b]的通项公式;
(2)令d=an-bn,求数列{”}的前n项和Sn.
18.如图,在四棱锥P—4BC0中,底面ABC。为矩形且4。=2AB,侧面PAO1底面ABCD,且侧
面PAO是正三角形,E是4。中点.
(1)证明:CE1平面PBE:
(2)求二面角D-PC-B的余弦值.
19.某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带
成绩
一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成52
6378
绩(百分制)的茎叶图如下:72666
828
(1)写出该样本的中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70934
分以上的人数;
(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人,记f表示测试成绩在80分以上的人数,求f的
分布列和数学期望
20.已知椭圆C:盘+《=l(a>b>0)的焦距为4vL短半轴长为2,过点P(-2,l)斜率为1的直线
/与椭圆C交于4,B点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求弦A8的长.
21.已知函数/(x)=ax+彳—Inx+l(ae/?).
(1)讨论/Q)的单调性
(2)当xe(0,1)时,若不等式f(x)<1恒成立,求实数a的取值范围.
22.在直角坐标系X。),中,圆G:%2+y2=4,圆C2:(x—2)2+y2=4.
(1)在以。为极点,尤轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆G,的极坐标方程,并求出
圆G,。2的交点坐标(用极坐标表示):
(2)求出G与C2的公共弦的参数方程.
23.已知函数f(%)=|x+1|-a\x-1|.
⑴当a=一2时,解不等式/(x)>5;
(2)若/(%)£+3|,求。的最小值.
【答案与解析】
1.答案:A
解析:解:,集合4={x|-1WxW3},B={x|0<x<4},
•••4UB={久|-1Wx<4}=[-1,4).
故选:A.
先分别求出集合A,B,由此能求出4UB.
本题考查并集的求法,考查并集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.答案:D
解析:
本题考查复数的代数表示及其几何意义,复数的四则运算,属于基础题.
根据复数捻在复平面内对应的点为(2,-1)可得捻=2-1,化简即可求出z.
解:因为复数捻在复平面内对应的点为(2,-1),
所以捻=2—i,
所以z=(l+i)(2-i)=3+i.
故选D
3.答案:D
解析:
本题考查合情推理中的归纳推理,属于基础题.
经过推理即可得结果.
解:(1)若丙说谎话,则甲也说谎话,与条件不符,故丙说真话:
(2)若乙说谎话,则甲也说谎话,与条件不符,故乙说真话;
(3)由(1)(2)知:甲说真话;
(4)故丁说谎话.
故选D
4.答案:B
解析:解,由茎叶图得,该组数据分别是:
87,89,90,91,93,
平均数是:90,
故方差S2=:(9+1+0+1+9)=4,
故选:B.
求出该组数据的平均数,代入方差公式计算即可.
本题考查了茎叶图的读法,考查求数据的平均数和方差问题,是一道基础题.
5.答案:D
解析:
本题考查抛物线与圆的几何性质,考查推理论证和运算求解能力,属于基础题.
由得到抛物线的准线方程,根据准线与圆相切,得到〃的方程,解得p的值即可.
解:抛物线C:%2=2「、的准线为丫=一看
因为准线/与圆M:(x-l)2+(y—2/=16相切,
所以9+2=4,则p=4.
故选D.
6.答案:D
解析:
本题主要考查了球的体枳的计算,属于基础题.
设出球的半径,利用棱锥的体积公式,求解半径,然后求解半球的体积.
解:设所给半球的半径为R,则棱锥的高八=R,
底面正方形中有AB=BC=CD=DA=鱼R,
所以其体积|收=华,则收=20
于是球的体积为联辆
则半球的体积为Li,=色27T.
23
故选D.
7.答案:B
解析:
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,
转化求解即可.
本题考查线性规划的简单应用,考查转化思想以及计
算能力.
解:根据已知,画可行域如图,
z=■表示可行域内的点(无,y)与点P(0,-2)连线的
斜率,
由{[:二解得:力(3,2),
由{:^;+\==°0解得:C(T°),
2+2_4
^AP
3-3‘
降=等=-2,
可知点Q,y)与点P连线的斜率的范围是(一8,-2]U色+8).
所以Z=等的取值范围是(-8,—2]U扇+8).
故选:B.
8.答案:D
解析:解:NB=30。,
由正弦定理刍=会,可得:sinC="变里=%竭=立,
sinCsinB4cAC2
.♦.由CG(0,180°),可得:C=45°,或135°.
•••可得:A=180°-B-C=105°,或15°.
故选:D.
由正弦定理可解得sinC,结合范围C€(0,180。),可得C,利用三角形内角和定理即可求A的值.
本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,正弦函数的图象和性质,属于基础题.
9.答案:B
解析:
本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.
求出双曲线的焦点坐标到直线的距离,得到方程,求出b即可.
解:双曲线C:9一\=1偌>0)的一个焦点(斤中,0),一条渐近线方程为:bx+2y=0,
双曲线C:=1(匕>0)的焦点到渐近线的距离为3,
可得:^^=3,可得b=3,
则双曲线C的虚轴长为:6.
故选民
10.答案:D
解析:
本题考查几何体的三视图及棱锥的侧面积的计算,属于中档题目.
还原三视图,进行线面位置关系分析,进而求得结果.
解:如图,该几何体为三棱锥,其中PC,底面ABC,|PC|=2通,。为AB中点,
可求得|PD|=J(2V6)2+1=5-
所以该三棱锥的侧面积为S=2V6x2xix2+2V3x5x|=5V3+4后.
故选D.
11.答案:A
解析:
根据题意,根据题意,分2步分析:①、将4名男生看成一个整体,考虑其顺序,②、将这个整体
与2名女生全排列,由分步计数原理计算可得答案.
本题考查排列、组合的应用,注意相邻问题用捆绑法分析,为基础题.
解:根据题意,分2步分析:
①、将4名男生看成一个整体,考虑其顺序,有用=24种情况,
②、将这个整体与2名女生全排列,有&=6种排法,
则男生必须相邻的排法有6x24=144种;
故选:A.
12.答案:B
解析:解:当*<1时,由于^<。,ex>0,得到
/(%)>0;同理,当x>1时,/(%)<0.
当/(%[)=/(X2)(%1。%2)时,不妨设%1<%2・
由题意可知:
%iG(-oo,0),x2G(0,1).
下面证明:Vxe(0,1),/(%)</(-%),即证
(l-x)ex-^<0.
-3
令9(X)=(1-x)ex~誉,则g'(%)=-xe~x(e2x—1).
当%G(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,・•・g(x)<g(0)=0.
即(1—x^ex—<0.
・•・VxG(0,1),/(%)</(—x).
而%(一%
2€(0,1),・•・f(x2)<f2)・
从而,/01)V/(—%2)・
由于%1,€(-00,在(-上单调递增,
-x20),f(%)8,0)
:.<—%2,即+%2<0.
故选:B.
构造函数,利用导数证明函数的单调性,即可得出结论.
本题考查导数知识的运用,考查数形结合的数学思想,正确构造函数是关键.
13.答案:—1
解析:
本题考查分段函数求值,比较基础.
根据已知分段函数求解即可.
,3x2-4,x>0
解:f(x)=x+2,x=0,
.-1,x<0
则f0=>4=_果
所以/(/©))=/(-蜉)=T.
故答案为-1.
14.答案:1或2
解析:
本题考查三角函数化简求值,同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.
通过同角三角函数的基本关系式化简已知表达式,然后求解方程即可.
解:由1+cos29=3sin9cos0,
变形得siM。+2cos2。—3sindcos9=0,
=>(sin0—2cos6)^sin9—cos。)=0,
Atand=2或1.
故答案为1或2.
15.答案:I
解析:由条件可知,^F-4C=lx2+(-l)xO=2,|而|=2,
所以向量近在前方向上的投影为甯=1.
\AC\
故答案为:1.
根据投影公式鬻进行计算即可.
本题考查了投影的概念以及利用平面向量数量积进行投影计算,属于基础题.
16.答案:①④
解析:
本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了正弦函数和余弦函数的图象和性质,难度中档.
画出函数/(x)的图象,数形结合分析各个命题的真假,可得答案.
'、'Icosx,sinx<cosx
解:函数/(x)=1%学.亍然:的图象如下图所示:
J'Lcosx,sinx<cosx
①该函数的图象关于%=2k兀+?代62)对称;故正确;
②当%=2/OT,或x=2kTT+m(keZ¥;K该函数取得最大值1;故错误;
③该函数是以27r为最小正周期的周期函数;故错误;
④当且仅当2k7r+7r<x<2k7r+苧(/ceZ9,-当4/(x)<0,故正确;
故答案为:①④.
17.答案:⑴解:•••差数列{斯}的公差为d(d#0),
恰为等比数列{%]的前项,
%,a2,(Z43
・••(%+d)2=Qi(%+3d7,解得的=d,
.••数列的公比为又匕解得
{bn}2,4=8,8d=8,d=1,
n-1
an=n,bn=2.
解:n-1
(2)cn=anbn=n-2,
2n-1
Sn=1-2°+2•2+3•2+-+n-2,①
23n
2Sn=1-2+2•2+3•2+-+n-2,②
①一②,得一Sn=1+2+2?+…+2"T-n•2n
1-2"„
=--------n-2nn
1-2
=(l-n)«2n-l,
n
**•Sn=(n-1),2+1.
解析:(1)由已知条件推导出(%+d)2=Q](ai+3d)2,解得仰=由从而得到数列{匕}的公比为2,
n-1
又%=8,解得d=1,由此能求出an=?i,bn=2.
n-1
(2)由c九=anbn=n-2,利用错位相减法能求出数列{7}的前〃项和Sn.
本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前〃项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注
意错位相减法的合理运用.
18.答案:解:(1)证明:・・•侧面△P4D是正三角形,E是AD中点,
^PELAD,
•・•侧面PAD,底面ABCDfMPADn底面48CD=AD,/,匕,;7一
.・.PE_L底面ABCD,:.PE1CE,
・・•底面48C。是矩形且4。=2AB,
:.AE=DE=AB=CD,
・・・/,AEB=Z.DEC=45°,
・・・AAEB+乙DEC=90°,
••・乙BEC=90°,・,・BE1CE,
•:PECBE=E,ACE1平面PBE.
(2)解:以E为原点,以EQ,“所在直线,AO的垂直平分线为x,z,y轴,建立空间直角坐标系,
设=248=2,则点。(1,0,0),C(1J,0),P(0,0,遮),0),
・••丽=(1,0,-V3),~PC=(1,1,-V3),而-V3),
设平面PCB的法向量沆=(%y,z),
则pH•丽=-%+y-\[3z=0
Ini-PC=x+y-A/3Z=0
取2=1,得沅=(0,8,1),
设平面PCD的法向量记=(a力,c),
n•PD=a—V3c=0
则
n•PC=a+b—V3c=0
取c=l,得亢=(百,0,1),
设二面角D-PC-B的平面角为。,则。为钝角,
\mn\1
二面角D-PC-B的余弦值为:cosd
l?n|.|n|一4
解析:本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的
位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
(1)推导出PE_L40,从而PEJ■底面ABC。,PE1CE,AE=DE=AB=CD,BE1CE,由此能证
明CEPBE.
(2)以E为原点,以ED,EP所在直线,AO的垂直平分线为x,z,y轴,建立空间直角坐标系,利
用向量法能求出二面角。-PC-B的余弦值.
19.答案:解:(1)由茎叶图得:
中位数为76,
测试成绩在70分以上的频率为:盘=|
二测试成绩在70分以上的约为:3000x|=2000A.
(2)由题意可得,f的可能取值为0,1,2,3,4,
P&=o)=等=恭
G8/U
P(f=l)=警/8
35
pff_C.C;_36_18
一)一点一70-35
以盘_16__8_
P代=3)
点—70・35
P(f=4)=誓/
所以4的分布列为:
01234
181881
p
7035353570
・••E(9=0X/+1X£+2X1|+3X£+4X/2.
解析:⑴由茎叶图能求出中位数,求出测试成绩在70分以上的频率,由此能测试成绩在70分以上
的人数.
(2*的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出f的分布列和数学期望.
本题考查茎叶图的应用,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查古典概型概率计算
公式、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
20.答案:解:⑴由已知可得:2c=45/2,b=2,a2=h2+c2,联立解得:c=2-/2>b=2,a2=12.
•••椭圆C的标准方程为巨+”=1.
124
(2)直线/的方程为:y—1=x+2,即y=%+3.设力(%1,%),^(x2,y2).
(y=x+3
联立y2化为:4%24-18%+15=0,
I—I—=1
1124
915
・・・%1+%2=-5,
22
\^B\=V2[(X1+X2)-4X1X2]=J2x[(-|)-4Xy]=苧
解析:本题考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的
关系,属于中档题.
(1)由已知可得:2c=4&,b=2,a2=b2+c2,联立解得即可得出.
(2)直线/的方程为:y=%+3.设4(%i,yi),8(电力),与椭圆方程联立化为:4/+18%+15=0,
利用弦长公式|4B|=+&M-4久62]即可得出・
21.答案:解:(1)/(乃=贮始竺1.
当a=0时1(x)=詈,
•••f(x)在(0,1]上单调递增,在(L+8)上单调递减;
当aM00寸,/(乃=a(x-i)(:-詈)
当a<0时,拶<0,
f(x)在(0,1]上单调递增,在(1,+8)上单调递减;
当0<a<}拶>1.••/(>)在(0,1)上单调递增,在(1,拶)上单调递减,在[拶,+8)上单调递增;
当a=%/(x)在(0,+8)单调递增:
当:<a<1时,0<拶<1,二/(x)在(0,与与上单调递增,
在(早,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,
当a21时,拶<0,.♦.”£)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,
(2)当无e(0,1)时,若不等式f(x)<1恒成立,
・・•通过(1)可知,①,函数/(%)在区间(0,1)上单调递增,
・••只需/(I)<1,即a+Q—1一仇1+1W1,a<-,
②当aN1时,门》)在(0,1)上单调递减,不可能恒成立,
③当:<a<1时,/(x)在(0,拶)上单调递增,在,1)上单调递减,
fMmax=1一。一5一如果a-1时/(x)max=1-a--Inf>0
••・不符合题意,
综上:当x6(0,1)时,若不等式/'(%)<1恒成立,实数a的取值范围:
解析:(1)求
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