2021年高考数学模拟训练卷 (56)(含答案解析)

2021年高考数学模拟训练卷(56)

一、单项选择题(本大题共12小题，共60.()分)

1.设集合力={司-13x33},8={用0＜刀＜4},则41)8=()

A.[-1,4)B.[-1,3)C.(0,3]D.(0,3)

2.在复平面内，复数捻所对应的点为(2,-1),，是虚数单位，则z=()

A.-3—iB.-3+iC.3—iD.3+i

3.甲、乙、丙、丁四人，只有一人是说谎者.

甲说：乙丙说真话;

乙说：甲丁有一人说假话；

丙说：我说真话；

丁说：我说真话.

判定四人中，说谎者是()

A.甲B.乙C.丙D.T

4.2017年2月20日，摩拜单车在济南推出“做文明骑士，周一摩拜单车免费骑”

H7,*

活动，为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小时

内被骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该组数据的方差为()

A.9B.4C.3D.2

5.已知抛物线C:/=2py(p＞0)的准线/与圆M:(x-I/+(y-2)2=16相切,

则p=()

A.6B.8C.3D.4

6.如图，半球内有一内接正四棱锥S-4BCD,该四棱锥的体积为延,

3

则该半球的体积为()

AV2

A.—7T

3

B.』

3

C.V2TT

n4四

1J.——371

%—2y+1>0

7.若，y满足约束条件x+y+120，贝Uz=乎的取值范围为（）

x-y-1<0

44.

A.[ORB.（—co,-2]U[-,4-oo）

C.[-2,|]D.（_8,_3“2,+8）

8.在△ABC中，已知AB=VL4C，NB=30。，则NA=（）

A.45°B,15°C.45°或135°D.15°或105°

9.已知双曲线（7：?—，=19>0）的焦点到渐近线的距离为3,则双曲线。的虚轴长为（）

A.3B.6C.2V5D.2>/21

10.如图是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（）

A.V3+6V2+2V6B.V3+672+476

C.6V3+4V6D.5V3+4V6

11.4男2女排成一排，要求男生必须相邻的不同排法有（）

A.144种B.120种C.480种D.48种

12.已知函数/0）=治/，X]，犯为两不同实数，当/（乙）=八支2）时，有（）

A.x-i+x2>0B.%1+x2<0C.%!+x2=0D.无法确定

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

3x2—4,x>0

x+2,x=0，贝Ilf（/■（：））=.

（—l,x<0

2

14.设1+cos0=3sin9cosdf贝.

15.已知四=(1,一1),前=(2,0)，则向量四在前方向上的投影为.

16.对于函数f(x)=1inx，sinx|cosx,关列结论：

①该函数的图象关于J2Ar+?keZ)对称；

②当且仅当/斤+：依62)时，该函数取得最大值1；

③该函数是以“为最小正周期的周期函数；

④当且仅当2/OT+7T<X<2/C7T+^-(/ceZ)W,-^</(x)<0.

N2

其中正确的是.(填序号)

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知等差数列｛斯｝的公差为d(d00),%,a2,。4恰为等比数列［%］的前3项，且/=8

(1)求数列｛%｝,｛b］的通项公式;

(2)令d=an-bn,求数列｛”｝的前n项和Sn.

18.如图，在四棱锥P—4BC0中，底面ABC。为矩形且4。=2AB,侧面PAO1底面ABCD,且侧

面PAO是正三角形，E是4。中点.

(1)证明：CE1平面PBE：

(2)求二面角D-PC-B的余弦值.

19.某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带

成绩

一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成52

6378

绩(百分制)的茎叶图如下：72666

828

(1)写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70934

分以上的人数；

(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记f表示测试成绩在80分以上的人数，求f的

分布列和数学期望

20.已知椭圆C：盘+《=l(a>b>0)的焦距为4vL短半轴长为2,过点P(-2,l)斜率为1的直线

/与椭圆C交于4,B点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求弦A8的长.

21.已知函数/(x)=ax+彳—Inx+l(ae/?).

(1)讨论/Q)的单调性

(2)当xe(0,1)时，若不等式f(x)<1恒成立，求实数a的取值范围.

22.在直角坐标系X。)，中，圆G：%2+y2=4,圆C2：(x—2)2+y2=4.

(1)在以。为极点，尤轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆G，的极坐标方程，并求出

圆G，。2的交点坐标(用极坐标表示)：

(2)求出G与C2的公共弦的参数方程.

23.已知函数f(%)=|x+1|-a\x-1|.

⑴当a=一2时,解不等式/(x)>5；

(2)若/(%)£+3|,求。的最小值.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：解：,集合4={x|-1WxW3},B={x|0<x<4},

•••4UB={久|-1Wx<4}=[-1,4).

故选：A.

先分别求出集合A,B,由此能求出4UB.

本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.答案：D

解析：

本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算，属于基础题.

根据复数捻在复平面内对应的点为(2,-1)可得捻=2-1,化简即可求出z.

解：因为复数捻在复平面内对应的点为(2,-1),

所以捻=2—i,

所以z=(l+i)(2-i)=3+i.

故选D

3.答案：D

解析：

本题考查合情推理中的归纳推理，属于基础题.

经过推理即可得结果.

解：(1)若丙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符，故丙说真话：

(2)若乙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符，故乙说真话；

(3)由(1)(2)知：甲说真话;

(4)故丁说谎话.

故选D

4.答案：B

解析：解，由茎叶图得，该组数据分别是：

87,89,90,91,93,

平均数是：90,

故方差S2=：(9+1+0+1+9)=4,

故选：B.

求出该组数据的平均数，代入方差公式计算即可.

本题考查了茎叶图的读法，考查求数据的平均数和方差问题，是一道基础题.

5.答案：D

解析：

本题考查抛物线与圆的几何性质，考查推理论证和运算求解能力，属于基础题.

由得到抛物线的准线方程，根据准线与圆相切，得到〃的方程，解得p的值即可.

解：抛物线C：%2=2「、的准线为丫=一看

因为准线/与圆M：(x-l)2+(y—2/=16相切，

所以9+2=4,则p=4.

故选D.

6.答案：D

解析:

本题主要考查了球的体枳的计算，属于基础题.

设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解半球的体积.

解：设所给半球的半径为R,则棱锥的高八=R,

底面正方形中有AB=BC=CD=DA=鱼R，

所以其体积|收=华,则收=20

于是球的体积为联辆

则半球的体积为Li，=色27T.

23

故选D.

7.答案：B

解析:

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，

转化求解即可.

本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计

算能力.

解：根据已知，画可行域如图，

z=■表示可行域内的点（无,y）与点P（0,-2）连线的

斜率,

由｛[:二解得：力（3,2），

由｛：^；+\==°0解得：C（T°）,

2+2_4

^AP

3-3‘

降=等=-2,

可知点Q,y）与点P连线的斜率的范围是（一8,-2]U色+8）.

所以Z=等的取值范围是（-8,—2]U扇+8）.

故选：B.

8.答案：D

解析：解：NB=30。，

由正弦定理刍=会，可得：sinC="变里=%竭=立，

sinCsinB4cAC2

.♦.由CG(0,180°),可得：C=45°,或135°.

•••可得：A=180°-B-C=105°,或15°.

故选：D.

由正弦定理可解得sinC,结合范围C€（0,180。），可得C,利用三角形内角和定理即可求A的值.

本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，正弦函数的图象和性质，属于基础题.

9.答案：B

解析：

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.

求出双曲线的焦点坐标到直线的距离，得到方程，求出b即可.

解：双曲线C：9一\=1偌＞0）的一个焦点（斤中,0）,一条渐近线方程为：bx+2y=0,

双曲线C：=1（匕＞0）的焦点到渐近线的距离为3,

可得：^^=3,可得b=3,

则双曲线C的虚轴长为：6.

故选民

10.答案：D

解析：

本题考查几何体的三视图及棱锥的侧面积的计算，属于中档题目.

还原三视图，进行线面位置关系分析，进而求得结果.

解：如图，该几何体为三棱锥，其中PC,底面ABC,|PC|=2通，。为AB中点,

可求得|PD|=J（2V6）2+1=5-

所以该三棱锥的侧面积为S=2V6x2xix2+2V3x5x|=5V3+4后.

故选D.

11.答案：A

解析：

根据题意，根据题意，分2步分析：①、将4名男生看成一个整体，考虑其顺序，②、将这个整体

与2名女生全排列，由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列、组合的应用，注意相邻问题用捆绑法分析，为基础题.

解：根据题意，分2步分析：

①、将4名男生看成一个整体，考虑其顺序，有用=24种情况,

②、将这个整体与2名女生全排列，有&=6种排法，

则男生必须相邻的排法有6x24=144种；

故选：A.

12.答案：B

解析：解：当*<1时，由于^<。，ex>0,得到

/(%)>0；同理，当x>1时，/(%)<0.

当/(%[)=/(X2)(%1。%2)时,不妨设%1<%2・

由题意可知：

%iG(-oo,0),x2G(0,1).

下面证明：Vxe(0,1),/(%)</(-%),即证

(l-x)ex-^<0.

-3

令9(X)=(1-x)ex~誉，则g'(%)=-xe~x(e2x—1).

当％G(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，・•・g(x)<g(0)=0.

即(1—x^ex—<0.

・•・VxG(0,1),/(%)</(—x).

而％(一%

2€(0,1)，・•・f(x2)<f2)・

从而，/01)V/(—%2)・

由于%1，€(-00,在(-上单调递增,

-x20),f(%)8,0)

:.<—%2，即+%2<0.

故选：B.

构造函数，利用导数证明函数的单调性，即可得出结论.

本题考查导数知识的运用，考查数形结合的数学思想，正确构造函数是关键.

13.答案：—1

解析:

本题考查分段函数求值，比较基础.

根据已知分段函数求解即可.

,3x2-4,x>0

解：f(x)=x+2,x=0,

.-1,x<0

则f0=>4=_果

所以/(/©))=/(-蜉)=T.

故答案为-1.

14.答案：1或2

解析:

本题考查三角函数化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.

通过同角三角函数的基本关系式化简已知表达式，然后求解方程即可.

解：由1+cos29=3sin9cos0,

变形得siM。+2cos2。—3sindcos9=0,

=>(sin0—2cos6)^sin9—cos。)=0,

Atand=2或1.

故答案为1或2.

15.答案：I

解析：由条件可知，^F-4C=lx2+(-l)xO=2，|而|=2,

所以向量近在前方向上的投影为甯=1.

\AC\

故答案为：1.

根据投影公式鬻进行计算即可.

本题考查了投影的概念以及利用平面向量数量积进行投影计算，属于基础题.

16.答案：①④

解析：

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正弦函数和余弦函数的图象和性质，难度中档.

画出函数/(x)的图象，数形结合分析各个命题的真假，可得答案.

'、'Icosx,sinx<cosx

解：函数/(x)=1%学.亍然:的图象如下图所示：

J'Lcosx,sinx<cosx

①该函数的图象关于％=2k兀+?代62)对称；故正确；

②当％=2/OT,或x=2kTT+m(keZ¥；K该函数取得最大值1；故错误；

③该函数是以27r为最小正周期的周期函数；故错误；

④当且仅当2k7r+7r<x<2k7r+苧(/ceZ9,-当4/(x)<0，故正确;

故答案为：①④.

17.答案：⑴解:•••差数列｛斯｝的公差为d(d#0),

恰为等比数列｛%］的前项，

%,a2,(Z43

・••(%+d)2=Qi(%+3d7，解得的=d,

.••数列的公比为又匕解得

｛bn｝2,4=8,8d=8,d=1,

n-1

an=n,bn=2.

解：n-1

(2)cn=anbn=n-2,

2n-1

Sn=1-2°+2•2+3•2+-+n-2,①

23n

2Sn=1-2+2•2+3•2+-+n-2,②

①一②，得一Sn=1+2+2?+…+2"T-n•2n

1-2"„

=--------n-2nn

1-2

=(l-n)«2n-l,

n

**•Sn=(n-1),2+1.

解析：(1)由已知条件推导出(%+d)2=Q](ai+3d)2,解得仰=由从而得到数列｛匕｝的公比为2,

n-1

又%=8,解得d=1,由此能求出an=?i,bn=2.

n-1

(2)由c九=anbn=n-2,利用错位相减法能求出数列｛7｝的前〃项和Sn.

本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前〃项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注

意错位相减法的合理运用.

18.答案：解：(1)证明：・・•侧面△P4D是正三角形，E是AD中点，

^PELAD,

•・•侧面PAD，底面ABCDfMPADn底面48CD=AD,/,匕,；7一

.・.PE_L底面ABCD,:.PE1CE,

・・•底面48C。是矩形且4。=2AB,

:.AE=DE=AB=CD,

・・・/,AEB=Z.DEC=45°,

・・・AAEB+乙DEC=90°,

••・乙BEC=90°,・,・BE1CE,

•：PECBE=E,ACE1平面PBE.

(2)解：以E为原点，以EQ,“所在直线，AO的垂直平分线为x,z,y轴，建立空间直角坐标系，

设=248=2,则点。(1,0,0),C(1J,0),P(0,0,遮),0),

・••丽=(1,0,-V3),~PC=(1,1,-V3),而-V3),

设平面PCB的法向量沆=(%y,z),

则pH•丽=-%+y-\[3z=0

Ini-PC=x+y-A/3Z=0

取2=1,得沅=(0,8,1),

设平面PCD的法向量记=(a力，c),

n•PD=a—V3c=0

则

n•PC=a+b—V3c=0

取c=l,得亢=(百,0,1),

设二面角D-PC-B的平面角为。，则。为钝角,

\mn\1

二面角D-PC-B的余弦值为：cosd

l?n|.|n|一4

解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(1)推导出PE_L40,从而PEJ■底面ABC。，PE1CE,AE=DE=AB=CD,BE1CE,由此能证

明CEPBE.

(2)以E为原点，以ED,EP所在直线，AO的垂直平分线为x,z,y轴，建立空间直角坐标系，利

用向量法能求出二面角。-PC-B的余弦值.

19.答案：解：(1)由茎叶图得:

中位数为76,

测试成绩在70分以上的频率为：盘=|

二测试成绩在70分以上的约为：3000x|=2000A.

(2)由题意可得，f的可能取值为0,1,2,3,4,

P&=o)=等=恭

G8/U

P(f=l)=警/8

35

pff_C.C；_36_18

一)一点一70-35

以盘_16__8_

P代=3)

点—70・35

P(f=4)=誓/

所以4的分布列为:

01234

181881

p

7035353570

・••E(9=0X/+1X£+2X1|+3X£+4X/2.

解析：⑴由茎叶图能求出中位数，求出测试成绩在70分以上的频率，由此能测试成绩在70分以上

的人数.

(2*的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率，由此能求出f的分布列和数学期望.

本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型概率计算

公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

20.答案：解：⑴由已知可得：2c=45/2,b=2,a2=h2+c2,联立解得：c=2-/2>b=2,a2=12.

•••椭圆C的标准方程为巨+”=1.

124

(2)直线/的方程为：y—1=x+2,即y=%+3.设力(%1，%),^(x2,y2).

(y=x+3

联立y2化为：4%24-18%+15=0,

I—I—=1

1124

915

・・・％1+%2=-5，

22

\^B\=V2[(X1+X2)-4X1X2]=J2x[(-|)-4Xy]=苧

解析：本题考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的

关系，属于中档题.

(1)由已知可得：2c=4&,b=2,a2=b2+c2,联立解得即可得出.

(2)直线/的方程为：y=%+3.设4(%i，yi),8(电力)，与椭圆方程联立化为：4/+18%+15=0,

利用弦长公式|4B|=+&M-4久62]即可得出・

21.答案：解：(1)/(乃=贮始竺1.

当a=0时1(x)=詈，

•••f(x)在(0,1]上单调递增，在(L+8)上单调递减；

当aM00寸，/(乃=a(x-i)(：-詈)

当a<0时，拶<0，

f(x)在(0,1]上单调递增，在(1,+8)上单调递减；

当0<a<}拶>1.••/(>)在(0,1)上单调递增，在(1,拶)上单调递减，在[拶,+8)上单调递增；

当a=%/(x)在(0,+8)单调递增：

当:<a<1时，0<拶<1,二/(x)在(0,与与上单调递增，

在(早,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

当a21时，拶<0,.♦.”£)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

(2)当无e(0,1)时,若不等式f(x)<1恒成立，

・・•通过(1)可知，①，函数/(%)在区间(0,1)上单调递增，

・••只需/(I)<1,即a+Q—1一仇1+1W1,a<-,

②当aN1时，门》)在(0,1)上单调递减，不可能恒成立，

③当:<a<1时，/(x)在(0,拶)上单调递增，在,1)上单调递减，

fMmax=1一。一5一如果a-1时/(x)max=1-a--Inf>0

••・不符合题意，

综上：当x6(0,1)时，若不等式/'(%)<1恒成立，实数a的取值范围：

解析：(1)求