2021年高考数学真题分类汇编11：立体几何

2021年高考数学真题分类汇编专题11：立体几何

一、单选题

1.（2分）（2021•全国甲卷）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱

锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（）

正工不

2.（2分）（2021•全国甲卷）已知A,B,C是半径为1的求。的球面上的三个点，且AC_LBC,AC=BC=1,则三

棱锥O-ABC的体积为（）

3.（2分）（2021•全国乙卷）在正方体ABCD-AiBiCiDi中，P为BQi的中点，则直线PB与ADi所成的角为

（）

A气B.富（2.司D.g

4.（2分）（2021•新高考I）已知圆锥的底面半径为后，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长

为（）

A.2B.2事C.4D.4后

5.（2分）（2021•新高考II卷）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

+I事BT靖C.警

6.（2分）（2021•新高考II卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统

中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为冬鼠（轨道高度是指卫星到地球

表面的距离）.将地球看作是一个球心为。，半径r为6.4©俄总的球，其上点A的纬度是指与赤道

平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为帆记卫星

信号覆盖地球表面的表面积为移=2阳-髅陶晦（单位：km,，则s占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

7.（2分）（2021•北京）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（恒比0来判断降雨程度.其中小雨

（«：l：Ctou），中雨（l：Cta乳以一£窗胧乳），大雨（三画皿1一.孰皿1），暴雨（-1QChlim），

小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

8.（2分）（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

10.（2分）（2021•浙江）如图已知正方体感激出一期好声:舞，M,N分别是正步，诊哥的中点,

则（）

A.直线曲粉与直线粉:港垂直，直线』蹈”『平面息馥&

B.直线曲粉与直线£?*平行，直线』温相__L平面旗魂，:叠

C.直线电冷与直线的濯相交，直线初献门平面国或《卷

D.直线电粉与直线的潭异面，直线掀忠，,平面置出总图：

11.（2分）（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为:攀,

,为

两个圆锥的高之比为1:里则这两个圆锥的体积之和为（）

A.觐B.4.IEc.gfcD.r及

二、多选题

12.（3分）（2021•新高考I）在正三棱柱ABC-昌蛋:塔中，AB=AAi=l,点P满足靛=.河声4/福，

其中入00』,jMG[0,l],则（）

A,当人=1时，△国叫P的周长为定值

B.当如1时,三棱锥P-AiBC的体积为定值

C.当入=看时，有且仅有一个点P,使得.ML球

D.当卜b年时，有且仅有一个点P,使得是BJ■平面A於P

13.（3分）（2021•新高考n卷）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方

体的顶点.则满足小痣鹫◎蜉的是（）

三、填空题

14.（1分）（2021•全国甲卷）己知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30兀，则该圆锥的侧面积为

15.（1分）（2021•全国乙卷）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组

成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

16.（10分）（2021•全国甲卷）己知直三棱柱息或算一卫谖勒中，侧面息斑卦再为正方

形.懒二翌算可成点分别为您:和WE通中点，瑟巴L3：匹

（1）求三棱锥F-EBC的体积；

（2）已知.*为棱冬州上的点，证明：就浮.L©彦.

17.（10分）（2021•全国甲卷）已知直三棱柱ABGAiBi国中,侧面AAiBiB为正方形，AB=BC=2,E,F分

别为AC和CJ的中点，D为棱AiBi上的点,BF±AiBi，

（1）证明：BF±DE；

（2）当为BiD何值时，面BBiGC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

18.（10分）（2021•全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABCD,PD=DC=1,M为BC

的中点，且PBJLAM,

（1）求BC；

（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

19.（10分）（2021•全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD」.底面ABCD,M为BC的中点,

且PB.!.AM.

（1）证明：平面PAM」.平面PBD；

（2）若PD=DC=1,求四棱锥P-ADCD的体积.

20.（10分）（2021•新高考I）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD，平面BCD,AB=AD.O为BD的中点.

A

（1）证明：OA_LCD：

（2）若小OCD是边长为1的等边三角形.点E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱

锥A-BCD的体积.

2i.（io分）（2021•新高考n卷）在四棱锥统一国国窜四中，底面.福窜出是正方形，若

的=2,巡』◎以%=%

（1）证明：平面隐蛇UL平面也鬣&

（2）求二面角3一算婚一点的平面角的余弦值.

22.（10分）（2021•北京）已知正方体息四用一卫盛给玦，点彦为昌田冲点，直线旗奖］交平面

贫⑤意于点、F.

（2）若点，林为棱品蝎上一点，且二面角屈-£芦-您的余弦值为巨求:骋，的值.

23.（10分）（2021•浙江）如图，在四棱锥厚一.二破落由中，底面息感V&是平行四边形，

X.W-=12发”嵬卷=L密公=4,总包=麴，M,N分别为图《，若嗜:的中点，

投?,11尊君，居氏_L时激

p

(l)证明：..应3.赫;

(2)求直线且出与平面.喇恩%片所成角的正弦值.

24.(15分)(2021•天津)如图，在棱长为2的正方体息鬣1&,一笠型算声:中，E为棱BC的中点，F为

棱CD的中点.

(1)求证：疑产总平面4停0；

(2)求直线。勰;［与平面4：窗赏*所成角的正正弦值.

(3)求二面角更一点声，一彦的正弦值.

答案解析部分

一、单选题

L【答案】D

【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图

【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，

则侧视图是

故答案为：D

【分析】根据三视图的画法求解即可.

2.【答案】A

【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为01,由AC_LBC,AC=BC=1知01为AB的中点，且

县龙=卷一瓢：=孕百

又球的半径为1,所以0A=0B=0C=l,所以OA2+OB2=AB2,◎④=岑，

则OOi2+OiC2=OC2

则001X01C,001XAB,

所以00i_L平面ABC,

所以理;=看冷网好◎=与停"；

故答案为：A

【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即

可.

3.【答案】D

【考点】直线与平面所成的角

【解析】【解答】如图，连接AC,设AC与BD交于0,连接0Di,ADi,BP,设正方体的棱长为X,

因为DiP||0B||BD,且DiP=B0==BD,所以四边形0D1PB是平行四边形，所以BP||。口1,所以£且冷••僧

，所以，心徵◎=言.

即为所求的角,易证.髓LL平面BDDiBi，故卫.ODi,

故答案为：D

【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。

4.【答案】B

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为I,底面半径为r,则有

二证1一号窗俨"匕海

解得f=,=2行

故答案为：B

【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.

5.【答案】D

【考点】棱台的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图,

因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

所以该棱台的高，

下底面面积Si=16,上底面面积S2=4,

所以棱台的体积为妹=§虱卷4.赤式T*J=§常胃】：口64疝⑥汽;4,4-4）=孽£

故答案为：D

【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.

6.【答案】C

【考点】球的体积和表面积

【解析】【解答】解：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

产中譬工研启越网=0.42=42%

故答案为：C

［分析】结合题意所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

7.【答案】B

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【解析】【解答】解：如图所示,

由题意得向=噌,则r=50

则雨水的体积为歌=聂晶=枭E；,飘沁;J翔，

则降雨的厚度（高度）为强=

故答案为：B

【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.

8.【答案】A

【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示:

该四面体为直三棱锥，其中SAJ■平面ABC,SA=AB=AC=1,

则SB=SC=BC=9J,

则所求表面积为凝=聂氏］飙1喘11篇居琢舌琢向掰3幅=世£

故答案为：A

【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.

9.【答案】A

【考点】由三视图求面积、体积

【解析】【解答】由三色线法，画出几何体为如图所示的四棱柱思懿四一国■声苦尹其高为1,底面为

等腰梯形温得:孙

故孙躁新祸明=j司而+垂卜号*:1=曼

故答案为：A.

【分析】先由三视图，用三色线法还原立体图形，然后根据数量关系计算体积。

10.【答案】A

【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定

【解析X解答】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,0),Ax(2,o,2),B(2,2,0),

Di(0,0.2),M(l,0,l),N(l,l,l),Bi(2,2,2),

对于A：因为编或百赢=：但1.@.因为前.琼=色外力自北-力=Q所以

即蜀忌工.卧&又因为嬴①;后.…戏=出2成猴壶=空盛装'则ABIIMN,于是ABII平面

ABCD,A符合题意；

对于B:由A知,AiD与DiB垂直，故B不符合题意；

对于C:AiD与DiB是异面的，不平行，故C不符合题意；

对于D:AiD与DiB异面正确,但显然与平面BDBiDi不垂直，故D不符合题意；

故答案为：A.

【分析】对于A：由空间向量证明是正确的，

对于B：若A知且®，然或这显然不平行，所以B不正确；

对于C：显然，直线段总与直线6：廨是异面直线，故C错误；

对于D：由B知，MN不垂直平面BDDiBi。

11.【答案】B

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】解：如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D,

设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1,即AD=3BD,

设球的半径为R，则也算=建，解得R=2,

立关

所以AB=AD+BD=4BD=4,

所以BD=1,AD=3

---CDXAB,

ZCAD+ZACD=ZBCD+ZACD=90°

ZCAD=ZBCD

又因为NADC=ZBDC

所以△ACD-△CBD

所以:里国_齿名

加以在至一&5

这两个圆锥的体积之和为。孤喙

MCCpxxn=*.闻$琢斗=和,

故答案为：B

【分析】作出图形，求得球的半径，进而求得两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径,

再结合锥体的体积公式求解即可.

二、多选题

12.【答案】B,D

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】解：由点P满足百通=》蔽+注福可知点P在正方形BCCiBi内，

对于A,当入=1■时，可知点P在CCi（包括端点）上运动，如下图所示，AABiP中，

9=板加=疝T斜:潘津=知百就，

因此周长L=AB+AP+BiP不为定值，故A错误.

对于B,当口=1时，可知点P在BiCi（包括端点）上运动，如下图所示,

易知BiCi〃平面AiBC,即点P到平面AiBC的距离处处相等，

△AiBC的面积是定值，所以三棱锥P-AiBC的体积为定值，故B正确：

对于C,当*=$时，分别取线段BB1,CC1的中点M,N,可知点P在线段DD］（包括端点）上运动,

上.

如下图所示，

B

很显然若点P与D,Di重合，均满足题意，故C错误；

对于D,当海=百时，分别取线段BBi,CCi的中点D,Di,可知点P在线段DDi（包括端点）上运动,

如下图所示,

此时，有且只有点P与点N重合时，满足题意，故D正确.

故答案为：BD

【分析】根据三角形的周长，棱锥的体积的求法，利用特殊点进行判断AB即可，根据线线垂直及线面垂直

的判定定理，利用特殊点进行判断CD即可.

13.【答案】B,C

【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】解：对于A,如图（1）所示，

连接AC,则MN//AC,

故NPOC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角.

在直角三角形中，◎密=亚,

OPCCP=1,故t富⑪溪号西；

故MN_LOP不成立，故A错误;

对于B,如图（2）所示，

M

取NT的中点Q,连接PQ,OQ,则OQ_LNT,PQ_LMN,

由正方体SBCM-NADT可得SN_L平面ANDT,而热赞匕平面ANDT,

故SNJ_OQ,而SNcMN=N,故OQJ■平面SNTM,

又匕平面SNTM,则OQ_LMN,而OQnPQ=O,

所以MNJ_平面OPQ,而◎步匕平面OPQ,故MNJLOP.

故B正确；

对于C,如图（3）所示，

连接BD,则BD〃MN,由B的判断可得OP_LBD,故OPd_MN,故C正确;

对于D,如图（4）所示，

M

图⑷

取AD的中点Q,AB的中点K,连接AC,PQOQPK,OK,则AC〃MN,

因为DP=PC,故PQ//AC,贝IJPQ//MN,

所以NQPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，

因为正方体的棱长为2,故步◎=电算=技侬?=标我+,的'=赤：好&=击咙4旌工’=霸,

则有QO2<PQ2+OP2

故NQPO不可能是直角，

故MN,0P不可能垂直

故D错误.

故答案为：BC

【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正

误.

三、填空题

14.【答案】39n

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r,母线长为I,高为h,

则底面面积S=nr2=36n,

则由歌=存魏=1M：台&1X：&=Mk得耻=育，

故圆锥的侧面积为源•寸=在时::⑥Mm=装锹/

公

【分析】根据圆锥的特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.

15.【答案】②⑤或③④

【考点】由三视图还原实物图

【解析】【解答】当俯视图为④时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图;

当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，

故答案为：②⑤或③④

【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。

四、解答题

16.【答案】(1)如图所示，连结AF,

由题意可得：牌=询婷T算资=瓦B=春'，

由于ABJLBBi,BC±AB,旗邂/或£：=邂，故点球L平面馥◎为，

而国跖贮平面飕慝:遇，故,墟涔.L国好，

从而有显押=短彳萨=如y=冬，

从而就:=/靖-短费=赢-1=’拿，

则同•勰》=.再吃.-，竭,_L或算，△总雕:为等腰直角三角形，

塾耨富=**二磁；=4*：值"•可=L萨丹蹈广$>3窿蠲部产:^源=.㈱：】辑：•】=0•

(2)由⑴的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体盘龙公加一且再£：?初：，如图所示，取棱

嬴就激箱的中点毯,蔡，连结M您叫，

正方形呢贯:疑跖中，窿产为中点，则易孔_L哥否，

又旗茸，是匹斑哥:仃为：尊=树,

故浮烂」.平面舄圆啰登，而四谩七平面,再啰器，

从而命QL9鎏.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定

【解析X分析X1）连结AF,通过计算得出AC线段的长度，得到总区。魂口=施武耶需，

进一步可以计算出F—EBC的体积：

（2）由⑴的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，取棱与越，激箱的中点耗，缗,连结

4电押钱寿叫,通过证明再烂.1.平面豆再潍注，而得到国,QI.DE.

17.【答案】（1）因为三棱柱息或盘一耳圈:君是直三棱柱，所以懿1_L底面显部:,所以再葩，■破

因为.舄遏.£弱，欧烂，且暨，所以昂浮.L.4密，

又旗马ft卷芦=宓，所以..阖.1.平面懿:察最.

所以欧&:直氢或更两两垂直.

以存为坐标原点，分别以或曷或笃或史所在直线为飞.超任轴建立空间直角坐标系，如图.

y

所以威L：Q,琼0arfe..x④曷盥L&泣*骞初他三S,

或L1,琥其Q③0

由题设就；您&国（。蹴:靖瓷2）.

因为哥龄=值学本思遨=0一缘L一用,

所以富黏,'诞=：0，式;1一就+2K：：HL仪一笺=：。,所以双注.1.©彦・

（2）设平面般正澄的法向量为萌=：（*型d，

因为固第=（-1,1:11W=（1-缘i:-啜，

蛇"‘直争=◎即厂3rH,%=◎

所以

i喻'•'舞=Q长1-姆卜：4w一圭=@

令12一部WJ痴=:&】千纵三一q

因为平面鬣邕最的法向量为贰=国惠川,

设平面或贯；选:鸟与平面四凝产的二面角的平面角为瀚,

1”

当在=行时，羽士一飞H4取最小值为营:,

此时呼:®搬取最大值为r

所以房加的.

、505

此时葩尊=$.

【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】（1）根据条件，先证明显双理翁，濯龙:两两垂直，再建立如图所示空间直角坐标系，

定义相关点的坐标，用空间向量证明爵声.1..©度.

（2）先设四：Q嚼设出平面平面，为好富的法向量及平面费算算词:的法向量，分别求出二法向量，

再由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的a值即为BiD的值。

18.【答案】（1）解：因为PDJ•平面ABCD,且矩形ABCD中，AD±DC,所以以嬴，嬴，•高翁分别

为x,yz轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyZo

z

设BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(冬,1,0),P(0,0,1),所以褚(t,1,-1),

(一占，1,0),

因为PBLAM,所以菽•就=-§+1=0,所以t=有,所以BC=后。

（2）设平面APM的一个法向量为筋=（X,y,z）由于赤（-/，0，°，则

令*=⑻，得访=（1,2）。

设平面PMB的一个法向量为疏=（xl,yt,?）,贝I」

j期:.谒,=.£必=：Q

&,,腻=再七言；一,靖=◎

令逑=1,得建=9,1，1）.

所以COS（A求）=工=源羽=嗒"所以二面角A-PM-B的正弦值为

【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角

【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解;

（2）呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。

19.【答案】（1）因为修电L底面舄髓电,乱邮号平面黜端D，

所以标第,

又步酉.L..&林，漫密力渺格=我

所以城比L平面源耍格,

而《弑贮平面总立场，

所以平面湃.Cl.平面那豆乃.

（2）由（1）可知，惠历L1.平面.网髅），所以.44窘1.房方，

从而A踹凝"△豳澜,

设匿温=第，卫蜀=也，则嚅=嚼，

即去3=J，

解得*=耳，所以国冷=后，

因为源吐I.底面懒密处

故四棱锥好一■制。的体积为歌=$底&嘱同区1=专・

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体枳，直线与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD,及PB垂直AM,可以证明出疗」,平面漫舟⑥，从而可能

证明

平面网.4椅.1.平面湃理沙；

（2）由连接BD（1）可得.点就M.再磔，证明△激且龙w△点蜃域通过计算，求出高初=4，再用

棱锥体积公式直接得到答案。

20.【答案】（1）存=.4/，◎为密目中点，

:金越0，

'「上◎仁.面.涵山，

面且般＞.1.面图菖四且面.息源面卢仁；总=四必

二上爪!".面馥:劫

.,.皿

（2）以◎为坐标原点，◎矽为r轴，为下轴，垂直◎密且过◎的直线为.《触，

快软荔=一$单-喷状为=

I.费14

[薪■阿=卑与4枭、=受

声:廿调先=◎

（1■--T装片=色

令居=L二的=一脸，.粒=一靠，

.•碣=[—5』「前

面馥惠法向量为贰=也&词,

.'.@1=1，

二彩加=金琢独琢侬=4汽孕;i=i-

歌声醯电=看"除®a"kJ=与'

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向

量求平面间的夹角

【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可；

（2）利用向量法，结合二面角的平面角求得m=l,再根据棱锥的体积公式直接求解即可.

21.【答案】（1）取金9的中点为&,连接昼铢算国

因为@媒，=.解?，@4=侬?，则噩,L点乃，

而箱=X34=漏，故◎尊=招-1'=多

在正方形国或宣龙》中，因为，点恐=?故£&=1，故仁@=鑫,

因为醉:=鼠故般饪2=＜年乎一醒口，故△卷蟀:为直角三角形且©©'.±,©r,

因为醵;^iA0=◎，故8@JL平面做也必

因为蛰小匕平面@3,故平面@的，平面息馥&.

（2）在平面息或宣&内，过◎作◎叶飨都交部:于T,则◎贫._U睡?,

结合（1）中的副◎，_L平面⑧,故可建如图所示的空间坐标系.

Q

则或工或“母理蛇7注故蔻=：（—学区我磅=£一:之®

设平面鳏的的法向量忒=:氐®。

，篇“每您.■=©f-宾*1H±=：Q,,1

则丁,即F，二〃，取鼠=3则拶=1..工=$，

嫁，•・崩・=七卜区+2¥=；Q--&

故1=（1111

而平面@场的法向量为希=在：Q®,故瓷看赢滋=；=f.

二面角国一尊看一-田的平面角为锐角，故其余弦值为J.

【考点】直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角

及求法

【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理，结合平面与平面垂直的判定定理求证即可；

（2）利用向量法直接求解即可.

22.【答案】⑴如图所示，取毋:电的中点浮,,连结重驾龙霜;严富:,

由于总馥曳跣窘圣为正方体，固,Q为中点，故彦更,脏Q

从而叫累口由四点共面，即平面CDE即平面匕a遐凄,

据此可得：直线堂Ch交平面贫④虑于点F,

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点声与点芦唾合,

即点将为明中点.

（2）以点q为坐标原点，然乩至瑞：由玲方向分别为黑轴，飞轴，轴正方形，建立空间直角坐标系

=0*里下茎口，

则：趋虺笑尊£&学<洌14驾就工Q用，

从而：就,=1-^-13Z-丸磅=mQ我磅=fe-15，

设平面上蹬下的法向量为：痹=[Q：单.：至!，贝U：

仲7藐:=->-变斜一次=⑪

1喻"Q.承=r4&1=◎

令的=一）可得：-11

设平面贫塞港的法向量为：于%J,则:

j域”声3=一学与=@

极■•&梨=迤+有3=/

令的=一】可得：磕1=（*@—口，

则：就,磁=舞

，由~歌

整理可得：©—J『=*故笈=$（*=*舍去）.

*"Hi」.«£•

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹

角

【解析】【分析】（1）根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可；

（2）根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.

23.【答案】（1）证明：在△砒：』才中，蹦;=1，右痴=?,々.标:痴=&r，由余弦定理可得

◎诚-鑫，

所以翻/4电合=翻展璇；.由题意志需JL港阻渺您nmy=4：.总邕工＞平

面我⑻需，而湃西仁平面.那皿嚣，所以跋:，国康，又遍‘Q蕊筐"所以金屏」.姆林

（2）解：由料就.|.』£以宜■」.承人才，而收将与.现㈤fl交，所以我以」一平面息馥&,因为

^=杆所以严屈=骂£，取w•身中点沙，连接枭江沙，则或筮固；般融k典域两两垂直，以点.，Mf为

坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，

则布-募之晦巡启3覆:武贰Q®屈算q®笃厩-1泅

又亲为步E中点

由（1）得60._L平面所以平面料现能的一个法向量流=慑1期

【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角

【解析】【分析】（1）通过已知的边，用余弦定理求得DM的长度，再根据勾股定理的逆定理，判断出

或流,_L.砒;，由部;J_,好白，得。（2，平面源阳，切，结合ABIIDC,则有ABLPM；

（2）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量的知识求直线与平面成的角。

24.【答案】（1）以W为原点，息题腐蹂*&生分别为飞飞方轴，建立如图空间直角坐标系，

则或QQ®,喊IQ闾,鼠三Q：⑭戏M3®,就直2®贫:痣Z蜀切灯立士，

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以国22出，M11:：Q3>

所以量,=：①◎•,一绻硬:'=也三或磅=及工：一笺，

设平面用声翻的一个法向量为函=；［当居:国j，

眄：“见费=2,V-+,?居=◎

则令财==则萌=自一胃口,

^^3'=班4爵-羽=◎

因为蔡岁"流=2—2=：Q，所以近著JL瓶

因为及尹喳平面息声的，所以.晓F邓平面息理算y

（2）由⑴得，姿=盘:国，

设直线段:::与平面息声算:所成角为窗

（3）由正方体的特征可得，平面总电公、的一个法向量为前=也-%出，

则,酮薄=繇=金=半’

所以二面角岛一曲翁一龙•的正弦值为疝史磁=$

【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】（1）根据向量垂直的充要条件求得平面段或算1的一个法向量防，再利用向量法直接

求证即可；

(2)先求出M；：,再由此谖联源弑两赢：:孰求解即可；

(3)先求出平面总小料的一个法向量嬴，再由群遍我嬴而布=逆野结合同角三角函数的平方

--局磁

关系求解即可.

试卷分析部分

1.试卷总体分布分析

总分：125分

客观题（占比）28(22.4%)

分值分布

主观题（占比）97(77.6%)

客观题（占比）13(54.2%)

题量分布

主观题（占比）11(45.8%)

2.试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

单选题11(45.8%)22(17.6%)

多选题2(8.3%)