2024届一轮复习人教A版 第6章立体几何第6节立体几何中的向量方法-证明平行与垂直 学案

第六节立体几何中的向量方法——证明平行与垂直考试要求：1．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．2．能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理．一、教材概念·结论·性质重现1．直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)直线的方向向量是唯一确定的． (×)(2)平面的单位法向量是唯一确定的． (×)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行． (√)(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行． (√)(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行． (×)(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行. (×)2．若直线l的方向向量a＝(1，－3，5)，平面α的法向量n＝(－1，3，－5)，则有()A．l∥α B．l⊥αC．l与α斜交 D．l⊂α或l∥αB解析：由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α.故选B．3．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对C解析：因为n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，所以α，β既不平行，也不垂直．4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．垂直解析：以A为原点，分别以A，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M0，1，12，O12，12，5．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是________．平行解析：由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，所以AB＝－3CD，所以AB与CD共线．又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD．考点1利用空间向量证明平行问题——基础性如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)，则EF＝(0，1，0)，EG＝(1，2，－1)．设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则n·EF令z＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量．因为PB＝(2，0，－2)，所以PB·n＝0，所以n⊥PB.因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG.本例中条件不变，证明：平面EFG∥平面PBC．证明：因为EF＝(0，1，0)，BC＝(0，2，0)，所以BC＝2EF，所以BC∥EF.又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC．又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PBC．利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行(1)证明两平面的法向量为共线向量．(2)转化为线面平行、线线平行问题如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．求证：CM∥平面PAD．证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.因为PC⊥平面ABCD，所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°.因为PC＝2，所以BC＝23，PB＝4，所以D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，M32所以DP＝(0，－1，2)，DA＝(23，3，0)，CM＝32设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由DP·n取y＝2，得x＝－3，z＝1，所以n＝(－3，2，1)是平面PAD的一个法向量．因为n·CM＝－3×32所以n⊥CM.又CM⊄平面PAD，所以CM∥平面PAD．考点2利用空间向量证明垂直问题——应用性如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB．求证：平面BCE⊥平面CDE.证明：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，3a，0)，E(a，3a，2a)，所以BE＝(a，3a，a)，BC＝(2a，0，－a)，CD＝(－a，3a，0)，ED＝(0，0，－2a)．设平面BCE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·BE＝0，n1·BC＝0可得ax1令z1＝2，可得n1＝(1，－3，2)．设平面CDE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2·CD＝0，n2·ED＝0可得-ax令y2＝1，可得n2＝(3，1，0)．因为n1·n2＝1×3＋1×(－3)＝0，所以n1⊥n2，所以平面BCE⊥平面CDE.若本例中条件不变，点F是CE的中点，证明：DF⊥平面BCE.证明：由例2知C(2a，0，0)，E(a，3a，2a)，平面BCE的法向量n1＝(1，－3，2)．因为点F是CE的中点，所以F3a2，3a2，a，所以DF＝a2，-3a2，a，所以DF1．利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示2．向量法证明空间垂直、平行关系时，是以计算为手段，寻求直线上的线段对应的向量和平面的基向量、法向量的关系，关键是建立空间直角坐标系(或找空间一组基底)及平面的法向量．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PA＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1)．(1)因为∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，所以C12，32设D(0，y，0)，由AC⊥CD，得AC·CD＝0，即y＝233，则D所以CD＝-1又AE＝14所以AE·CD＝－12所以AE⊥CD，即AE⊥CD．(2)(方法一)由(1)知，D0，23所以PD＝0，又AE·PD＝34所以PD⊥AE，即PD⊥AE.因为AB＝(1，0，0)，所以PD·AB＝0，所以PD⊥AB．又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面AEB，所以PD⊥平面AEB．(方法二)由(1)知，AB＝(1，0，0)，AE＝14设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则x=0令y＝2，则z＝－3，所以n＝(0，2，－3)为平面ABE的一个法向量．因为PD＝0，233，-因为PD∥n，所以PD⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.考点3利用空间向量解决探索性问题——应用性如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．解：在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.证明如下：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则A1(0，0，1)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，E0，1，12，所以BA设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·B所以x＝z，y＝12z.取z＝2，得n设棱C1D1上存在点F(t，1，1)(0≤t≤1)满足条件，又因为B1(1，0，1)，所以B1F＝(t－1，1，0)．而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔B1F·n＝0⇔(t－1，1，0)·(2，1，2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝12⇔F为C1D1的中点．即说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解．若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．(1)证明：由题意知，DA，DC，DP两两垂直．如图所示，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Ea，a2，0，P(0，0，所以EF＝-a2，因为EF·DC＝0，所以EF⊥DC，从而得EF⊥CD．(2)解：假设存在满足条件的点G，设G(x，0，z)，则FG＝x-若使GF⊥平面PCB，则由FG·CB＝x-a2，-a2，z-由FG·CP＝x-a2，-a2，z-a2所以点G坐标为a2，0，0，故存在满足条件的点G课时质量评价(三十七)A组全考点巩固练1．设u＝(－3，2，t)，v＝(6，－5，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(C)A．5 B．6C．7 D．82．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)，则()A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．AP是平面ABCD的法向量D．AP∥BDABC解析：因为AB·AP＝(2，－1，－4)·(－1，2，－1)＝0，AD·AP＝(4，2，0)·(－1，2，－1)＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，则选项A，B正确．又AB与AD不平行，所以AP是平面ABCD的法向量，则选项C正确．由于BD＝AD-AB＝(2，3，4)，AP＝(－1，2，－1)，所以BD与3．如图，F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点．若D1F⊥DE，则有()A．B1E＝EB B．B1E＝2EBC．B1E＝12EB D．E与BA解析：以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，D1F＝(0，1，－2)，DE＝(2，2，z)．因为D1F·DE＝0×2＋1×2－2z＝0，所以z＝1，所以B14．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为()A．(1，1，1) B．2C．22，2C解析：设AC与BD相交于点O，连接OE(图略)，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，所以AM∥EO.又O是正方形ABCD对角线的交点，所以M为线段EF的中点．在空间直角坐标系Cxyz中，E(0，0，1)，F(2，由中点坐标公式，知点M的坐标为225．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________．22解析：连接PD(图略)，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MN＝12PD，又P(0，0，1)，D(0，1，0)，所以PD＝02+-126．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．α∥β解析：AB＝(0，1，－1)，AC＝(1，0，－1)．设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0，即y＝z，由m·AC＝0，得x－z＝0，即x＝z，取x＝1，所以m＝(1，1，1)，m＝－n，所以m∥n，所以α∥β.7．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋257解析：由条件得3+5-2z=0，x-1+5y+6=0，3x-1+y-3z=0，解得8．(2022·江苏徐州模拟)如图，在正三棱锥S­ABC中，E是高SO上一点，AO＝12SA，直线AE与底面所成角的正切值为2(1)求证：AE⊥平面EBC；(2)求三棱锥E­ABC外接球的体积．(1)证明：延长AO交BC于点D．因为SO⊥平面ABC，所以∠EAO即为直线EA与底面ABC所成的角，从而tan∠EAO＝22，所以EOAO＝设AO＝2，则OE＝2，SA＝4，AB＝SO＝23.以点O为坐标原点，与CB平行的直线为x轴，OD所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0,－2,0)，B(3，1，0)，C(－3，1，0)，E(0，0，2)，所以BC＝(－23，0，0)，BE＝(－3，－1,2)，AE＝(0，2，2)．设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，由n·BC=0，n·BE=0，得-23x=0，所以AE＝2n，即AE∥n，所以AE⊥平面EBC．(2)解：由题意知三棱锥E­ABC为正三棱锥，设其外接球的球心为O′(0，0，t)，由O′A＝O′E，得t2+4＝|t－2|，解得t＝－所以外接球的半径2--22＝322，所以外接球的体积V＝B组新高考培优练9．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1A．相交B．平行C．垂直D．MN在平面BB1C1C内B解析：以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝2a3，则Ma，2a3，a3，N2a3，2a3，a，MN＝-a3，0，2a3.又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为MN·10．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3AD＝3AA1＝3，点P为线段A1C上的动点，则下列结论不正确的是()A．当A1C＝2A1P时，B1，B．当AP⊥A1C时，APC．当A1C＝3A1P时，D1D．当A1C＝5A1P时，A1CB解析：如图建立空间直角坐标系，A1(1，0，1)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，B1(1，3，1)，D(0，0，0)，当A1C＝2A1P时，DP＝DA1+A1P＝所以DP＝12DB1，所以B1，AP＝AA1+A1P＝AA1＋λA当AP⊥A1C时，AP·A1C＝5λ－1＝0，所以所以AP·D1P＝-15，35，4当A1C＝3A1P时，D1P＝A1又DB＝(1，3，0)，DC1＝(0，所以D1P＝23DB-13DC当A1C＝5A1P时，A1P＝又AD1·A1所以A1C⊥AD1，AP·A1C＝-1所以A1C⊥AP，所以A1C⊥平面D1AP，D正确．11．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，C1N＝λNC，且AB1⊥MN，则15解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，MC，MA，MP的方向分别为x轴、因为底面边长为1，侧棱长为2，所以A0，32，0，B1-12，0，2，C因为C1N＝λNC，所以N12，0，2又因为AB1⊥MN，所以AB1·MN＝0，所以－1412．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足AF＝λAB(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为()A．12 B．C．35 D．C解析：由题意，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，4，0)，E(4，0，2)，C(4，4，0)，P(0，0，4)，A(0，0，0)，B(4，0，0)，设F(t，0，0)，0≤t≤4，AF＝λAB(0＜λ＜1)，则(t，0，0)＝(4λ，0，0)，所以t＝4λ，所以F(4λ，0，0)，D