3.2.1 单调性与最大（小）值 （解析版）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1《单调性与最大(小)值》分层练习考查题型一用定义判断(证明)函数的单调性1．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于A项，因为在上是增函数，所以对于任意的，（），当时，，所以，，所以，当时，，所以，，所以，综述：，故A项正确；对于B项，因为在上是增函数，所以对于任意的，（），当时，，所以，，所以，当时，，所以，，所以，综述：，故B项不成立；对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立.故选：A.2．已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为函数在上单调递增，且，由增函数的定义可知，当时，有，充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.即对实数，“”是“”的充要条件.故选：C3.已知函数，则该函数在区间上的值域是【答案】【详解】因为，，设，则，，，，即，，即，函数在区间上单调递减；又，，所以，即函数在区间上的值域是.故答案为：4．已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数m的取值范围．【答案】(1)在上单调递增；证明见解析.(2)．【详解】（1）证明：，，任取，可知，因为，所以，，，所以，即，故在上单调递增；（2）由（1）知：在上单调递增，所以，可得，解得故实数m的范围是．考查题型二图象法求函数的单调区间1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（

）

A．是函数的增区间 B．是函数的减区间C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数【答案】C【详解】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上是减函数，D正确，故选：C2．已知函数的图象如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为．【答案】【详解】由图可知，的单调递减区间为、．因为函数在上单调递减，则或，由题意得或，即或．故答案为：.3.已知函数．(1)作出函数的图象；(2)根据图象写出的单调递增区间．【答案】(1)见解析；(2)，【详解】（1）由，作出函数图象，如图，

（2）由图象可知，函数单调增区间为，.4.设函数，若函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】因为当时，均为增函数，故只能为R上的单调递增函数，在上为增函数，在上为减函数，故，当时，，观察图象知为R上的单调递增函数；当时，，均为增函数，且在处，的函数值比的函数值小，观察图象知为R上的单调递增函数；当时，当时，，从图象上看，图象比图象高，故为R上不再单调，所以不合题意；综上：.故答案为：.考查题型三函数的单调性的应用1.已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，可知开口向上，对称轴为，则在上单调递减，在上单调递增，又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2，所以.故选：D.2．二次函数的最大值是3，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】因为二次函数有最大值，所以．又二次函数的最大值为，由题意得或，因为，所以故选：A.3.若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是.【答案】【详解】函数在区间上是严格增函数，则任取，都有，即，由，有，，所以，由，则，即实数的取值范围是.故答案为：4.已知函数过点．(1)求的解析式；(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明．(3)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)在区间上单调递增，证明见解析(3)最小值为，最大值为.【详解】（1）由函数过点，有，解得，所以的解析式为：．（2）在区间上单调递增.证明：，且，有．由，得．则，即．所以在区间上单调递增．（3）由在上是增函数，所以在区间上的最小值为，最大值为.5.已知(1)函数的值域；(2)用定义证明在区间上是增函数；(3)求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)最大值，最小值【详解】（1）由题意，函数，因为，所以，所以的值域为．（2）任取，，且，则，，，，，即，故函数在区间上是增函数．（3）由知函数在区间上是增函数，，．1.函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意,，不失一般性不妨假设，则，所以在上单调递减，又，所以,解不等式得,则正实数的取值范围为.故选：B.2．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（）A．2 B．C．2或 D．0【答案】C【详解】当时，由题意得，则；当时，，则；综上，.故选：C.3.已知，为方程的两个实数根，则的最大值为.【答案】【详解】由题意可知：，解得，且，则，因为在上单调递增，则当时，取到最大值，所以的最大值为.故答案为：.4．对任意，给定，，记函数，则的最小值是.【答案】4【详解】由定义可知当时，解之得，此时，当时，则，解之得或，此时，综上，易知在上单调递减，最小值为4，在取得；在上单调递增，在上单调递减，所以，综上的最小值是4.故答案为：4.5.已知函数(1)用定义证明在上是增函数;(2)若在区间[4]上取得的最大值为，求实数a的值.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）设，则，，，，，，在上是增函数.（2）由（1）知，在[]上是增函数，，解得.6．已知二次函数，，的最大值为16；(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间的最大值.【答