2021届浙江省杭州市高级中学高三年级下册学期高考仿真模拟数学试题解析

2021届浙江省杭州市高级中学高三下学期高考仿真模拟数学试题

一、单选题

22

1.椭圆工+二=1的离心率为（）

49

A.3B.-C.叵D.—

3333

答案：C

根据椭圆方程求/，b；c2,再求离心率.

解：由椭圆方程可知/=9,从=4,所以-层=5,

椭圆的离心率e=£=好.

a3

故选：C

2.已知复数z=l+2i,i为虚数单位，贝lJ」一+-L=（）

z—lZ+l

A34.D34.43-

555555

答案：A

根据复数代数形式的除法计算可得;

解：解:因为z=l+2i,所以---；----=-----；--；T-----;--;=----1-----;

z—/z+zl+2i—il+2i+i1+Z1+3z

l-il-3z

0+i)(j)+(+3i)(l—3i)

\-il-3z34.

-------1---------=--------1

21055

故选：A

x+y>\,

3.已知实数x,>满足则z=2x-y的最大值为（）

”1，

A.-1B.0C.1D.2

答案：D

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标

代入目标函数，即可得到结果.

解：由约束条件画出可行域如图，

化目标函数z=2x-y为y=2x-z,由图可知当直线y=2x-z过点(1,0)时，直线在y轴上的截距最

小，z取得最大值2.

故选:D.

4.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

F—2^2—H

侧视图

C.8D.16

根据三视图知该几何体是三棱锥且一个侧面与底面垂直，再根据椎体的体积公式，即可求出该几何

体的体积.

由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其高为2,底面三角形的高为20，

该几何体的体积为gx，x4夜X20X2=£.

323

故选：B

【点睛】方法点睛：由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点

准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算.

5.设4=｛（*,丫）,=丘｝,B=｛（x,y）|y=j21卜贝ij“一1”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：B

根据Ac3w0,可知方程履=01二T在［；,内）有解，求出人的范围，再根据充分条件和必要条件

判断即可.

解：因为AC8W0,所以产"与y=J2x-1有交点,即方程履=,2x-l在g,m）有解,

所以卜=立亘=71^=『（，_1］+1,所以04女41,

故“-1M"1”是“O"V1”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题的关键是将AcB#0转化为方程依=7^7二T在［；,+8）有解来处理，同

时要注意x的取值范围.

6.已知在盒中有编号分别为1,2,3,4的红色、黄色、白色的球各4个，现从中任意摸出4个球,

则摸出白球个数的期望是（）

12「45

A.-B.一C.一D.一

3333

答案：C

设摸出的白球的个数为x,则x=0,l,2,3,4,再求出对应的概率即得解.

解：设摸出的白球的个数为x,则x=0,l,2,3,4,

所以蛆=0）=乌=好；P（x=l）=^-=—;

G99G；495

「「2）=管嘿;蛆=3卜罟噎

1

尸(x=4)=

12495

所以摸出白球个数的期望是E(x)=Ox〃+lx型+2x当+3x四+4x—!—=&.

994954954954953

故选：C

【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的一般步骤是：(1)写出离散型随机变量的取值；(2)

求出随机变量对应的概率；(3)利用公式求期望.

7.函数y=(M+产品Bsin号的图像大致是()

由0<x<2时/(幻>0,排除B和C；再探究出函数/(x)的图象关于直线x=l对称，排除D.

解：当0<x<2时，sin^>0,所以y=/(x)=(洞+产引卜皿卷>0,故排除B和C；

又/(2一x)=(廨刁+桐卜in旦”=(振刁+桐卜ine=f(x),所以函数fM的图象关于直

线x=l对称，排除D.

故选：A.

【点睛】方法点睛：解决函数图象的识别问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的定义域、值域、

单调性与奇偶性来排除不合适的选项；二是取特殊点，根据函数的解析式选择特殊点，即可排除不

合适的选项，从而得出正确的选项.

8.已知函数/(x)=(x-〃)(x-勿+x,其中0<“<力<1,则下列不等式不成立的是()

A.f(痴<若B.以&)>箍C.D.

答案：B

通过图象，判断选项A,构造函数g(x)=/(x)—x=(x—a)(x—b),判断g(而)<0,判断选项8,

通过比较誓，“力与对称轴的距离，比较大小.

解：/(«)=f(b)=b,且/⑷<〃6),函数是开口向上的抛物线,

如图,

\-0<a<b<\,:.0<a<4ab<b<\且〃

等是点C对应的函数值，一定大于石），即故A正确;

设g（x）=/（x）_x=（%-a）（工一人），

\-0<a<b<\,:.0<a<\fab<6<1,

g^yfah^=f[4ab^-\[ab<0

即/（疝/，石，即B不正确.

/（x）=（x-«）（x-Z?）+x=x2-（a+力-l）x+ab,

对称轴是、=空罗，

学与对称轴间的距离是3，。与对称轴间的距离是伫罗<《，b与对称轴间的距离是

b-a+l1

-2—>2,

那么比较/（学）与/（a）,/（力）的大小，即比较与自变量与对称轴间的距离，离对称轴越远，函

数值越大，即/（等）>”“）=”，/（学卜/伍）=6,故CD正确.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的图象与基本不等式结合的综合应用，本题的关键是理解

并掌握二次函数图象的应用.

9.在数列｛七｝中，加4%了.,n>\,设其前n项和为5“，则下列命题正确的是（）

A.不。一%之10（工2一玉）B.9x,+x10<510<Xj+9x10

^.x.+x,「竹几ri-〃（〃+l）

C・―I-"9-D・若当讨一怎=-则S〃>%+|-----------

2n+\2

答案：D

依题意可得设x,,.「x.=4,,即可判断A,利用特殊值法判断B、C,由

加-%=」7>0，可得卜“｝递增,根据

n+\

一S〃=%+2（w-%）+3（七一工2）+…+“（X”一）+（"+1）（X,用一x“）一（"+l）x„+l即可证明D；

解：解：由茗出44+：*2得七向一%4x,,+2-x“|,设x,用-x“=4，

则44…44，芭。一再=4+&+…+&N94=9（々一可），故A错.

取士=10,玉。=1,知B错，氏=3时,数列10,9,8,7,6,5不满足,知C错.

对于D,由斗+i-4二上；〉。，知｛4｝递增，%,<xll+l

-Sn=x,+2（x2-x1）+3（x3-x2）+---+n（xn-x,.,）+（«+l）（xn+l-xn）-（n+l）x„+l

・-z•、n（n+1）

=x\+1+2+・・・+〃一（〃+1）为向<----町用

所以S〃>九J,」-约詈，知D正确；

故选：D

10.正2021边形A4…4⑼内接于单位圆0,任取它的两个不同的顶点A，A,,构成一个有序点

对（4,4）,满足I两+砥IN1的点对（A，a）的个数是（）

A.2021x673B.2021x674C.2021x1346D.2021x1348

答案：C

先通过向量模的运算公式，可以计算出cosez-；,即，4多，既可以得出答案.

解：|弧+西f=2+2cos，21,cos”，所以弧，西■的夹角不超过~,对于任意给定的0At，

27r27r—>._

因为年+蠢=673.66,满足|。4,+。43的向量04的取法共有673x2=1346,再让丽国起

来，可得点对（4,A）的个数是2021x1346,

故选:C.

二、填空题

11.在三棱锥。-ABC中，AABC是边长为2的等边三角形，DA=DB=0，二面角D-AB-C为

120°,则三棱锥。-A8C外接球的半径为.

答案：—

3

取的中点E,连结CE,DE,找到二面角O-AB-C的平面角，根据球心。与三角形外心连线

垂直于三角形所在平面，再结合勾股定理，即可求出三棱锥O-ABC外接球的半径.

取A8的中点E,连结CE,DE,又DA=DB,CA=CB,所以£>E_LAB,CEA.AB,

所以NCE£>为二面角的平面角，又二面角D-AB—C为120,所以NCEZ)=12(T,

因为DA=DB=亚,AB=2,所以AB?=+台。?，所以A£)J_£)3,

所以为直角三角形，在平面8co内过E作OE的垂线，则该直线垂直于平面A8£),

设AABC的外心为。-在平面88内过。1作CE的垂线，设两垂线交于。，则。为三棱锥O-MC

外接球的球心,

又NCED=12(T,0E1ED,所以NOEO|=30,又CE=4CA-缶==/,

又在R/AOQE中，0、E=；CE=*,所以。。=0Etan/OEa=gtan30=；,

在MA0«C中，cq=|cE=¥，所以0C=1℃2+00；=Jg+g=半,

所以三棱锥D-ABC外接球的半径为巫.

3

故答案为：

3

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确找出球心的位置，通过勾股定理计算出求的半径.

12.设函数y=sinm在上"+1］上的最大值为例⑺，最小值为N⑺，则M(f)-NQ)在14鹏(上最

大值为一.

答案：1

-391「391(E

依题意可得函数在上单调递减，则山+1仁：三,所以M«)-N«)=-cos:+三，即可

|_22」|_22」<36；

求出函数的最大值；

解：解：函数y=sin?的周期为6,函数y=sin^在上单调递减，

JJL//_

当3时7，山+1仁「仁3/9一

“/、―/、.7t.4«+1)(乃f乃、.(乃、(7tt7l\

=sin----sin-------=2cos---F—sin---=-cos——+—

33I36Ji6JI36)

因为所以耳wgf+Ewf,所以一14cos+

223363\3oy2

所以gwM⑺-N(f)41

当时取最大值1

2

故答案为：1

13.在四边形ABCD中，已知A(-l,()),8(2,0),ZABC^2ZBAC,\DB\=2\DA[,若C,D两点关

于y轴对称，则|cq=

答案：3

2k町即告/备卜2皆=。，整理即可得到△■的

设C(x,y),依题意可得心c+匚志

顶点C的轨迹方程，由|OB|=2|D4|,设。(x,y),求出。的轨迹方程，再将D的轨迹方程沿y轴翻

折得到(x-2)2+V=4(ywO),与双曲线求交点坐标，即可得解;

解：解：设C(x,y),(x>0),由ZABC^2ZBAC得tanZABC=tan2NB4C,

/w2tanZ.BAC

tanZABC=------------

I-tan2ZBAC

2kAe

当点C在x轴上方时，tanNBAC=Kc，tanNA8C=-⑥c，故有一心c=

l-Rc

-2^

当点C在x轴下方时，tanABAC=-^,tanNABC=k,故有k=c

ACHCBCl-"；c

2k

两者都有软c+匚嚣=0,所以原c(l-6c)+2怎c=0

2

则十.「)广+2,W=°'化简得一一［=1

(X+l)2

2

^ABC的顶点C的轨迹方程为x2-^-=\(x>1)

由|O8|=21DAI,设wJ(x-2)2+V=2j(x+l)2+V,得点D的轨迹方程为

(x+2)2+y2=4(y*0),把圆(x+2)?+/=43*0)沿y轴翻折得到(x-2)?+y?=4(>*o),与

2

x2-^=l(x>l)联立消元y,得到(x-2)2+3/-3=4

解得x=T或x=-；(舍去)，所以1。1=3

故答案为：3

三、双空题

14.已知数列｛《,｝满足S“=2%-1,则《=,S“=.

答案：12--1

利用an=5„-5„_,求通项公式，再求出Sn.

解：对于S〃=24—1,

当n=l时，有S]=2a1T,解得：ax=1；

当心2时，有S“T=24T-1,所以a,,=S,—S,i=2a“-l—（2a“T-l）,所以&=2,所以数列｛叫为

an-\

等比数列，a=a,q'-'=T-',

所以S“=匕==2"-1.

“1-2

故答案为：1,2"-1.

【点睛】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由5,求应；④由递推公式求

通项公式；

（2）数列求和常用方法：

①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法.

_,.7CIj.।_TC|1rt

15.己知—.71,则5巾[2工一彳）=],则cos2x=,tanx=.

答案：T一及

首先利用诱导公式，计算8s2x；根据cos2x=-g,构造齐次方程，求tanx.

解：sin（2x-']=-cos2x=g,所以cos2x=-g,

c2-2cos2x-sin2xl-tan2x1

cos2x=cosx-sitrx=——---------=----------=——,

cosx+sinxl+tanx3

TT

解得：lan2；r=2,因为xe，

所以tanx=->/2.

故答案为：-;—\[2

34

16.设（x—1）（2+1月=4+qx+〃2必+a^x+a4x,贝IjaQ=.a]+2al+3%+4%=.

答案：-827

令x=0,求*；首先对等式两边求导数，再令x=l求和.

解：当x=0时，（-1）x2?=%,所以%=一8；

3

对等式两边求导，得（2+X），+（x-l）.3（2+x『=4+2/72%+3%丁+4«4x,

23

化简得6+2a2x+3a3x+4a4x=（4x-l）（2+x）~,

当x=1时，4+2a2+3%+44=3。=27.

故答案为：-8；27

【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理系数和的问题，本题第二个空的关键是，需对等式两边

求导，再赋值求和.

17.有3个少数民族地区，每个地区需要一各支医医生和两名支教教师，现将3名支医医生(1男

2女)和6名支教教师(3男3女)分配到这3地区去工作，

(1)要求每个地区至少有一名男性，则共有种不同分配方案；

(2)要求每个地区至少有一名女性，则共有种不同分配方案.

答案：324432

(1)使用间接法求解，先计算对立事件至少有一个地区全是女性的分配方案，再计算所有分配方

案即可求解问题；

(2)使用间接法求解，先计算对立事件至少有一个地区全是男性的分配方案，再用总方案相减即

可求解结果.

解：(1)要求每个地区至少有一名男性的对立事件是至少有一个地区全是女性的分配方案有

=6x6x6=216，

每个地区需要一各支医医生和两名支教教师的总分配方案有闻=6x15x6=540

所以要求每个地区至少有一名男性的分配方案有540-216=324；

(2)有一个地区全是男性的分配方案有窄⑷=3x6x6=108

所以要求每个地区至少有一名女性的分配方案有540-108=432.

故答案为：324,432

【点睛】组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补

足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.

四、解答题

18.在“ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知沙&118-40114=0$山4.

(1)求证：B-2A；

(2)若“ABC是锐角三角形，求誓的取值范围.

sinC

答案：(1)证明见解析；⑵

(1)由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到a=c-ZwosB,再利用正弦定理将边化角得到

sinA=sinC-2sinAcosB,即可得至IjsinA=sin(3-A),从而得证；

(2)由(1)可知C=»-3A,再根据三角形为锐角三角形，得到角A的取值范围，则

sinA1nr.—।sinA-山+卬

—^7J-，即可求出的取值范围；

sine3-4sinAsinC

解：解:(1)由bsinB—々sinA=csinA得。=ac

由余弦定理。2=/+《a一2accosB，

代入b*2—a2=ac得ac=c2—2〃ccosB,

则Q=C-2QCOS8

由正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB

所以sinA=sin(A+3)—2sin4cosB,得sinA=sin(B-A)

由从一〃2=加>0知…,故3>A,

所以A=8—A或4+(8—A)=万(舍去)

所以8=2A

7TTT77*7T

(2)由(1)可知C=%—3A,由0<A<上,0<2Av生,0<4一34<生得一<A<一,所以

22264

1.人加

—<sinA<—,

22

sinA_sin_sinA_sinA

sinCsin3Asin(A+2A)sinAcos2A+cosAsin2A

_sinA_1

3sinA-4sin3A3-4sin2A

因为,<sinA<①，所以!〈sir?A<[,l<4sin2A<2,1<3-4sin2A<2,所以!~.<1,

224223-4snrA

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化

边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用

基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

19.如图，四棱锥尸―A3C。中，底面A8CO为菱形，4?=4)=2,ZABC=60°,平面ABC。,

PA=6.

jR

33

(1)点E在线段PC上，PE=]PC,点F在线段PD上，PF=-PD,求证：PC,平面A£尸:

(2)设M是直线AC上一点，求CM的长，使得MP与平面PCD所成角为45。.

答案：(1)证明见解析；(2)皿=2或。加=14

26

方法一：(1)根据题意，在中，由余弦定理得AE=方,进而得在APCD中,

由余弦定理cosNCP力=：,进而在中，由余弦定理得E尸=言，故PELEF,进而「。_1平

面AE尸：

3h

(2)设CM=。，点M到平面PC。的距离为〃，由VP_ABCD=得〃=二万〃，进而由sin450=—

2yJ6PM

得/-16a+28=0,解方程即可得答案.

方法二：以A8所在直线为x轴，以AP所在直线为z轴建立空间直线坐标系利用坐标法证明.

解：法1：(1)因为PAL平面ABCD,PA=6

所以上4J_AC,

因为底面ABC£＞为菱形，AB=AD^2,NABC=60。

所以PC=V7,cosZAPC-

V7

33

因为=所以哈万,

小+2_2.小362上

所以在△ME中，由余弦定理得,AE=万万二石

所以4炉+㈤=PA?，即PE_LAE,

所以在APCO中，由余弦定理cosNCPQ=2.",正=VPF=5PD=5^

所以在&PEF中，由余弦定理得EF2=PE2+PF2-2PE-PFcosZCPD=—,

因为P£2+EF2=尸产2,所以PELEF

又AEcEF=E,所以PC_L平面AEF

(2)C0=a,M

设点到平面PCD的距离为/?,则由VP.ABCD=VM-PCD

；x2xaxsin60°x#=；X2X>/7xsinNPCDxh得八=高^<1,

3

h—i=a

所以sin45。=丽，即sin45°=/2瓜,/-16〃+28=0

J(2-«)2+3

解得a=2或。=14

从而得M点与A点重合或在AC的反向延长线上，则得CM=2或CM=14

法2：(1)以A3所在直线为x轴，以AP所在直线为z轴建立空间直线坐标系

则8(2,0,0),C(l,6,0),D(-l,V3,0),尸(0,0,币)

PC=(1,V3,-A/3),PE=-PC=

7

AE=AP+PE

所以PCLAE

PD=(-1,j3,-j3),PF=^3PD=-(，乎

5

—>—>—>IA—»F-P—>C=O

AF=AP+PF=1555J

所以PC_LAF

又AEcEF=E,所以PC_L平面AEP

(2)DC=(2,0,0),DP=(-2,0,V3),BC=(-1,73,0),加=(-2,0,6)

t\2xx=0-

设％=(Xi，y“zJ是平面PCD的一个法向量，则\._"丫+小_0，得4=(0,1,1)

公=(1,石,0)，设A力=/lAb=(4G2,0)，

所以*=(464-石)，

因为MP与平面PCD所成角为45。，

所以,山45。=巴==粤.

2

\PM\-\n｝\V4A+3-V2

解得2=0或2=-6

从而得M点与A点重合或在AC的反向延长线上，则得CM=2或CM=14

【点睛】本题考查线面垂直的证明，根据线面角的大小求距离，考查逻辑推理能力，空间想象能力,

运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用余弦定理求解距离，进而根据勾股定理得

PELAE,PELEF,进而证明.

20.已知数列｛4｝满足；q=l,4“|=网,,+厂%.

(1)若q,a2,%成等比数列，求q的值；

(2)若|q区1,求证：同43-赛.

答案：(1)q=_；(2)证明见解析；

(1)首先表示出的，生，根据等比中项的性质得到方程，求出。即可;

⑵依题意可得1%|-㈤。U,再根据㈤=(|。“|-|%1)+(1*1-卜〃-2|川・,+(同-同)+|4|，

利用错位相减法求和即可得证；

KEI111(1

解：解：(1)q=1,。2=一万+夕，%=]+q〃2=/+4一耳+。

因为49，%成等比数列，所以只=4%

则(一；+,)=g+g(_g+')'解得夕=一；

(2)由⑷<1,得以|=眄+号如|+备4⑷同+4同+/

所以旧一卜同4〃[£],所以当心2时,

㈤=(同-*)+(|1|-院2|)+…+(同-图)+同

~^+2{?)+…+QL2)[£|+(〃-1)出+同

设S=；+2(£)+...+(〃-2)[；)+(〃-1)出①

则京=出+2.(£|+…+(〃一呜+(〃一呜)②

由①一②得

京卷+排出+…+口-(…cm-(〃-呜)

所以S=2_2(g)_2(〃_l)(g)

|a“|4S+M=3_^^

【点睛】数列求和的方法技巧

(1)倒序相力口:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.

(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和.

(3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.

21.如图，己知G：(x-l)2+(y+l)2=:和抛物线G：x2=4y,P(%,%)是圆G上一点，M是抛物线C?

上一点，F是抛物线C2的焦点.

(1)当直线PM与圆Q相切，且|PM|=|FM|时，求』的值;

(2)过P作抛物线C?的两条切线瓦PB,AB分别为切点，求证：存在两个号,使得面

积等于哈

13

答案：(1)/=］或%=］；(2)证明见解析.

(1)焦点F坐标为((),1),设利用圆的切线长公式、抛物线的定义建立方程求解即得;

(2)设「(%,%),设直线PA、P3的斜率尢、右，由与抛物线相切求得好-¥()+%=(),

斤；-%2工0+No=。，知仁，%2是方程二-依)+No=。的两根，得到匕+&=工0,41&2=%，求得切点坐标

A(2%,2：),B(2e,抬)，得到直线AB方程并化简整理为y=利用已知面积得到

2

片-4%=3,与(x0-l)+(%+=；联立得(%-1)&+*+19/-13)=0,然后利用零点存在定

理判定解的个数即可.

解：⑴焦点F坐标为(0,1),设M,，子)，则|加|=，(/一1)2+(?+1］_；，

由抛物线定义，M到焦点距离等于到抛物线准线y=-l的距离，

所以1fMi4+1,由得鼠—1)2+21

_4+1

44

所以“；或";所以或Mg尚

13

此时户用与准线y=T垂直，所以%=Q或%=5；

(2)设则(%-1>+(%+1)2=；,

设直线方程为卜%=4(%-%)，代入/=4丫,

得x2-44x-4(%-4%)=0,A=166+16(%-匕/)=0,

整理得将一匕%+%=0①，

同理，直线PB方程为y-%=与（x-Xo）,有心-&%+丫0=0②，

由①②知，KK是方程二-5+%=0的两根，

所以占+&=%无他=%，

由切线意义知，在幺-4白-4（%-柩0）=0中，4+4=秋，则4=2占

所以A（2。6），同理川2网,后）水阳:等圭=&孕

直线A8方程为y-好="&（x-2幻即y=怨Lx_左他即y=，x-%

I4例=|2仁-2可=7^-WkJ-43=J47^.好4%

喉,为）到直线AB的距离d=卜厂4Kls=总.训，=乂（芯-44=孚

所以片-4y0=3,与（x0-叶+（为+咪=；联立得（两-1）（£+x：+19%-13）=0

所以%=1或片+片+19%-13=0,设〃为）=片+片+19%一13,显然/（，<0,〃1）>0,/（|）>0,

又“X。）在上递增，所以〃为）=玉：+片+1班一13在停1）上有唯一零点

所以存在两个%,使得△PAB面积等于延.

2

【点睛】本题考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，面积问题，零点个数问题，难度较大，其

中利用圆的切线长和抛物线的定义建立方程求解是第一问中的关键；第二问中关键点由同构方程

k--kxx0+y0=0,k1-k2x0+y0=0,知匕，为是方程&?-1+%=。的两根，从而得到

k,+k2=xa,ktk2=y0;利用零点存在定理判定三次函数在给定区间上的零点个数问题.

22.设/（x）=e"-l+gx2,xeR,证明：

14

（1）\+x+—x2<ex<-1+----,XG|0,1］；

22—x

19|2

（2）若正实数/满足一4/（X。）<,则必有-<x<,«eN*.

nn+\〃+10n+2

答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析:

(1)设g(x)=e*-gx2-x-i,求出函数的导函数，利用导数说明其单调性，即可得到-同9+»1,

4

而1+——ox+2+(x-2)/20,设/2(x)=x+2+(x-2)eF£[01],利用导数研究函数的单

2-x

调性，即可得证；

29

(2)由(1)知./>XQ4-XO,当f(xo)<时,即XQ+XQ0,构造函数

g(x0)=x：+x0-2，欲证x°4三，只需证8(—2彳匕0,即可得证；又由(1)知

〃%)4-2+设p(x°)=-2++根据函数的单调性欲证x02一1,只需

z-zz—x0Zn〃+]

解：证明：(1)设g(x)="-gx2-x-l,则8，(幻=6*一工一1,

当X£［0