2021届高考数学名校模拟题汇编02 数列（3月刊解答题）（新高考地区解析版）

专题02数列(解答题)

试题精选

1、(无锡市2021届高三年级下学期教学质量检测试卷)在数列｛4｝中，q=2,。/,㈤=2%-1.

(1)求证：数列二，是等差数列，并求｛4｝的通项公式；

I/-1J

(2)求数列的前n项和S”.

|4〃yJ

2Q”一1

【解析】(1)•••a.。”"=2%-=-1—.................................1分

%

1,1

且—7=1所以，数列《——；卜是等差数列，且首项为1,公差为1,

2、(华附、省实、深中、广雅2021届高三年级四校联考)(本小题满分10分)

已知正项数列｛aj满足％=1,«„_I-an=a,,a,i，(〃N2),等比数列｛勿｝满足：a2=4也-4=%.

(1)证明数列是等差数列，并求数列｛%｝,｛〃,｝的通项公式；

hbb

(2)设(=,+—+!<+。，求7；.

anan-\a\

【解析】：(I)•••｛%｝各项为正，且。,1一%=44,1，(〃22),；.」....-=1,(»>2).

1,

是公差d=l,首项一=1的等差数列.............2分

a,

............3分

设等比数列｛2｝的公比为q,则白=:，h一4=伪（“一d）=；

2o

故4—d=解得夕=:.故a=仿=：.............5分

fb,"狂bnnn-\n-21

(2)(二一+―+K+—=不+^-+-^+…+万・①

anan-\4]2222

cen-1〃-21八

2骞=〃+-^-+-^~+…+而,②............6分

②一®:1=〃—(；+(+*+…+备+/)・............8分

2

3、（江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试）（本小题满分10分）

设正项数列｛q｝的前"项和为S"，2S,=a；+

（1）求数列｛《,｝的通项公式;

,e11

(2)求证：X_"2---[＜不・

片4+.-12

【解析】（1）当九=1时,由2S”=a”2+z,得m（m—]）=0.

因为正项数列，所以0>0,所以。i=L

因为当〃21时，2Sn=a,?+an,....................①

2

所以当稔2时,2Sn-i=an-[+an-\,................②

2

①一②，得25/：—2Sn-\—at?—an-\-}-an—an-\

即2an—a,-]2+斯-〃,

所以4〃+a,Li=3〃+a〃i）（a〃-a”i）.

因为数列｛所｝的各项均正，所以小+小—>0.

所以当栏2时，an—a,i-\=\.

故数列伍〃｝是公差为1的等差数列.

故数列｛〃〃｝的通项公式为a,i=n.

（2）因为错误!=错误!=错误!=错误!（错误!—错误!）,

故｛错误!=错误![（.错误!）+（错误!一错误!）+…+（错误!一错误!）『错误!（1—错误!）＜错误!

4、（江苏省2021届四校联合第三次适应性考试）（本小题满分12分）已知数列｛册｝的前n项和S“满足

(nN").且

2S„-nan^3ns

（1）证明：数列｛«“｝为等差数列，并求其通项公式;

（2）设么=“扬二+”疯,刀,为数列｛2｝的前0项和，求使7；＞余成立的最小正整数n的值.

【解析】：（1）由2S”一〃。“=3〃①可得，

当"N2H寸，2S“_i一（〃-1）。"_1=3（〃-1）②，

①一②得，（〃-1）%_1=3（〃22）,

所以当〃时，

23（“-2）an_2—（/1—3）a“_|=3，

所以（八一2）q,=（"-2）a“_2一（”一3）4,T,

整理得2a,i=4+%_2（〃23）,所以｛%｝为等差数列.

又2SI-q=3,所以%=3,又々=5,所以生一％=2,

所以％=2九+1（〃eN*）.

,_1=______________1______________

⑵由⑴可得‘产4向+%日"EG卬

=_]-----_,2"+3—＞j2n+l

，2〃+1•，2〃+3（，2〃+1+12rl+3）2,2.+1•42〃+3

仿+3,T国-&+31

所以北=51耳一而十而一万+…+罚

要使*＞立，只需一提=）＞*,

〃10216V2n+3j10

解得〃又MEN*,所以。的最小值为8.

8

、（海门学年第一学期期末测试）已知数列满足

52020〜2021｛an｝

----------+-----------+-----------+…+-----------=-

口

21—5u2^~5ci—25cin—2

（1）求数列｛为｝的通项公式;

（2）设数列，」一|的前〃项和为7；,求

1111n

【解析】⑴罚+—+—+…+—=3①

123n-1n-1

------+-------+-------+・・・+--------=-----②

2al—52al—52%—52。〃_1-53

n13〃+6/、-、

①—②=耳中…丁…

,I1,

在①式中，令〃小二年^产。.，也满足上式

3n+5

・q=M-

]_]_4_4r_J______1_"

(2)44+13〃+53〃+8(3〃+5)(3〃+8)313"+53〃+8,

F2-

74cli11114clin

"3(81111143〃+53n+8；3(83n+8；2(3〃+8)

6、（无锡市2021届高三年级下学期教学质量检测试卷）（本小题12分）设分为数列｛端的前n项和，己知%>0,

«„2+2aL4S“+3；数列也｝为各项为正的等比数列，d=」且仇,4々,2打成等差数列.

8

（1）求数列｛《,｝｛〃｝的通项公式；

（2）若％="/“，n&N\7；为数列｛c,,｝的前"项和，求T”.

【解析】（1）由+2ali=4s“+3,可知+2an+i=4S„+I+3,

两式相减得-a；+2（%+]-％）=4%+],

即2（。“+1+%）=4+1-。；=（。二+。“）（。,用一4）,；4“>。,，4+]-4=2,......................2分

：aj+2q=4q+3,/.at=-1(舍)或4=3,.....................................3分

则｛4｝是首项为3,公弟d=2的等差数列，•••｛《｝的通项公式%=3+2（〃-1）=2〃+1；…4分设数

列也，｝公比为g,则g>0.由题意可知:伪+2%=池，

即8/—24—1=0,.“=5或一7（舍）•…5分

又d=1.•・3=1，•,•吼｝的通项公式为切

6分

8

(2)%=a/.=(2〃+l)()"T7分

3572/?-12/7+1

所以北=%+万+齐+…十232+2"""]

13572〃-12〃+1

-T="rH—y—rH-------1"-------i----1------------8分

22122232'i2"

1__L.

由讨汨322222〃+12”T2.+1

相减得耳北二牙牙+齐+…+声一_F_3F-10分

~2

化筒得Z,=10—空言

12分

7、（如皋2020-2021学年度高三年级第一学期期末教学质量调研）已知数列｛«„｝的前〃项和为S,,,首项6=1,

“=2S”+1.

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

（2）设a=〃4,记数列也｝的前〃项和为7；，是否存在正整数〃，使得北=2021?若存在，求出〃的

值；若不存在，说明理由.

【解析】（1）由S,用=2S.+1①

知〃N2时，S.=2S,_1+1②

①-②na„+i=2an（w>2）

在①式中令〃=1=>%+。2=2al+1=>a2=2,==2

a\

..•对任意〃eN*，均有肾=2,为等比数列，%=1,2"T=2"T

（2）b“=n-2"T

7；=l・2°+2・2i+3・22+…+(〃—l>2"-2+〃.2"T①

27；,=，2\2・22+…—2>2”2+(“—i>2"T+"-2”②

①-②nZ,=1+2,22+…+2，1一”.2"=1"2)一"？"=2"一1—〃.2",

"1-2

(=(“—1)2'+1

令(〃—1)•2"+1=2021=-1)•2"=2020

显然｛(〃一1>2”｝关于“在〃21上口，(«-1)-2"-2=505

当〃=2时，显然不成立：当〃之3时，左边为偶数，右边=505为奇数矛盾，舍去，故不存在.

8、(扬州区域2020-2021学年第一学期期末考试)已知数列｛斯｝的前〃项和S“=-a"一(，)"I+2(〃WN*),数

列｛a｝满足b”=2"a".

①求证：数列｛d｝是等差数列，并求数列｛〃“｝的通项公式；

nn+1124

②设。尸2〃〃—4〃+1—，数列｛金｝的前〃项和为T〃，求满足7；〈而■(/1EN*)的〃的最大值.

【解析】①:Sn=一期一Q)"।+2(〃£N"),

当n>2时，S“i=一如|—Q)"?+2,

//1

/.an=5；j—5/j-1=—an+an-\+f2)»

化为2〃〃〃=2广匕一+1,

n

■:bn=2a,i,:.bn=bn-\+l9

即当后2时，bn—bn-\=lf

1

令〃=1,可得Si=­a[-1+2=〃|,即。1=1

又6]=2m=l,

・・・数列｛仇｝是首项和公差均为1的等差数列.

n

于是。〃=1+("—1),1=〃=2"々〃，・•・〃〃=».

2”-1

=2U-2/?i'—1

124

由，〈■豆可得2山<64=26,〃<5,

••♦“WN*,，〃的最大值为4.

9、（山东烟2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断）已知数列｛凡｝是各项均为正数的等比数列，其

13

前〃项和为5〃，q=l,S2=—

y

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）令2=（2〃+1）/，求数列也｝的前〃项和T”.

【解析】：（1）设数列｛。“｝的公比为4,

于是S3=4(1+q+/)=1+q+q2=挤

14

解得4=7;或4=一7，

33

因为4>0,所以q

3

所以见=击，

72〃+1

（2）由（1）可得,"一3"-1，

572〃-12〃+1

4=3+丁宇+•••+

352〃-12/1+1

—I——+…+-----+-----------

3323〃T3"

222212/1+1

两式相减可得，§（=3+

3323W-1)3〃

2__2

2+1

_313-F»

1---3"

3

/12/1+1

3'i3”

所以q=6_竽

10、（连云港市2021届高三适应性演练模拟考试）（本小题满分12分）已知数列｛4｝满足

4+2a,+3%+…+=(〃-1)•2""+2(〃eN*)­

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)若a=log%2,则在数列｛〃,｝中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成

等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由.

【解析】：(1)由题意，彳+2%+3/+…+加"=(〃-1>2"M+2,

当〃之2时，4+2a,+3<Zj+…+(〃-=(〃-2>2"+2,

两式相减，得陷,=(〃-1>2向—(〃一2b2",即4=2".

当〃=1时，q=2,也满足上式,

所以数列｛4｝的通项公式=2".

,,c11_1

(2)=log2=---------

flnW

年2anlog22n

=1,bj,显然不适合；

法一：a

-2

=」构成公差为的等差数列；

瓦卷1_1b

适合，即打=王4——，6

366

a=L1=1,=,构成公差为--L的等差数列;

适合，即打=—，包

-334612

bnk

当“24时，假设5，晨1，+(^>2)成等差数列，则2%

入_21_H-1_1

pnb〃+k—2b〃+[hn———

即〃+l〃几+〃〃+2+，，

n-1

2

而当〃之4时，—gN*,所以2+火不是数列｛2｝中的项，所以当〃之4时，不存在连续两项，使之与数

列后面某一项依原顺序成等差数列.

综上,b2,4和外，“适合条件.

法二：仇=1,打=；显然不适合；

当〃22时，设bn,%,bn+k(^>2)成等差数列,则2bx=>+bn+k,

2112

即——=一+——，解得后=2+——.

〃+1nit+kn-\

当〃=2时，k=4,则"=:，4,=:构成公差为一，的等差数列；

2366

当〃=3时，k=3,则仇=L瓦」,%=1构成公差为一」-的等差数列；

34612

2

当〃之4时，—gN*,则左eN*，所以纥+*不是数列｛"｝中的项，所以当〃之4时，不存在连续两项,

使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列.

综上,b2,4和4,“适合条件.

11、（河北省张家口市2021届高三上学期期末考试）数列｛凡｝是等比数列，前n项和为S“，a,=1,

an+i=Sn+m.

（1）求m;

T12n

（2）若（=—+—+…+—，求小

4ai4

（12分）

【解析】：（1）由%+i=S“+m=>a“=S“_|+加..........................................1分

当2时，两式相减，得a〃+i=。“na.+i=2%.

：｛%｝是等比数列，•••4=2q=2..............................................3分

又。2=%+机=2=>机=1......................................................5分

（2）a,=a"'T=2"T,...........................................................6分

„123n

7；-=7+7+F+'"+Fr，

“，1T_123n

得万看=5+了+了+…+才8分

一…11111n,〃〃c〃+2

两式相减，^-Tn=-5-+y+-7+-y+---+—j--—=1•―=--不=?一~-

乙乙乙乙乙乙乙]1乙乙

2

12、（湖北师大附中2021届高三上学期联合测评）（本题满分12分）设数列｛4｝的前〃项和为S”，且

S,,=3a,,—2,（〃eN*）

⑴求数列｛4｝的通项公式;

(2)不等式S“>31,(〃GN*),求〃的最小值.

【解析1⑴由5“=3%—2,当〃=1得4=3q—2,即q=l

当〃22,S,i=3《一一2,于是S“一S,i=(3a„-2)-(3«„_,-2),

即a=3a„-3a,i(〃>2),即枭=二(〃22),

nUn-\2

，neN.........................（6分）

(2)所以S,,=3a,_2=3{g)-2.

⑶243,19,,

由S“>31得>11，-=——=7—<11

<2j3232

.••故〃一126即”27,故整数〃的最小值为7..................（12分）

13、（江苏海门中学、淮阴中学、姜堰中学2020-2021年度第一学期阶段检测）（本题满分12分）

已知数列｛q｝是等差数列，且4=3,%=7,数列也｝的前〃项和为S“，且S,,=l—gd（〃eN）

⑴求数列｛%｝,也｝的通项公式；

⑵记%=anhn,数列匕｝的前n项和为7“，证明:Tn<2.

【解析】：（1）因为数列｛4｝是等差数列，/=3，%=7,

设公差为4,则《二，r，解得4=1，d=2.

q+3d=7

/.a,=Q]+(〃-l)d=1+2(〃-1)=2〃-1...............................2分

对于数列也},—

12

当〃=1时，仄=1一二”,解得伪=一；.......................................3分

213

当n>2时,=Sn-=(1一/J一11一j'

整理得b“=；b,i,即广=：，所以数列也｝是等比数列

2（¥

=-x-=—............................................7分

3（为"

2(2〃-1)4n-2

⑵g=a"b”=

3"3.

••数列匕｝的前〃项和(=>&学+……+4(〃；丁+与Z

.•.37>2+号+竽+4〃一2

+

4444n-24〃-2.4〃+4

两式相减可得27；=2+§+三+……+手才1—---=4-----

3"3”

1-3

“一―竽11分

所以骞<212分

14、(河北省"五个一名校联盟”2021届高三上学期第一次诊断考试)已知等差数列｛.｝的前n项和为S”，若

a1=-8,S&H-35~1•

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)若数列bn=2n+】,求数列｛|a#bn｝的前n项和Tn.

【解析】：(1)由题意，设等差数列｛an｝的公差为d,由题意可知：

6ai+15d+ai+4d=l,其中ai=-8,解得：d=3,

则a»=-8+3(n-1)=3n-l1.

(2)由⑴可知当n=l,2,3时，an<0,|an|=-an,

当*4时,an>0,|aj=an,

当n=l,2,3时，可知：Ti=32,T2=72,T3=104,

当脸4时,可知：Tn=104+a4b4+...+anbn,即：

5

Tn=104+(3x4-11)-2+...+(3n-ll)两边乘以2可得:

6n+2

2Tli=2x104+(3x4-11)-2+...+(3n-ll)-2,

两式做差，整理可得:T„=(3n-14)2+2+264,

’32,〃=1

72,〃=2

综上可得：(='104,〃=3

(3n-14)-2n+2+264,n>4

15、(南通六市2021届高三第一次调研测试联考)已知等差数列满足。“+2。“+]=3〃+5.

(1)求数列｛。.｝的通项公式；

(2)记数列I」一|的前〃项和为S”.若v〃eN*，S<-22+4/1(4为偶数)，求；I的值.

【解析】(1)设等差数列首项为4,公差d

,等差数列a“=q+5-l)d

q+2%=8

an+2an+}=3〃+5,<

[%+2。3=11

m+2(q+d)=814=2

则《，解得：\，,a,=n+l.

[q+d+2(q+2d)=ll[d=l

1111

(2),/a=n+l,------=----------------=---------------

anail+i(n+l)(n+2)n+\n+2

数列，的前〃项和：

l«A+iJ

01111

“a2a3a3a4aan+}

11)=9总

23344556n+\n+2

,**£N*，S<一7+44，£N*，-----------<—尤+44

2n+2

-A2+4/l>i,2/t2-8/l+l<0,4~^<2<4+^

222

v4为偶数，；♦4=2.

16、（江苏省苏州市2021届高三第二学期期初学业质量阳光指标调研卷）（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系X。），中，已知〃个圆Ci,C2,…，C”与x轴和直线/：y=6（x+l）均相切，且任

意相邻两圆外切，其中圆Ci：(x-q)2+(y-伪)2=L(10W",kN*,-1Vn“<…V&Vq=8,b.>0,

>0）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

243

（2）记〃个圆的面积之和为S,求证：SV—乃.

8

【解析】：（1）设直线/与X轴、），轴分别交于点P,Q,

根据题意可知，点C到x轴的距离和到宜线/的距离均为半径,

所以圆心C都在NQPO的平分线y=巫（x+1）±,且4=八

所以也=—^（q+l），则4=-^（4+1）=375,

设圆C在x轴上的切点为46=1,23…），

在和,因为在4|="K-zc/4=30°,

所以|PC.|=C,附“卜〃）句，

因为相邻两圆外切，所以|「。」=|"；”|+匕。.“|,

所以次=如“+（&+“）,即％=$“

所以数列｛2｝是首项为36,公比为;的等比数列，

所以"=34）'叫）:

因为也=g（a.+1）,所以。,=（；）-1（/»eN,）；

（2）如图，记圆C的面积为S，则，=总工，

由（1）可知，4代入上式可得，5=汕：=„"'，

从而这〃个圆的面积之和s=£$,=£243几

~1~

17、（江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试）（本小题满分10分）

设正项数列｛凡｝的前n项和为S〃，2szi=a；+〃〃.

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

qS11

（2）求证：22―7<彳・

,=|«,+4+|-12

【解析】：⑴当〃=1时，由2s“=。”2+%,得—］）=o.

因为正项数列，所以ai>0,所以m=l.

因为当时，2S“=a“2+a”........................①

所以当时，2S"-