2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（十九）

考前30天冲刺高考模拟考试卷(19)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

I.已知集合A=*|-2<%,2},B={X|-1<A;,1},贝lj()

A.4nB"B.BGAC.Ap\dKB=0D.A^d.B^R

2.若存在复数z同时满足|z-3+3Z|=r,则实数f的取值范围是()

A.[0,4]B.(4,6)C.[4,6]D.(6,-H»)

3.已知等比数列{““}的公比q=-2,前6项和S,,=21,则％=()

A.-32B.-16C.16D.32

4.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在

中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗

人黄柏权的《茶壶回文诗》(如图)以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不

论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日

(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期).数学上

把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个(11,22,…，99),则共有

多少个这样的三位回文数()

A.64B.72C.80D.90

2

5.已知片，F2是双曲线G：5-y2=l与椭圆C?的公共焦点，A是G，在第一象限的

公共点，若则椭圆G的离心率为()

A.走B.-C.正D.-

2233

6.已知奇函数y=g(x)的图象由函数f(x)=sin(2x+1)的图向左平移m(m>0)个单位后得

到，则“可以是()

7l~\.一4+1-

A.------B•万—1C.-------D.7T+1

22

7.用平面a截棱长为1的正方体AB8-4与GR,所得的截面的周长记为"?，则当平面。

经过正方体的某条体对角线时，机的最小值为()

A.乎B.下C.36D.2亚

8.已知函数f(x)的定义域为R,且满足了尸(x)-/(x)>l(尸(x)是“X)的导函数)，若

/(0)=0,则不等式，-/(x)<l的解集为()

A.(—,0)B.(0,-K»)C.D.(-1,+℃)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.对某中学的高中女生体重旷(单位：伙)与身高x(单位：cm)进行线性回归分析，根据

样本数据(x,,W2,3,12),计算得到相关系数r=0.9962,用最小二乘法

近似得到回归直线方程为g=0.85x-85.71,则以下结论中正确的是()

A.x与y正相关

B.X与y具有较强的线性相关关系，得到的回归直线方程有价值

C.若该中学某高中女生身高增加出〃，则其体重约增加0.85依

D.若该中学某高中女生身高为160a”，则可断定其体重为50.29依

10.下列四个选项中，化简正确的是()

*兀

A.cos—=-----------

124

B.sin3470cos148°+sin77°cos58°=

2

「万2万4乃1

C.cos—cos——cos——=-

9998

D.tan72。—tan12°=6

1+tan72°tan12°

22

11.已知椭圆C:「+[=13>~>0)的左、右焦点分别为F1、居，左、右顶点分别为4、

a-b-

4，p为椭圆c上异于A、&的任一点，则下列结论正确的有()

A.椭圆C与椭圆C'：4—+4二=1有相同的焦点

a2+\b'+\

B.直线修，尸4的斜率之积为F

a

C.存在点P满足|尸用81=2/

D.若△尸4K为等腰直角三角形，则椭圆c的离心率为弓或亚-1

12.已知向量。=（l,sin。），5=（cos。，亚）（0效眇万），则下列命题正确的是（）

A.4与5可能平行B.存在0,使得团|=|5|

C.当无5=6时，sin6*=—D.当tand=-立时，2与5垂直

32

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设，为常数，若（上-x）'°的展开式中所有项的系数和为1024,贝打=—.

X

14.某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲,

则这3天中恰有2天连排的概率为一.

15.如图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其

中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为30米，两堤岸的连接点A,3间的距离为

300米，则该月牙潭的面积为—平方米.

外堤岸

16.在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,若

Bc

b2+lab+2abcosc=a2+c2则cos~1+cosu-l的取值范围为.

22------

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知AABC内角A,B,C的对边为。，b,c,b=c=4且满足.

®asinB=/?cos（A+—）,（2）sinC-V3sin/?=sin（A-B）,®-~=小。。，',

6acosA

在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题.

（1）求角A；

（2）点P为A4BC内一点，当NBPC=不时，求AZ沪C面积的最大值.

18.已知数列的前及项和为S,,,且6,25”,““成等差数列.

(1)求。“；

(2)是否存在〃?eN*,使得+见4+…+44,+1>6。,”对任意〃wN*成立？若存在，求机

的所有取值；否则，请说明理由.

19.如图，已知多面体P458E的底面A8CD是边长为2的菱形，底面A8d>,

ED//PA,且9=2ED=2.

(1)证明：平面R4C_L平面PCE；

(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为45。，求二面角尸-CE-O的余弦值.

20.张先生到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题，只要正确

回答出三个问题即终止提问，通过面试.根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何

2

一个问题的概率为§,假设回答各个问题正确与否互不干扰.

(1)求张先生通过面试的概率；

(2)记本次面试张先生回答问题的个数为X,求X的分布列及数学期望.

21.已知抛物线y2=2px(0<p<4)的焦点为F,点P在抛物线上，点P的纵坐标为6,且

|PF|=10.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若A,8为抛物线上的两个动点(异于尸点)且"_L4?，求点3纵坐标的取值范围.

22.已知函数/(x)=xe*-(q-l)x(aeR).

(1)若a=2,证明：/(x)..O；

(2)若关于x的不等式/»+LJ(x)恒成立，求实数〃的取值范围.

考前30天冲刺高考模拟考试卷(19)答案

1解：集合A={x[—2<x,2},B=1},

则40|8={幻-1<苍,1}=8,故A错误；

aA={x[%,-2或x>2},

A^B=0,所以故5错误：

务8={x|%,-1或x>l},

=-1或1<%,2}/0,故C错误；

A|J48={x|-2〈遥必}|J{xk-1或x>l}=R,故。正确.

故选：D.

2.解:设z=(x,y),

因为|z-i|=4x2+(y-=1>

所以Z对应点的轨迹是以40,1)为圆心，以r=1为半径的圆，

fNz—3+3i|="(x—3)2+()，+3>表示圆上点到圆外点8(3,-3)的距离，

因为"="(0-3>+(1+3)2=5,

AB-r-4,AB+r=6,

所以4都6.

故选：C.

3.解：•••等比数列{%}的公比9=-2,前6项和$6=21,

•-———=21,解得4二-1,

则。6=-25=-32.

故选：D.

4.解：3位回文数的特点为，百位和个位数字相同但不能为零，

第一步，选百位和个位数字，共有9种选法；

第二步，选中间数字，有10种选法；

故3位回文数有9x10=90个，

故选：D.

22

5.解：设椭圆方程为：二+三=1.a>b>0,则°=石，

a-b-

所以|44|=小，\AF2\=n9由A在双曲线上，有｛,9一，

m2+n2=(2V3)2

可得〃z+〃=4,所以a=2,

所以椭圆的离心率为：^=-=—.

a2

故选：A.

6.解：•••奇函数y=g(x)的图象由函数/(x)=sin(2x+l)的图向左平移风相>0)个单位后得

到，

故8(n)=$山(2*+2〃?+1),:.2m+\=k7r,k&Z,

贝！］m=*,令％=1,可得，7?=?~,

22

故选：A.

7.解：假设截面。过体对角线82，(过其他体对角线结论一样)

如图所示,

因为一平面与两平行平面相交，交线平行，

:.DtE//BF,BEHD.F,且=BE=D、F,

故四边形AEBF为平行四边形,

:.m=2(BE+BF),

设B=x,则G尸=l-x,

/.m=2(Vl+x2+Jl+(l-x)2),

•••“，。为正数时，a+b..2y/^b,当且仅当4=匕时等号成立，

,当J1+.=Jl+(l—x)2即3=；时,加取最小值为：2石，

故选：D.

8.解：因为f'(x)—

所以尸(力_/(*)_1>0.

令g(x)=3，

e

则g，(x)=/''(='-"(x)+3=-。)-1>0,

e2xe'

所以g(x)在R上单调递增，①

又/(0)=0,

所以g(O)=/(O)+l=l,

T7X//、，/(x)+1.

又e_f(x)<1o-―-一>1,

e

即g(x)>g(0),②

由①②得：x>0,

即不等式e'-/(x)<l的解集为(0,田)，

故选：B.

9.解：由于线性回归方程中x的系数为0.85>0,因此》与x具有正的线性相关关系，A正

确；

根据样本数据计算得到相关系数「=0.9962接近1,则样本数据与回归直线方程有较强的相

关性，因此3正确；

由线性回归方程中系数的意义可得回归直线的估计值知，x每增加152,其体重约增加

0.85侬，C正确；

当某女生的身高为160a〃时，其体重估计值是50.29依，而不是具体值，因此。错误.

故选：ABC.

10.解：对于A,cos-=cos(---)=—x+—x+,故选项A错误；

123422224

对于B,

sin347°cosl48°4-sin77°cos58°=一cos77。(一sin58。)+sin77°cos58°=sin(58°+77°)=sin135°=

，故选项5错误；

对于C

,7tn2万4〃1.2%2万47rl.4万4乃1.8万1.71

sin—cos—cos——cos——=—sin——cos——cos——=—sin——cos——=-sm——=-sm

999929994998989

所以COSqCOS^COS^ng,故选项C正确；

对于。，9n72=an12：=一⑺。_12。）=tan60。=百,故选项。正确.

1+tan72°tan12°

故选：CD.

11.解：对于A,片+1>后+1,a2+1-（/?2+1）=«2-b2.「•椭圆。与椭圆

22

C'：T^+亶二=1有相同的焦点，故正确；

/+1b2+\

,•>2>o

对于B,设P（〃M）,贝次=与（/-病），直线班，隗的斜率之积为少==一勺，故

am~-a~a-

错；

对于C,设于犯〃），则|牛||尸玛|=（。一刖）3+的）=足-02病,,后,故不存在点「满足

\PFt\-\PF2\=2a\

对于£）,当「耳，尸居时，b=c,则a=J5c，则椭圆C的离心率为正，

2

当尸耳，的玛B寸，—=2c,即。2+2双一/=0，“2+26-1=0，e=&-l，故正确.

a

故选：AD.

12.解：若&与5平行，贝hinOcose=0，即sin29=20不成立，即口与5不可能平行，

故A错误，

若|1|=|51,则yj[+surd=4cos'0+2得1+sin20=cos20+1>即cos。sin20—cos2。=1,

此时。存在，故3正确，

cosd+^sin。),

若无5=g，贝Ijcos

设sin°=&COS(P=—j=则cos6+0sin6=Gsin(，+夕)=G,

v3

7T

则sin(夕+0)=1,即6+°=2kjr+—,

jr

*：滕1J97t,「.攵=o时，e=—(P,

2

0一"

贝ijsin6=cose=73=T,故c正确,

tan".?sin6=一旦os。

当时则则

2

ab=cos+V2sin=cos+>/2x(----cos0)=cos0-cos=0,则力与5垂直成立，故

2

D正确,

故选：BCD.

13.解：令x=l代入二项式可得:(f-1尸=1024,

所以—1=12,则f=3或—1,

故答案为：3或-1.

14.解：从5天中选3天的所以选法有C；=10种选法，

这3天中恰有2天连排的情况有124,125,235,134,145,245共6种选法，

故3天中恰有2天连排的概率尸=4.

故答案为：!3

15.解：连接他，作AM的垂直平分线，交A5于点交两段弧于点P、Q,如图所示:

外堤岸

设内堤岸弧所在圆心为O,则AB=30夜米，04=30米,

在RtAAOM中,如NA。/:呼=也'

302

TT7T

所以NAOM=JZAOB=-,

42

所以月牙潭的面积为：

S=S半圆一5弓形=2.乃.-f--^-302--x30x30^(225^-+450)(平方米).

故答案为：225万+450.

16.解:HZ?24-2ab+2abcosc=a2+c2,

整理可得2ab(l+cosC)=a2+c2-b2,

所以由余弦定理可得2ab(1+cosC)=2accosB,

所以仇1+cosC)=ccosB,可得sin8=sinCcos8-sin3cosC,

可得sinB=sin(C-B),

77TT

因为0<C<-,

22

所以3=C-B,可得C=2B,

又因为AABC为锐角三角形，

。〈吟

TT，日

所以<0<。=28<一—可r得二7<3r*<二%,

264

0<A=^-3B<-

2

所以<cosB<—，

22

T7B公2BC1+cosBn13cosB-l

又因为cos——FCOS1=-----------+cosB-I=-------------

2222

后N3夜-2.n136-2

所以------<3cosB-\<-----------,

22

,,e372-23cosB-l3丛-2可得c若+c若7的取值范围为凶|二

424

3>/3-2

■),

故答案为：（坦心，3^-2

)

17.解：选①asinB=bcos(A+2)，

6

TT

由正弦定理得sinAsin3=sin3cos(Ad•一),

6

因为sinBwO,

所以sinA=cos(A+—)=-^cosA--sinA,

622

即tanA=—，

3

因为A£(0,万)，

rr

所以A=J;

j^(2)sinC-5/3sin^=sin(A-B),

所以sin(A+8)-Gsin8=sin(A-B),

所以sinAcos8+sin8cosA—6sinB=sinAcosB—sin8cosA，

即2sinBcosA=y/3sinBf

因为sinBwO,

所以cosA=—,

2

因为从£(0,乃),

所以A=g;

6

选③2c-y/3b_gcosB

acosA

由正弦定理得2smC-氐m2=旧cosB,

sinAcosA

整理得，2sinCcosA=GsinBcosA+gsinAcosB=8sin(A+8)=GsinC,

因为sinCwO,

所以cosA=，

2

因为A£(0,4),

所以A=g;

o

(2)由余弦定理a?=/J2+C2-2Z?CCOSA=16+16-2X4X4X^-=32-16>/3,

ABPC中，由余弦定理得

24

=8尸+PC--2BP-PCcos—=BP2+PC2+BPPC..3BP-PC,

3

当且仅当3P=CP时取等号，

所以8Ppe,,《，

3

c_1即”-211/68G

SABPC=-BP-PCsin—,,-x—X—=-----4zi>

ABPC面积的最大值座-4.

3

18.解:(1)数列｛4｝的前"项和为5”,且6,2S„,%成等差数列.

故4S〃=6+。〃①，

当〃=1时，解得％=2,

当儿.2时，4S“_]=6+。〃_1②，

①一②得：—=-1(常数)，

an-\'

所以数列｛《｝是以2为首项，-g为公比的等比数列；

所以a“=2x(-g)i.

2

(2)由(1)得：anan+t=4x(-l)"-',

所以

11I(-;)x(1-J)1

%%++…+向=4X+(―§)3+…+(--)2w-']=4x」~~>12x,

-9

311

所以W(1-5)<(-§)'"2对任意的〃WN恒成立.

由于且〃f+00时，

1a

所以(_$-2.3,故切为偶数，

38

当〃z=2时成立，

当机.4时，(-1r2„1,

故m=2.

19.证明：(1)连接班),交AC于点O,设PC中点为产，

连接OF,EF,-：O,尸分别为AC,PC的中点，

：.OF//PA,SLOF=-PA,

2

-,-DE//PA,且=;.OFHDE,且OF=OE.

2

..四边形OEED为平行四边形，.•.QZ)//£'F,BPBD//EF.

♦.♦以!.平面/WC£>,8£>u平面4?C£>,:.PALBD.

•.♦筋8是菱形，.・.80_147.

••,卓。AC=A,3。_L平面PAC.

BD/1EF,£F_L平面PAC.

­.•FEu平面PCE,：.平面R4CL平面PCE.

解：(2)解法1：因为直线PC与平面ABCD所成角为45。，

ZPCA=45°,:.AC=PA=2.

:.AC=AB,故A48C为等边三角形.

设3c的中点为"，连接A",则AA/L3C.

以A为原点，AM.AD,AP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A-型(如图).

则P(0,0,2),C(石,1,0),E(0,2,1),0(0,2,0),

PC=(573,1,-2),C£=(-V3,1,1),DE=(0,0,1).

设平面PCE的法向量为〃={X1,%,zj,

n-PC=0[y/3x,+y.-2z.=0

则—，即''

万・CE=0[一\/3大|+y+Z[=0.

令X=l,则/f”=(G,L2).

4=2

设平面CD£的法向量为沅=（%2，%，Z2）,

,fn-DE=0卜2=0[y—73f-

则｛—，即土8八令％2=1，则《八，，所=（1,"0）.

m-CE=0[一\/3x2+必+z?=0.[z2=0

设二面角尸一比一。的大小为，，由于6为钝角，

.n,,_-7\n-in\\n-m\28灰

..cos，=-cos<n,m>=--------cos"=一cos〈冬tn）=---------=---；=—=----

|n|-|^l|n|-|/»|272-24

••・二面角P-CE-。的余弦值为巫.

4

解法2：因为直线PC与平面ABCD所成角为45。，且A4L平面ABC。，

所以NPC4=45。，所以AC=R4=2.

因为AB=BC=2,所以A4BC为等边三角形.

因为P4_L平面AfiCD,由（1）知R4//OF,

所以OF_L平面43C£).

因为O8u平面ABC£>,OCu平面ABC£>,所以。尸J_O8且Ok_LOC.

在菱形ABCD中，OB工OC.

以点O为原点，OB,OC,OF分别为x,y,Z轴，建立空间直角坐标系o-空(如图).

则0(0,0,0),尸(0,-1,2),C(0,l,0),"0,0),E(-60,1),

贝UCP=(0,-2,2),CE=(->^,-l,l),CD=(-6,-1,0).

设平面PCE的法向量为〃=a，>'(,4),

[n-CP=0卜2y+2Z1=0

则<—.SP'rr.

n-CE=0-y+Z|=0.

令乂=1,则卜"=：，则法向量〃=(0,I,1).

区=L

设平面C£>E的法向量为机=(/，%，z2)»

m-CE=01一百x?—y+z=0

则_即厂2%772

m-CD=0[一一%=°，

v=-^3

令w=l,则｛为二则法向量机=(1,-后0).

z2=0.

设二面角p—废-。的大小为e,由于。为钝角，

V

2

20.解：⑴记张先生第i次答对面试官提出的问题为事件d(i=l,2,3,4,5),则「⑷=；，

张先生前三个问题均回答正确为事件8,前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为

事件C.前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件。，张先生通过面试为事件

M,则M=8+C+E>.

根据题意，得P(8)=g)3=2，P(C)=C；《)2.；［=5，P(D)=C；(|)2-(1)2.|=^.

3乙I333乙/.jJo1

因为事件8,C,0互斥，所以P(M)=P(8)+P(C)+P(0=三+三+粤=号

27278181

即张先生能够通过面试的概率为M64.

O1

(2)根据题意，X=3,4,5.X=3表明前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确

171

(通过)，所以P(X=3)=C)3+S)3=：；X=4表明前面三个问题中有两个回答错误且第

333

四个问题又回答错误(淘汰)或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通

过)，

所以尸(乂=4)=仁・；(：)21+2(|)2.„=黑；X=5表明前面四个问题中有两个回答错

91Q

误，两个回答正确，所以P(X=5