选修4-4坐标系和参数方程

选修4-4坐标系和参数方程/数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定.yxBACPo例1某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚yxBACPo以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，故|PA|－|PB|=340×4=1360，由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，用y=－x代入上式，得，∵|PA|>|PB|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想.建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2．在面积为1的中，，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点并过点P的椭圆方程.课后作业1.若P是以F1，F2为焦点的椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，tan∠PF1F2＝eq\f(1,2)，则此椭圆的离心率为()．A.eq\f(\r(5),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)2.设F1、F2是双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为()A．2 B．3C．4 D．63.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝()A.eq\f(1,2)B．1C．2 D．34.已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(x2,2)，则点P的轨迹方程是_________.5.△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是___________.6.已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．7.已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2eq\r(2)时，求直线l的方程．8.已知长方形ABCD，，BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线交（Ⅰ）中椭圆于M，N两点，是否存在直线，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。2.平面直角坐标系中的伸缩变换思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?xO2y=sinxy=sin2xy在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点坐标对应关系为：①通常把①叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。注意新旧的位置与关系，即变换前P(x,y)与变换后的关系.（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx.OOx2y=sinxy=3sinxy设点P（x,y）经变换得到点为,即②通常把②叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.即③通常把③叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。伸缩变换定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应到点，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。对应压缩，对应伸长。例1在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线变为曲线。解：设变换（），代入得，与比较得，，所以变换为.例2在同一直角坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为，求曲线C的方程。解：，代入得，曲线C的方程为.变式训练1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.（1）2x+3y=0;(2)x2+y2=12.在同一直角坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为，求曲线C的方程并画出图形.3.在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：（1）直线变成直线；（2）曲线变成曲线.课后作业1.将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）A.B.C.D.2.为了得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（）A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）3.平面上的伸缩变换的表达式为，曲线C在此变换下变为椭圆.则曲线C的方程是（）A.B.C.D.4．将直线变成直线的伸缩变换是.5.把圆伸缩为椭圆，则坐标变换公式是_________.6.把曲线C:伸缩为曲线，则坐标变换公式是_________.7.设平面上的伸缩变换的表达式为，若曲线C在此变换下变为椭圆求曲线C的方程.8.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的方程：（1）；（2）；（3）；（4）.二、极坐标系1.极坐标系的概念思考：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置，有时比直角坐标更方便.在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。极坐标系的建立在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时选定一个单位长度和角度单位（通常取弧度），及角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。其中O称为极点，射线OX称为极轴。OOx极坐标系点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标,记为M（，）。特别强调：不作特别说明，≥0，取任意实数.说明：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为始边，OM为终边的角。当极角的取值范围是[0,2)时,除去极点外，平面内的点就与极坐标（，）建立一一对应的关系.特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值.例1写出下图中各点的一个极坐标：A（4，0），B（2，），C（，），D（，），E（，），F（，），G（，）.解：各点极坐标分别为A（4，0），B（2，），C（3，），D（1，），E（3.5，），F（6，），G（,5，）.变式训练在极坐标系内描出下列各点：A（3，0），B（6，2），C（3，），D（5，），E（3，），F（4，-），G（6，）.XXOM点的极坐标的表达式的研究如图：OM的长度为4，，说说点M的极坐标的其他表达式.这些极角的始边相同，终边也相同,也就是说它们是终边相同的角。所以，点M的极坐标可以表示为：.一般地，当极角的取值范围是任意实数集时，极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)表示同一个点,因此，则平面内一个点的极坐标有无数个.思考：在极坐标系内下列各点的关系：A（3，0），B（3，2），C（5，），D（5，），E（4，），F（4，）.点的极坐标的应用例2在极坐标系中，（1）已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度；xOM（2）已知M的极坐标为（，）且=，xOM解：（1）在直角三角形POQ中，,,.(2)射线OM.变式训练若的的三个顶点为点的极坐标对称关系xOQ例3已知Q（xOQP是点Q关于极点O的对称点；P是点Q关于极轴的对称点；P是点Q关于过极点且与极轴垂直的直线的对称点.解：（1）P（，+）;(2)P（，-）;(3)P（，-）.变式训练1.在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是()2在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标.负极径的规定（拓展）在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角当＜0时，点M（，）位于极角终边的反向延长线上，且OM=.M（，）也可以表示为.注意：如无特别要求，通常取ρ≥0，.课后作业1.已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是()A. B. C. D.2.在极坐标系中,与点关于极轴对称的点的一个坐标是()3.点,,则的值为（）A. B. C. D.4.已知点,,,则为（）A.正三角形 B.直角三角形 C.锐角等腰三角形 D.直角等腰三角形5.在极坐标系中,关于过极点且与极轴垂直的直线的对称点坐标是________.6.在极坐标系中，已知两点P（5，），Q，则POQ的面积是_________.7.已知，O为极点，求使是正三角形的点坐标。8.已知点，判断的形状.2.极坐标与直角坐标的互化yOxθM直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M平面内任意一点，它的直角坐标与极坐标分别为和yOxθM和（取值由点（x,y）象限定）说明:1.上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式;2.通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤<.3．互化公式的三个前提条件（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；（3）两种坐标系的单位长度相同.例1（1）把点M的极坐标化成直角坐标；（2）把点P的直角坐标化成极坐标.解：（1），所以，点M的直角坐标为.（2），因为点P在第四象限，所以，点P的极坐标为.变式训练1.已知点的极坐标分别为，求它们的直角坐标.2.已知点的直角坐标分别为，求它们的极坐标.例2在极坐标系中,已知两点.求A,B中点的极坐标.解：两点的直角坐标为：，A,B中点的直角坐标为，，点P在第一象限，所以，A,B中点的极坐标为变式训练在极坐标系中,已知三点.判断三点是否在一条直线上.课后作业1.点，则它的极坐标是（）A．B．C．D．2.点的直角坐标是，则点的极坐标为（）A．B．C．D．3.在极坐标系中，点关于极轴对称的点的一个坐标是()A.B.C.D.4.点的极坐标是，则点的直角坐标为（）A．B．C．D．5.已知点B和点C的直角坐标为,＞0,0≤＜2,则它们的极坐标________________.,6.若A，B，则|AB|=_____，_______.（其中O是极点）.7.(1)把点M的极坐标，化成直角坐标；（2）把点P的直角坐标，化成极坐标.8.在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(2，0)是两个定点，点C（3，-2），D(-2，-3).现以A(1，0)为极点，||为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，在＞0,-≤＜条件下,求点C,D的极坐标．三、简单曲线的极坐标方程在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程表示。曲线与方程满足如下关系：（1）曲线C上点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在曲线C上.一般地，在极坐标系中，如果一条曲线C上任意一点至少有一个极坐标满足方程，并且坐标适合方程的点在曲线C上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线.1.圆的极坐标方程C(a,0)xOMA例1如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标C(a,0)xOMA解：设圆与极轴的交点为A,则,设M为圆上任意一点（不同A点），则,,即，此为圆心为(a,0)(a>0)，且过极点的圆的极坐标方程.写出满足下列条件的圆的极坐标方程：（1）圆心在极点，半径是r的圆的极坐标方程：________________；（2）圆心在（），且过极点的圆的极坐标方程：________________；（3）圆心在（），且过极点的圆的极坐标方程：________________；（4）圆心在（），且过极点的圆的极坐标方程________________.oMoMx﹚例1求过极点，倾角为的直线的极坐标方程.解：如图，所求的直线以O为分界点分为射线OM和O两部分.射线OM的极角为，射线OM的极坐标方程为，射线O的极角为，射线O的极坐标方程为，所以，直线的极坐标方程为和.若允许，则直线极坐标方程可写成.写出满足下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点角为的射线的极坐标方程：____________；（2）过极点倾角为的直线的极坐标方程：____________；（3）过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程：____________；（4）过点A(a,π)(a>0)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程：____________；（5）过点A(a,)(a>0)，且平行于极轴的直线的极坐标方程：____________；（6）过点A(a,)(a>0)，且平行于极轴的直线的极坐标方程：____________探究oxMP﹚﹚设点P的极坐标为，直线l过点P且与极轴所成的角为,求直线oxMP﹚﹚解：如图，设点为直线上除点P外的任意一点，连接OM，则，由点P的极坐标知，.设直线l与极轴交于点A.则，由正弦定理得，，显然点P的坐标也是它的解，因此，直线l的极坐标方程为。课后作业1.求圆心在且过极点的圆的极坐标方程.2.求圆心在且过极点的圆的极坐标方程.3.已知点的极坐标为，求过点且垂直于极轴的直线极坐标方程.4.直线经过且该直线到极轴所成角为，求此直线的极坐标方程.5.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，求圆的方程.6.在圆心的极坐标为，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹.7.若直线经过且极轴到此直线的角为，求直线的极坐标方程.8.若圆心的坐标为，圆的半径为，求圆的方程.四、极坐标与直角坐标的互化应用极坐标方程与直角坐标方程的互化，重点是极坐标方程化为直角坐标方程.掌握一些变化方法：如两边同乘，使之出现或.例1（1）圆和圆的极坐标方程分别为．把和圆的极坐标方程化为直角坐标方程.（2）化极坐标方程为直角坐标方程.解：(1)两边同乘得，，即为圆的直角坐标方程.同理为圆的直角坐标方程．（2），即为直角坐标方程.例2化在直角坐标方程为极坐标方程.解：，，或，满足，极坐标方程为例3在极坐标系中，圆的方程为，直线，求圆心到直线的距离.解：，即圆心的坐标为，即，圆心到直线的距离为1 变式训练1.已知极坐标方程为，求它的直角坐标方程.2．求圆的圆心坐标。3.在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。4.以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，圆C的极坐标方程为，求直线被圆C截得的弦长。 课后作业1.圆的圆心坐标是（）A．B．C．D．2.极坐标方程表示的曲线为（）A．极点B．极轴C．一条直线D．两条相交直线3.极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为___________.4.曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为_________.5.求极点到直线的距离.6.已知圆的极坐标方程，直线的极坐标方程为,求圆心到直线距离．7.在极坐标系中，过点作圆的切线，求切线的极坐标方程．8.极坐标系中，求圆上的动点到直线的距离的最大值.9.在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求点到曲线上的点的距离的最小值．10.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的方程为（）．（Ⅰ）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长．第二讲参数方程一、曲线的参数方程1.参数方程的概念概念引入如图，一架求援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放物质准确落于灾区的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？xxy500Ov=100m/s如图，以地面为x轴，过飞机投出物质点且垂直地面的直线为y轴，建立直角坐标系.记物质投出时刻为0，在时刻t时物质的位置为点M（x,y），则x表示物资的水平移量，y表示物资距地面的高度.这时，直接建立x,y的关系式较为困难.由物理知识，物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿Ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿Oy反方向作自由落体运动.引进时刻t.g为重力加速度.参数方程定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许值，由方程组所确定的点（）都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.普通方程：相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标,间关系的方程叫做曲线的普通方程。注意：（1）参数可以有几何意义或物理意义，也可没有实际意义.例1已知曲线C的参数方程是.（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值.解：（1）M1(0,1)，则，得t=0,M1(0,1)在曲线C.M2(5,4)，则，得，t无解,M2(5,4)不在曲线C.（2）M3(6,a)在曲线C上，，得t=2，a=9，a的值为9.变式训练1.曲线与x轴的交点坐标是()A.（0，1）B.C.D.2.方程所表示的曲线上一点的坐标是（）A.（2，7）B.C.D.（1，0）2.参数方程与普通方程互化参数方程通过消参数得到普通方程，选择适当的参数，普通方程可以写成参数方程.在互化过程中，必须使x，y的取值范围保持一致，使互化等价.参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：代入法：求出参数t，然后代入消去参数.或通过加减消去参数.三角法：利用三角恒等式消去参数，如，.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数，如.例1将下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线.（1）（t为参数）；（2）（为参数）.解：（1）由得，，代入，则有，所以，此参数方程的普通方程为（）.它是以（1,1）为端点的一条射线（包括端点）.xy-2-1o122xy-2-1o1221，，所以，此参数方程的普通方程为，.它是抛物线的一部分（如图）.化参数方程为普通方程：在消参过程中,注意变量,取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定和值域，得出、的取值范围.变式训练将下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线.（1）（t为参数）（2）（为参数）（3）（t为参数）（4）（为参数）例2求椭圆的参数方程：（1）设为参数；（2）设为参数.解：（1）把代入椭圆方程得，所以，即.由参数的任意性，取，所以椭圆的参数方程为为参数.（2）把代入椭圆方程得，，所以椭圆的参数方程为和，为参数.思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？化普通方程为参数方程：择适当的参数，普通方程可以写成参数方程.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样.在互化过程中，必须使x，y的取值范围保持一致，使互化等价.变式训练1.曲线y=x2的一种参数方程是（）(为参数).2.根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程：（1），设，为参数.（2），设，为参数.课后作业1.曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是()A.线段B.双曲线的一支C.圆D.射线2.参数方程(t为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线3.直线上与点距离等于的点的坐标是.4.已知曲线C的极坐标方程是，设直线l的参数方程是（t为参数）．则直线l和曲线C的位置关系是_____________.（相交、相切、相离）5.将下列方程化为普通方程：（1）（2）(3)(为参数)(4)(t为参数)6.设，已知圆的方程为，求圆的参数方程.7.已知曲线C1：，曲线C2：.（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.8.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若圆在以该直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程和圆的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的动点，点是圆上的动点，求的最小值．二、常见曲线的参数方程1.圆的参数方程思考1：圆心为原点，半径为r的圆的参数方程是什么？xyO①（是参数）xyO①并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点P(x,y),都在圆O上.我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，是参数.参数的几何意义是绕O点逆时针旋转到的位置时，转过的角度，即圆心角.思考2：圆心为，半径为r的圆的参数方程是什么？xMPAOxMPAOy（为参数）.例1如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点,点A(6,0)是x轴上的定点.当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹是什么曲线.解:设M的坐标为(x,y),取，则圆O的参数方程为（为参数），∴点P坐标为(2cosθ,2sinθ)，由中点公式得:点M的轨迹方程为：（为参数）.消参数得：，∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆.例2已知A（-1，0）、B（1，0）,P为圆C:上的一点,求的最大值和最小值.解:圆C的参数方程为(为参数),==其中,.当时,有最大值100.当,有最小值20.涉及圆上的点有关距离时,可考虑采用圆的参数法,最后归结到三角运算.变式训练1.已知为圆上任意一点，求的最大值和最小值.2.已知点P（x，y）是圆上动点，求P到直线x+y-1=0的距离d的最值.NNMOxyAB2.椭圆的参数方程如图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个同心圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M.设∠xOA=φ,M(x,y),则当半径OA绕O点旋转一周是，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是(φ为参数)，这是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，它的普通方程是,参数方程是(φ为参数)，称为离心角,即参数的几何意义是离心角.通常规定参数的取值范围是.思考：中心在原点，焦点在y轴上的椭圆，普通方程是的参数方程是___________.例3在椭圆上求一点M，使点M到直线的距离最小，并求出最小距离.解：因为椭圆参数方程为(φ为参数)，所以可设点，从而，点M到直线的距离为其中满足.当时，d取最小值，此时，.所以，当点M位于时，点M与直线的距离取最小值.思考：如何求点M到直线的距离最大？变式训练1.已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积.2.在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离最小.3.双曲线与抛物线的参数方程（1）双曲线参数方程是（为参数）.其中，，通常规定.说明：这里参数叫做双曲线的离心角，与直线OM的倾斜角不同.oyoyx)M(x，y)Hoxy)MBA（2）抛物线参数方程是（t为参数）.或，例3设P为等轴双曲线上的一点，，为两个焦点，证明.证明：参数方程为（为参数），设，,=，=，.例4抛物线的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长.解：抛物线参数方程是（t为参数），设内接三角形三点坐标为O（0,0），,焦点.则，不妨设，.，所以，内接三角形的周长为.课后作业1.直线3x-4y-9=0与圆(θ为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心2.已知动园：，则圆心的轨迹是()A.直线B.圆C.抛物线的一部分D.椭圆3.已知P为曲线上一点，原点为O，且直线PO的倾斜角为，则P点坐标是____________.4.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线的极坐标方程为，曲线C的参数方程为（为参数，为大于0的常数），且直线被曲线C截得的弦长为，则的值为________.5.若直线有两个不同的交点，求实数b的取值范围.6.已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．7.在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点.求（Ⅰ）的最大值；（Ⅱ）到直线（为参数）的距离的最小值.8.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（）．（Ⅰ）化曲线、的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）设曲线与轴的一个交点的坐标为（，0）（），经过点作曲线的切线，求切线的方程．4.直线的参数方程经过点（）,倾斜角为（）的直线的普通方程是))lxy怎样建立直线的参数方程呢？在直线上任取一点（）,则设是直线的单位方向向量，则.，存在实数，即，.即.经过点（）,倾斜角为的直线的参数方程是（t为参数）.注意参数方程式子特点：，.参数t的几何意义：因为，所以.由，得到.因此，直线上的动点M到的距离，等于参数的绝对值.当时，，所以的方向总是向上.当时，在上方，；当时，在下方，；当时，与重合.两点对应的参数分别为，则；的中点为，则.在应用直线参数方程时，特别注意参数方程的形式，只有符合特征，参数才有几何意义.例1已知直线与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长和点M(-1,2)到A，B两点的距离之积.把它代入抛物线的方程，得.变式训练1.经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是()A.B.C.D.2.已知直线经过点P(1,1),倾斜角，(Ⅰ)写出直线的参数方程.(Ⅱ)设与圆相交与两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积和AB中点坐标.例2经过点M（2,1）作直线，交椭圆于A，B两点，如点M为恰好线段AB的中点，求直线的方程。变式训练3.经过点M（2,1）作直线交双曲线于A，B两点，如点M为线段AB的中点，求直线AB的方程。课后作业1.直线(t为参数)的倾斜角是()A.200B.700C.11002．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A．B．C．D．3.直线过点,倾斜角是，且与直线交于，则的值为.4.直线上与点距离等于的点的坐标是.5.求直线(为参数)被曲线（为参数）所截得的弦长.6.过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的最小值及相应的的值。7.过P（2，0）作倾斜角为的直线与曲线E（θ为参数）交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线E的普通方程及的参数方程；（Ⅱ）求的取值范围．8.在极坐标系中,过曲线外的一点(其中为锐角)作平行于的直线与曲线分别交于．(Ⅰ)写出曲线和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为轴的正半轴建系)；（Ⅱ）若成等比数列,求的值．三、坐标系与参数方程的综合在解决一些相关问题时，常把参数方程化为普通方程，应用我们熟悉的知识和方法解题．例1在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴建立极坐标系.已知圆C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数）.（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值.例2已知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线被曲线C截得的弦长.解：（Ⅰ）由得，∴曲线C的直角坐标方程为（Ⅱ）由消去t得的普通方程为，，与联立消去y得，设与C交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1+x2=6，x1x2=，∴直线被曲线C截得的弦长为|AB|=.变式训练1.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为(4，)．若直线l过点P，且倾斜角为；圆C以M为圆心、4为半径.(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(Ⅱ)试判定直线l和圆C的位置关系.2.直线C1的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）. 3.已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为.（Ⅰ）求点的直角坐标；（Ⅱ）设为上任意一点，求的取值范围.课后作业1.在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A.B.C.D.2.曲线C的直角坐标方程为x2＋y2-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为（）A.B.C.D.3.已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.4.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是__________.5.在直角坐标系xOy中，已知曲线：(t为参数)与曲线：(为参数，)有一个公共点在x轴上，则.6.（2013福建高考）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．（Ⅰ）求的值及直线的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系．7.在直角坐标中，圆，圆。(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求出的公共弦的参数方程。8.在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（Ⅰ）（Ⅱ）坐标系与参数方程答案第一讲坐标系一、平面直角坐标系变式训练1．答案：2．答案：课后作业：1.解析在Rt△PF1F2中，设|PF2|＝1，则|PF2|＝2.|F1F2|＝eq\r(5)，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(5),3).答案A2.解析设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝2eq\r(3＋1)＝4，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|×|y0|＝2|y0|＝2，|y0|＝1，eq\f(x\o\al(2,0),3)－yeq\o\al(2,0)＝1，xeq\o\al(2,0)＝3(yeq\o\al(2,0)＋1)＝6，·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－4＝3.答案B3.解析∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(eq\f(p,2)，0)在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，∴eq\f(p2,4)＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)．4.解析设点P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1－x,1－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－1－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝eq\f(x2,2)，即eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，所以点P的轨迹方程．5.解析如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．6.解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案y2＝4x7.解析将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有eq\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2.解得a＝－eq\f(3,4).(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CD|＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，,|DA|＝\f(1,2)|AB|＝\r(2).))解得a＝－7或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.8.解：（1）由题意可得点A,B,C的坐标分别为，设椭圆的标准方程是，则椭圆的标准方程是.（2）由题意直线的斜率存在，可设直线的方程为.设M，N两点的坐标分别为.联立方程：消去整理得，有若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以，所以，，即所以，即，得.所以直线的方程为，或.所在存在过P（0，2）的直线：使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。2.平面直角坐标系中的伸缩变换变式训练1.答案：（1）；（2）.2.答案：.3.答案：（1）；（2）.课后作业1.B2.C3.D4．5.6.7..8.(1)直线；（2）；（3）；（4）.二、极坐标系1.极坐标系的概念极坐标系点的极坐标的规定变式训练（略）点的极坐标的表达式的研究思考：答：A、B同一点，C、D同一点，E、F同一点.点的极坐标的应用变式训练等边三角形点的极坐标对称关系变式训练1.B2答：或课后作业1.D2.B3.A4.D5.6.7.或8.直角等腰三角形2.极坐标与直角坐标的互化变式训练1..2..变式训练答：共线.课后作业1.C2.C3.B4.D5.,6.5，6。7.（1）（2）8.答：,.三、简单曲线的极坐标方程1.圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径是r的圆的极坐标方程：；（2）圆心在（），且过极点的圆的极坐标方程：；（3）圆心在（），且过极点的圆的极坐标方程：；（4）圆心在（），且过极点的圆的极坐标方程：.2.直线的极坐标方程（1）过极点角为的射线的极坐标方程：；（2）过极点倾角为的直线的极坐标方程：；（3）过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程：；（4）过点A(a,π)(a>0)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程：；（5）过点A(a,)(a>0)，且平行于极轴的直线的极坐标方程：；（6）过点A(a,)(a>0)，且平行于极轴的直线的极坐标方程：课后作业1.2.3.4.5.6.7.8..四、极坐标与直角坐标的互化应用变式训练1.解：，直角坐标方程为2．3.解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，又圆与直线相切，所以解得：或.4.解：将圆的方程为圆心为C（0，0），半径为10。直线的方程为，∴点C到直线的距离为被圆截得的弦长为 课后作业1.A2.D3.4.（）5.解：直线化为：，则极点到直线的距离为6.7.8.9.解：（Ⅰ）由点的极坐标为得点的直角坐标为，所以直线的直角坐标方程为．（Ⅱ）由曲线的极坐标方程为，化为直角坐标方程为