2021江苏南京届高三数学高考模拟三模考试卷含解析

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2021江苏南京届高三数学高考模拟三模考试卷含解析

南京市2021届高三年级第三次模拟考试

数学2021.05

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答趋

卡上.

第I卷(选择题共60分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，£

有一项是符合题目要求的)

1.已知集合/={xl2"<4},B={x\xi-2x-3^Q},则/U8=

A.[1,2)B.(2,3]C.(-1.3]D.3]

【答案】D

【解析】/=(-8,2),B=[—1.3],/U8=(-8,3],故选D

2.已知i为虚数单位，若更数z=g+孚，则复数5的虚部为

【答案】A

【解析】《=鬲m=与也,故虚部为一半故选D.

3.函数y=ln|x|+cosx的大致图象是

【答案】C

【解析】易见函数为偶函数，排除BD,x趋向I正无穷大时，尸趟向F1E无力大,排除A,

故选C.

4.将5名学生分配到4,B,C,D,E这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，

且学生甲不能分配到4社区，则不同的分配方法种数是

A.72B.96C.108D.120

【答案】B

【解析】分配方法种数为4A1=96,故选B.

5.已知cos(a—则sin(2a+[)+cos唱一与的值为

O4OZIZ

A-4B-2C.平D.1

【答案】D

【解析】$in(2a+.)+cos唱一书=sin(2a-?+?)+cos2(z—7X)=cos(2a—5)+COS2(T—^r)

=1+^=l.故选D.

6.声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强

为/。=10-12(瓦/米2).对于一个声音的声强/,用声强/与/o比值的常用对数的10倍表

示声强/的声强级，单位是“分贝”，即声强/的声强级是101埼(分贝).声音传播时，

在某处听到的声强/与该处到声源的距离S的平方成反比，即/=9饮为常数)•若在距

离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音(即声强不小于对

的位置到声源的最大距离为

A.100米B.150米C.200米D.15®米

【答案】B

22

【解析】20=101埼,：=100,*=/15=/（）s,最大距离s=】50米.故选B.

7.在正方形488中，。为两条对角线的交点，E为边8c上的动点.若公=方必+

〃而九〃>0）,则尹加最小值为

9

25C-14

A.B.2D.3

【答案】c

【解析】AE=AB+BE=AB+4而=；太+皮+女（泥一2丽尸（；+；外泥+（1-人，

DO,故勘+〃=2,+〃）》£•故选C.

8.已知小b,c均为不等丁-1的正实数，且ln“=cln/>,lnc=61n”，则a,h,c的大小关原

是

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】a=e<方,e'>1.故a>6,同理c>a,故选A.

二'多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，布

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分）

9.面对新对肺炎疫情的冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显商

成效.下表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比

增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率,

则下列说法正确的是

中国社会消费品零售总额

月份零售总额（亿元）同比增长环比增长累计（亿元）

428178-7.50%6.53%106758

531973一2.80%1347%138730

633526一1.80%4.86%172256

732203一1・10%一3.95%204459

8335710.50%4.25%238029

9352953.30%5.14%273324

10385764.30%9.30%311901

11395145.00%2.43%351415

12405664.60%2.66%391981

A.2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升

B.2020年4月份到12月份，II月份同比增长率最大

C.2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大

D.第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小

【答案】BCD

【解析】A：7月份的零售总额比6月份的少，错误：B：正确；C：正确：D：第4季度供

专管总额在（38000,41000）间而第2季度的在（28000,34000）间,前者数据更集中,方差更

小.故选BCD.

10.定义曲线小§+§=1为椭圆C：:+*=l（a>b>0）的伴随曲线，则

A.曲线「有对称轴B.曲线「没有对称中心

C.曲线厂有且仅有4条渐近线D.曲线厂与椭圆C有公共点

【答案】AC

【解析】在曲线/'中，（.3）.（—x,一『）代入均相等，故X轴与y轴为曲线〃的对

称轴,故A正确:由上.述可知,原点(0,0)为对称中心，故B错误；曲线/'有渐近线x=

±a,,v=±/>»有4条渐近线，故C止:确；华+&,(，+g)22+2=4,当且仅当|”|=网时取

等号,两曲线方程无法同时取I.故D借误；通过比较两曲线方程的定义域可知,定义域交

集为0,故两曲线无交点，故D错误.

II.已知正四极台的上底面边长为小，卜底面边长为2啦，侧棱长为2,则

A.棱台的侧面枳为

B.棱台的体积为1473

C.棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为g

D.棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为由

【答案】ACD

【解析】A：侧解的高加=、/22—(当)2=^^,Sf(i=4x；(出+2>/i)x^^=6巾，止确：

B：上底面面积$=(6)2=2,卜,底面面积S2=(2啦尸=8,高〃=,2f2=小,所以/=；

(SI+S2+>/S|S2)A='J^,错误：C：cosa

=yjl・sin¥=雪,正确.故选ACD.

12.已知函数/a)=3sin2x+4cos2x,g(x)=/(x)+|/(x)|.若存在x()£R,对任意x£R,大的2

危。)，则

A.任意xCR，/(x+xo)=f(x—xo)

B.任意xGR,〃x)5/(xo+§

C.存在。>0,使籽鼠x)在(x(>,xo+与上有且仅有2个零点

D.存在。〉一招，使得欧x)在由一招，xo+0)上单调递减

【答案】BD

3

-

【解析】/(.r)=5sin(2x+a)i其中a为锐角且5山题意,xo是危)的最小值点，所以

心)关『K=Xo对称，所以/'(X—Ko)壬/(—x+xo)=〃x+xo),A错误：因为儿6的最小上周期

r=y=n.所以为歧大值点，所以任意x£R,/(x)0Uo+；),B正确；因为/fm)V0,

IL./(.to+^)=0.在：(xo,xo+力中，加r)V0,所以g(x)恒为0,故不存在。>0,使得四)在(xo，

北+。)上有且仅有2个零点，C错误；取。=一%则在侪一招，XL：)内，/(*)单调递减旦./W

>0,所以以x)=Z/(x)单调递减，D正确.故选BD.

第n卷(非选择题共90分)

三'填空题(本大题共4小通，每小题5分，共20分)

13.(3/+,，的展开式中的常数项为▲.

【答案】270

【解析】N=C；X3、XH=270.

14.写出一个离心率为小，渐近线方程为y=±2x的双曲线方程为_A_.

【答案】小一?=1.

15.早在15世纪，达•芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图I，先制作二张一样

的黄金矩形(88(翳=乓］)，然后从长边C。的中点£出发，沿着与短边平行的

方向剪开♦半，即OE=，O,再沿着与长边平行的方向剪出相同的长度，即。尸=

OE,将这三个矩形穿插两两垂宜放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图

2.若黄金矩形的短边长为4,则按如上制作的正二十面体的表面积为▲,其外

接球的表面积为▲.

图1

图2

【答案】8丽，（40+8M）兀

【解析】注意到iE二卜而体每个而都是边长等于矩形短边的正三角形，故S=20x乎X42=

8M:其中心到每个顶点的距离都等于矩形对角线的一半，故S'=Jt（42+（2小+2）?）=（40+

8-75）n.

16.已知直线产H+b与曲线y=/+cosx相切，则，+6的最大值为▲.

【答案】7

2xo-sinxo=k,

【解析】

kxo+h=x^+cosxof

=­xj+7Lro+.tosinxo-^sinxo+cosixo，令g(x)=-F+itr+xsinx-}iiLr+cosx,g'(x)=-2x

,

艾

X

+K+NCOS—$co：ir=(x-"(cost—2),因为cost—2<0,故当4

四'解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明'证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知四边形/8CD中，AC与BD交干点E,48=280=28=4.

（I）若N/OC=竽，AC=3,求cosNC/O：

（2）若/E=C£,BE=26求△/8C的面枳.

解：（1）在△4。中，由正弦定理，得——/?令=1%心，

sxnZADCsin/C/。

2.2n

所以™=但泮=与邛.

由0<ZC4D<j.

得cos/C4c=41-siMNC/"

(2)设ZE=C£=m,NAEB=a.

在△4中，8+/n2—4>/2mcosa=16.①

在△SCE中，84-m2—4y[2mcos(n—a)=4,UPS+m2+4\[2mcosa=4.②

由①©,解得m=6,即/E=C£=>/L

将用=近代入①，解得cosa=一；.[可为0<a<7t,所以sina=q1—cos%=*,

)£X8EXsina=2xgx啦X2啦X斗尸币.

所以△48。的面积S必=2S女=2X

18.(本小题满分12分)

已知等差数列｛〃｝满足：ai+3,上，内成等差数列,且m，a3.ax成等比数列.

(1)求数列｛为｝的通项公式：

(2)在任意相邻两项刈与瞑仆=1,2,…)之间插入2*个2,使它们和原数列的项构成一个

新的数列｛几).记S,为数列｛几)的前”项和，求满足S”<500的”的最大值.

解：(1)设｛“〃｝公差为d,则a“=ai+(〃-IX，

又田+3,。3,。4成等差数列,所以2〃3=0+3+。4，

即2m+4"=2川+3+34,所以d=3,

a\•。3,ax成等比数列，所以出=〃心，所以(“1+6)2="|5|+21),

所以9m=36,6=4,

故通项为“〃=3〃+1.

(2)在新的数列｛儿｝中，Wt£N*且422时，口前共有4+(21+22+…+2*1)=2*十斤一2项,

又小>0,故⑸,｝递增.

{““}的前n项和"巴>•",故”咒5）女

,23456

取4=7,则2*+4—2=133,5|33=77+2（24-2+24-24-2+2）=91+252=343<500!

取4=8,则2«+A—2=262,5262=7«+2（2,+22+254-24+25+264-27）=II6+508=624>

500；

故所求最大的满足S,<500的"在133与262之间,故含有at.a2.....o7.其余均为2,又343

+2X78=499<500,343+2X79>500.故g后共有78个2,

则”的最大值为133+78=211.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥。一48C。中，四边形48C'。为直角梯形，4C〃8C,Z/tBC=90°,AD

=2BC=2AB=4.△以。为等边三角形，E为PD的中点,直线48与。£所成角的大

小为45°.

（1）求证：平面B4O_L平面/8CO；

（2）求平面刑8与平面尸8所成角的正弦值.

解：（1）证明：取4。中点凡连结CF,山四边形48。。为巴角梯形H.N/8C=90。,

ZO=28C=2/8=4得CF幺（48=2,所以CF14。，

|I|£F=1B4=^1D=2,直线与CE所成角等于N£CF=45。，所以£尸,”，

乂因为£尸。/。=尸，所以CFJ■平面P4。，CFu所以平面48C。，

所以平面PADL平面48CD

⑵连结PR所以所以秒\L平面/8CD,所以PF_LC尸，故可以尸为原点，分别

以尸C,FD,FP为x,y,二釉正方向建立如图所示的空间fl角坐标系，

所以40,-2,0),8(2,-2.0),C(2.0.0),D(0,2.0),P(0,0,2小)，

所以罚=(2,0.0),乃=(0,2,26CP=(-2,0,2回CD=(-2,2,0),

设平面。48和PCO的一个法向星:分别为》j=(xi，M，zi),n—(X2,,V2.二)，

A

则行丝〃20°,取”=巾得刀|=0,zi=—1,所以m=(0,5,一1),

APm=2yi+2y/3zi=0

，

CPM=-2X2+2A/3Z2=0„L”，，vr

<_.取Z2=1得X2=小R，,n=小，所以析=(小，\f3,1).

,CDn=_Zr2+2i>2=0

设Till)PAB和PCD的央加的大小为0,则|cosM=潦需|=友志=言，

所以sind=yl1—cos2f)=^^.

20.(本小题满分12分)

某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局

训练时教练连续发100个球，该同学接球成功得1分，否则不得分，H1每局训练结果相互

独立，得到如图所示的频率分布直方图.

(I)若同一组数据用该区间的中点值作代表，

①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数三：

②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布Ni/t,100),其中n近似为样本平均数

7,求P(54<X<64)的值：

(2)为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛.一局比赛中教练连续发100个球，

该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜.若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛

的局数为匕以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求£(/).

参考数据：若随机变量门的，，)，则心一户0・6827,

PW-2。V岑<“+2(7)=0.9545,加一3。<+3a)=«.9973.

解：(1)①7=55X0」+65X0.2+75X0.45+85X0.2+95X0.05=74.

②由(I)得〃=7=74,所以齐M74,100),

得P(64<X<84)七0.6827,0(54<¥<94)*0.9545,

所以尸(54<X<64)=始4<*<94);9(6”“<84)=。.9545;。.6827=()/359.

(2)设“该同学一局比赛获胜”为事件/,则P(4)=(0.02+0.005)X10=1.

丫的可能取值为3,4,5,

0(y=3)=d)3+@)3=*,p(y=4)=dx(^x^x1+dx(^)-x1x1=-j^,

p(y=5)=dx《)2x(沁/6(沁(沁江磊

Y345

74527

P16128128

因此E(F)=3X以+4X强+5X券=禺・

21.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系x°v中，已知抛物线C：/=4x,经过P(t,0★>0)的直线/与C交于4

B两点.

(1)若，=4,求/P长度的最小值：

(2)设以48为克径的圆交x轴于M,N两点，问是否存在,，使得潴•冰=-4?若存在,

求出,的值；若不存在，请说明理由.

解:(1)设/(Ku，M)),/尸=叱Xo—4)2+y：=#x；—4xo+16=q(xo—2>+12225.

当xo=2,即/(2,2g或4(2,一2啦)时取“=”，

所以4尸长度的最小值为2小.

(2)设4(xi，»)，5(X2.V2)>48方程:x=my+3。抛物线联

消去x可得V2—4"「-4/=0,所以“+4=4日””=一4,

圆方程为:(x—X।)(x—X2)+(y—Fi)0,一心)=0,

令y=0,x2—(.n+.r2).r+.riX2+viV2=0,

若OMON=-4,则工|"+“”=—4,