2022-2023学年江苏省南通市大学附属中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年江苏省南通市大学附属中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.类比平面几何中的定理“设是三条直线，若，则∥”，得出如下结论：①设是空间的三条直线，若，则∥；

②设是两条直线，是平面，若，则∥；

③设是两个平面，是直线，若则∥；

④设是三个平面，若，则∥；其中正确命题的个数是

（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：B2.f（x）=x3﹣x2+ax﹣1己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为(

)A．（3，+∞） B．（3，） C．（﹣∞，] D．（0，3）参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，x1+x2=1＞0，x1x2=（a﹣3）＞0，解得3＜a＜．故选B．【点评】本题考查导数的几何意义，考查二次方程实根的分布，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题．3.（5分）已知，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：A∵sinθ+cosθ=﹣，∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=sin2θ=﹣；又cos（2θ﹣）=﹣sin2θ，∴cos（2θ﹣）=﹣（﹣）=．故选A．4.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈）的周期为π，将函数f（x）的图象沿着y轴向上平移一个单位得到函数g（x）图象，设g（x）＜1，对任意的x∈（﹣，﹣）恒成立，当φ取得最小值时，g（）的值是（）A． B．1 C． D．2参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据g（x）＜1得出﹣π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；再根据x∈（﹣，﹣）得出﹣+φ＜2x+φ＜﹣+φ，可求φ的范围，从而求出g（）的值．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈）的周期为π=，∴ω=2，f（x）=sin（2x+φ），g（x）=sin（2x+φ）+1＜1，∴sin（2x+φ）＜0，∴﹣π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；又x∈（﹣，﹣），∴﹣＜2x＜﹣，∴﹣+φ＜2x+φ＜﹣+φ；∴2kπ﹣≤φ≤2kπ+，k∈Z；又∵φ∈，∴﹣≤φ≤0，∴当φ取得最小值﹣时，g（）=sin（2×﹣）+1==．故选：C．5.已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==i在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知函数则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量,从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为,在区间和分别各取一个数,记为和,则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（

）A．20

B．20

C．40

D．20参考答案：D9.设，，，则（）．

．

．

．参考答案：A,,，所以，选A.10.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（

）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45参考答案：A试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.考点：条件概率．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△中，三个内角，，所对的边分别为，，，若,则=

.参考答案：略12.定义在上的函数，则

.参考答案：113.若四面体的三视图如右图所示，则该四面体的外接球表面积为_____．参考答案：试题分析：该几何体如图所示，放在长方体中更直观．则，，.考点：几何体的表面积.14.已知双曲线的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的标准方程是 .参考答案：

；由已知得，且，故双曲线的标准方程是.15.给出下列四个结论：①“若，则”的逆命题是真命题；②设，则“或”是“”的充分不必要条件；③函数的图象必过点；④已知服从正态分布，且，则。其中正确结论的序号是_____________。（填上所有正确结论的序号）参考答案：②③①的逆命题为：“若，则”，当时，命题不成立。根据充分条件和必要条件的判断可知②正确。当时，，所以恒过定点，所以③正确；根据正态发布的对称性可知,，所以，所以④错误，所以正确的结论有②③。16.曲线和曲线围成的图形面积是

．参考答案：略17.如图，已知△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若，则m+n=．参考答案：

【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量加减法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，这样便可得出m+n的值．【解答】解：根据条件，====；又；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知暗箱中开始有3个红球，2个白球（所有的球除颜色外其它均相同）．现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中．（I)求第二次取出红球的概率；

(II)求第三次取出自球的概率；

(Ⅲ)设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的分布列和数学期望．参考答案：19.已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长．参考答案：20.已知数列{an}满足an+1=2an+n﹣1，且a1=1．（Ⅰ）求证：{an+n}为等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）利用an+1=2an+n﹣1化简即得结论；（Ⅱ）通过a1=1可知数列{an+n}是首项、公比均为2的等比数列，进而可求出数列{an}的通项公式，进而利用分组法求和计算即得结论．【解答】（Ⅰ）证明：∵an+1=2an+n﹣1，∴==2，∴数列{an+n}为等比数列；（Ⅱ）解：∵a1+1=2，∴数列{an+n}是首项、公比均为2的等比数列，∴an+n=2n，即an=﹣n+2n，∴Sn=﹣（1+2+…+n）+（21+22+…+2n）=﹣+=2n+1﹣﹣2．21.设是由有限个正整数构成的集合，且，这里，并对任意的，都有，.已知对任意的，若，则，求集合M的元素个数的最小值.（这里，表示集合X的元素个数）参考答案：记不妨设；．设，．对任意的，都有，互不相同，，即．对任意的，若，则，当时，即当时，．若，则，若，则总有另一方面，取，则符合要求．此时，．综上所述，集合的元素个数的最小值为．22.已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线,与直线分别交于两点.(Ⅰ)求椭圆的方程；（Ⅱ）(ⅰ)设直线,的斜率分别为，求证为定值；

(ⅱ)求线段的长度的最小值.参考答案：解：(Ⅰ).椭圆的方程为.

………3分（Ⅱ）(ⅰ)设点的坐标为，∴

………5分∵点在椭圆上，∴，∴∴

………7分(ⅱ)设直线的方程为，

则且

………9分∵