上海市仙霞高级中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

上海市仙霞高级中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D考点：多面体与外接球，球的体积．【名师点睛】多面体与接球问题(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上．如果三棱锥的面是直角三角形，注意直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等，本题利用这个结论可以很快得出圆心．2.若，则cos2α+2sin2α=（）A． B．1 C． D．（0，0，1）参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】原式利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：由，得=﹣3，解得tanα=，所以cos2α+2sin2α====．故选A．3.若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．12参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，利用复数的实部与虚部相等，求解a即可．【解答】解：复数z===．由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，解得a=3．故选：A．4.如图，已知在ΔABC中,BC=2，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点M，N，MC与NB交于点G，若，则，的度数为A.135

B.120°

C.

150

D.

105°参考答案：D5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《九章算术》中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入a的值为2，2，5，则输出的x=（

）A．7

B．12

C．17

D．34参考答案：C初始值，，程序运行过程如下：

，，，不满足，执行循环；

，，，不满足，执行循环；

，，，满足，退出循环；输出．故选C．6.已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，，过圆心，则点的横坐标的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得.7.已知命题p：?x∈R，cosx≥a，下列的取值能使“￢p”命题是真命题的是（）A．a∈RB．a=2C．a=1D．a=0参考答案：C考点：命题的否定．专题：概率与统计．分析：写出命题的否定形式，然后判断选项即可．解答：解：命题p：?x∈R，cosx≥a，则￢p，?x∈R，cosx＜a，能使“￢p”命题是真命题，由余弦函数的值域可知，cosx≤1，故选项C成立．故选：C．点评：本题考查特称命题的真假的判断与应用，三角函数的值域的应用，基本知识的考查．8.如右图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为

（

）参考答案：B9.如图，在棱长为1的正方体中，点分别是

棱的中点，是侧面内一点，若平面

则线段长度的取值范围是A．

B.

C.

D.参考答案：B取的中点M,的中点N,连结，可以证明平面平面，所以点P位于线段上，把三角形拿到平面上，则有,所以当点P位于时，最大，当P位于中点O时，最小，此时，所以，即，所以线段长度的取值范围是，选B.10.下列命题中，真命题是（

）A．

B．C．的充要条件是

D．是的充分条件参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用.

A2

A3

【答案解析】D

解析：因为y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．【思路点拨】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则=

参考答案：1略12.对于定义在R上的函数图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数x成立，则称f(x)是阶数为a的回旋函数，现有下列4个命题：①必定不是回旋函数；②若为回旋函数，则其最小正周期必不大于2；③若指数函数为回旋函数，则其阶数必大于1；④若对任意一个阶数为的回旋函数f(x)，方程均有实数根，其中为真命题的是________.参考答案：①②④13.已知函数，则的最小正周期为

在上的值域为

参考答案：π,

[0,1]14.等比数列的各项均为正数，且，则__________．参考答案：10解：∵等比数列的各项均为正数，且，∴，∴，∴故答案为．15.已知平面向量a，b，c不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a|＝2，|b|＝2，|c|＝1，则a＋b＋c与a的夹角是________．参考答案：60°略16.设f（x）=，若f（a）=3，则a=．参考答案：4【考点】函数的值．【分析】利用分段函数求值，分类讨论a的取值范围，求得a的值．【解答】解：当a＞0，f（a）==3，∴a=4，当a≤0，f（a）=2a=3，∴a=＞1，不成立；故答案为：4．17.已知等差数列的前项和为,并且,数列满足=,记集合=,若的子集个数为16,则实数的取值范围为

.参考答案：本题考查等差数列的前n项和公式,集合.因为等差数列中,联立解得,即,,;而=,所以=;构造函数=,当时单增,当时单减,且,,,;而的子集个数为16,所以中的元素个数为4,即;所以.【备注】等差数列:,.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣ax﹣3（a≠0）（1）求函数f（x）的极值；（2）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g（x）=x3+[m﹣2f′（x）]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数f（x）的定义域与f′（x），通过当a＜0时，当a＞0时，判断导函数的符号，推出单调性与极值．（2）化简g（x），求出g′（x），利用g（x）在区间（a，3）上有最值，说明g（x）在区间（a，3）上有极值，方程g'（x）=0在（a，3）上有一个或两个不等实根，列出不等式组，转化为对任意a∈[1，2]，g′（a）=3a2+（m+2a）a﹣1=5a2+ma﹣1＜0恒成立，得到m＜=，然后求解即可．【解答】解：（1）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=﹣a，…当a＜0时，，∴f（x）在（0，+∞）单调增，f（x）无极值；…当a＞0时，由，由，∴．…∴，无极小值．…综上：当a＜0时，f（x）无极值；当a＞0时，，无极小值．…（2）g（x）=x3+[m﹣2f′（x）]=x3+（+a）x2﹣x，∴g′（x）=3x2+（m+2a）x﹣1，∵g（x）在区间（a，3）上有最值，∴g（x）在区间（a，3）上有极值，即方程g'（x）=0在（a，3）上有一个或两个不等实根，又g′（0）=﹣1，∴，…由题意知：对任意a∈[1，2]，g′（a）=3a2+（m+2a）a﹣1=5a2+ma﹣1＜0恒成立，∴m＜=，因为a∈[1，2]，∴m＜对任意a∈[1，2]，g′（3）=26+3m+6a＞0恒成立∴m＞=，∵a∈[1，2]，∴m＞﹣，∴﹣．…19.（本小题满分13分）已知椭圆经过点，且离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）问是否存在过点的直线，使与椭圆交于两点，且以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）由，得，∵椭圆过点∴，解得，从而故椭圆的方程为-------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，则，设，代入，得

--------------------------------------------------------7分设，则从而--------------------------------------9分∵，∴即∴-----------------------------------------------------------11分解得故存在满足条件的直线，其方程为---------------------------------------------13分20.已知二次函数不等式的解集为（1，3）.(Ⅰ）若方程有两个相等的实根，求的解析式；(Ⅱ）若（的最大值为正数，求实数a的取值范围.参考答案：Ⅰ）∵不等式的解集为（1，3）∴和是方程的两根∴

∴又方程有两个相等的实根∴△=∴

即∴或（舍）∴，(Ⅱ）由（Ⅰ）知∵，

∴的最大值为

∵的最大值为正数

∴

∴

解得或

∴所求实数a的取值范围是21.（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（I）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（II）圆、是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.参考答案：解：（I）由得x2＋y2＝1，·····································································又∵ρ＝2cos(θ＋)＝cosθ－sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ.∴x2＋y2－x＋y＝0，即······························································（II）圆心距，得两圆相交·············································由得，A(1,0)，B，·························································∴

22.设函数(1)解不等式f(x)>0;(2)若，使得，求实数m的取值范围.参考答案：略【考点】绝对值不等式的求解，分类讨论，以及含参不等式成立的问题首先转换为分段函数（1）