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文档简介
2022年上海市闵行区明星学校高二数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若对于任意实数,有,则的值为(
)A.3
B.6
C.9
D.12参考答案:B试题分析:先令
得:
;再令
得:①
;最后令得:②
;将①②相加得:,解得
.故选B.考点:二项式定理与性质.2.已知中,,,,那么角等于(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C3.命题(
)A、
B、C
D、参考答案:B4.复数z=1﹣2i的虚部是()A.﹣2 B.2 C.﹣2i D.2i参考答案:A【考点】复数的基本概念.【分析】利用虚部的定义即可得出.【解答】解:复数z=1﹣2i的虚部是﹣2.故选:A.5.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是(
)A.假设至少有一个钝角
B.假设没有一个钝角
C.假设至少有两个钝角
D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角
参考答案:C6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.2π+12 B.π+12 C.2π+24 D.π+24参考答案:D【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由已知可得该几何体是一个半球与正方体的组合体,其表面积相当于半球和正方体的表面积和减半球的两个大圆面积,进而得到答案.【解答】解:由已知可得该几何体是一个半球与正方体的组合体,其表面积相当于半球和正方体的表面积的和减去球的一个大圆面积,故S=6×2×2+=π+24,故选:D7.关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,则A.0<a≤1
B.a≤1
C.a<1
D.0<a≤1或a<1参考答案:B8.在△中,角所对的边分别为,且满足,则的最大值是(
)
A.
B.
C.
D.2参考答案:A∵,∴,∴,∴,∴,∴,∴最大值为1.9.已知圆,设平面区域,若圆心,且圆与轴相切,则的最大值为(
)
A.5
B.29
C.37
D.49参考答案:C10.命题“,”的否定为(
)A., B.,C., D.,参考答案:C全称性命题的否定是特称性命题,所以选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知A(1,3),B(﹣1,﹣1),C(2,1),则△ABC的BC边上的高线所在直线的方程是.参考答案:3x+2y﹣9=0【考点】直线的一般式方程.【专题】计算题.【分析】由B与C的坐标,求出直线BC方程的斜率,从而写出直线AB的方程,然后根据两直线垂直时斜率的关系求出BC边上的高所在直线方程的斜率,然后由A的坐标和求出的斜率写出所求直线的方程即可.【解答】解:由B(﹣1,﹣1)和C(2,1),得到直线BC的方程为:y﹣1=(x﹣2),即2x﹣3y﹣1=0,所以直线BC的斜率为,故BC边上的高所在直线的斜率为﹣,又A(1,3),则所求直线的方程为y﹣3=﹣(x﹣1),即3x+2y﹣9=0.故答案为:3x+2y﹣9=0【点评】此题考查了直线的一般式方程,及两直线垂直时斜率满足的关系.要求学生掌握两直线垂直时斜率的乘积为﹣1这个结论.12.若曲线与直线恰有三个公共点,则的值为
。参考答案:无解13.在茎叶图中,样本的中位数为,众数为. 参考答案:72,72.【考点】茎叶图. 【专题】对应思想;定义法;概率与统计. 【分析】根据茎叶图,利用中位数与众数的定义,即可得出结论. 【解答】解:根据茎叶图中的数据,将数据从小到大排列,在中间的第9个数是72, 所以中位数为72; 又数据中出现次数最多的是72,所以众数是72. 故答案为:72,72. 【点评】本题主要考查利用茎叶图中的数据求中位数与众数的应用问题,是基础题. 14.如图所示的直观图,其原来平面图形的面积是
参考答案:415.如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆),则该几何体的表面积是
.参考答案:20+3π【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题;空间位置关系与距离.【分析】由几何体的三视图,知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体,下半部分是半径为1,高为2的圆柱的一半,由此能求出该几何体的表面积.【解答】解:由几何体的三视图,知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体,下半部分是半径为1,高为2的圆柱的一半,∴该几何体的表面积S=5×22+π×12+=20+3π.故答案为:20+3π.【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.16.命题“”的否定为
▲
.参考答案:,17.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=
.参考答案:2考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得要求的式子为()?(),再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果.解答: 解:∵已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=0,故=()?()=()?()=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2,故答案为2.点评:本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量垂直的性质,属于中档题.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知在函数的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.(1)求a的值和切线l的方程;(2)设曲线y=f(x)在任一点处的切线倾斜角为α,求α的取值范围.参考答案:【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)f′(x)=x2﹣4x+a,由题意知,方程x2﹣4x+a=﹣1有两个相等的根,即可求a的值;求出切点坐标,可得切线l的方程;(2)由(1)知k=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1≥﹣1,即可求α的取值范围.【解答】解:(1)f′(x)=x2﹣4x+a,由题意知,方程x2﹣4x+a=﹣1有两个相等的根,∴△=(﹣4)2﹣4(a+1)=0,∴a=3此时方程x2﹣4x+a=﹣1化为x2﹣4x+4=0,得x=2,解得切点的纵坐标为,∴切线l的方程为,即3x+3y﹣8=0.(2)设曲线y=f(x)上任一点(x,y)处的切线的斜率为k(由题意知k存在),则由(1)知k=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1≥﹣1,∴由正切函数的单调性可得α的取值范围为或.19.(本题满分12分)一个四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,且PA垂直平面ABCD(1)求三棱锥P-BCD的体积;(2)求四棱锥P-ABCD的全面积参考答案:由所给三视图可知该几何体为四棱锥,为正方体的一部分如图所示.(1)V=(2)全面积S=2+.20.设函数(Ⅰ)当时,求的单调区间;(Ⅱ)若当时,求的取值范围。
参考答案:解:(Ⅰ)时,。当时;当时,;当时,。故在,单调增,在单调减。(Ⅱ)(不能使用分离变量法)令,则。若,则当时,,为增函数,则,从而当时.若,则当时,,为减函数,则,从而当时<0,与题意不符(舍去).
综上所述,得的取值范围为略21.近年来,某地雾霾污染指数达到重度污染级别.经环保部门调查,该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因.某科研单位进行了科技攻关,将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品.已知该项目每年投入资金3000万元,设每年处理工厂废气量为x万升,每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c(x)万元,其中c(x)=.设该单位的年利润为f(x)(万元).(I)求年利润f(x)(万元)关于处理量x(万升)的函数表达式;(II)该单位年处理工厂废气量为多少万升时,所获得的利润最大,并求出最大利润?参考答案:【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(I)利用f(x)=xc(x)﹣3000,即可得出结论;(II)分段讨论,0<x≤50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980,x=32时,f(x)max=f(32)=92;x>50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣(2x+),利用基本不等式,可得结论.【解答】解:(I)0<x≤50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980,x>50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣﹣2x+640,∴f(x)=;(II)0<x≤50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980,x=32时,f(x)max=f(32)=92;x>50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣(2x+)≤400,当且仅当2x=,即x=60时,f(x)max=f(60)=400,∵400>92,∴该单位年处理工厂废气量为60万升时,所获得的利润最大,最大利润为400万元.22.已知椭圆()上的点P到左、右两焦点的距离之和为,离心率为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在同时满足①②两个条件的直线l①过点;②存在椭圆上与右焦点F2共线的两点A、B,且A、B关于直线l对称.参考答案:(Ⅰ),∴,∵,∴,,椭圆的标准方程为.……………………4分(Ⅱ)假设存在符合条件的直线,①当直线与轴重合时,两点A、B可位于长轴两个端点,符合条件.此时的方程为;
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