2022-2023学年江西省九江市湖口中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年江西省九江市湖口中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列说法中正确的是（）A．当a＞1时，函数y=ax是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是合情推理B．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理C．命题的否定是￢P：?x∈R，ex＞xD．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A，当a＞1时，函数y=ax是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是演绎推理；B，在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是类比推理；C，“＜“的否定是“≥“；D，若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小；【解答】解：对于A，当a＞1时，函数y=ax是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是演绎推理，故错；对于B，在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是类比推理，故错；对于C，命题的否定是￢P：?x∈R，ex≥x，故错；对于D，若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，正确；故选：D2.设,那么“”是“”的（▲）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A3.已知集合,，则

A．

B．

C.

D．参考答案：D4.广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：广告费x23456销售额y2941505971由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2参考答案：C【考点】线性回归方程．【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．【解答】解：由题意，=4，=50．∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．∴当x=10时，=10.2×10+9.2=111.2．故选：C．5.设变量满足，则的最大值和最小值分别为A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D7.已知中，若，且，则

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.△ABC中，点P满足，则△ABC一定是（）A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.钝角三角形参考答案：B9.在等比数列{an}中，已知a1=，a5=9，则a3=（）A．1 B．3 C．±1 D．±3参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的性质可知，，可求【解答】解：∵a1=，a5=9，由等比数列的性质可知，=1∴a3=±1当a3=﹣1时，=﹣9不合题意∴a3=1故选A10.已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an+12=an+22+an2，则a6等于（）A．16 B．8 C．4 D．参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】，可得数列为等差数列，利用通项公式即可得出．【解答】解：∵，∴数列为等差数列，首项为1，公差为3．则=1+3×5，a6＞0，解得a6=4．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知上的投影为

.参考答案：312.已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n，则an=

.参考答案：13.已知定义在R上的函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．参考答案：【分析】先根据构造差函数，再根据条件化为一元函数，利用导数确定其单调性，最后根据单调性解不等式，解得结果.【详解】由，可得，即.因为，所以问题可转化为恒成立，记，所以在上单调递增.又，所以当时，恒成立，即实数的取值范围为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.14..已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)的值为___________参考答案：2设，，故.15.某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为_____．参考答案：5416.理：已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，,若=0，则=

.参考答案：-2，17.命题“”的否定是_______。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2016?广元一模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a≠b，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c=，siniA=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A﹣）=sin（2B﹣），由A≠B，可得2A﹣+2B﹣=π，进而可求C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A+B=，结合sinA=，可得A，B的值，求得sin的值，利用正弦定理可求a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．∴﹣=sin2A﹣sin2B，…2分可得：cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，可得：sin（2A﹣）=sin（2B﹣），…4分∵△ABC中，a≠b，可得A≠B，∴2A﹣+2B﹣=π，∴A+B=，可得：C=…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A+B=，∵sinA=，可得：A=，B=，…8分∴sin=sin（+）=，…10分∵c=，由正弦定理，可得：a=，…11分∴S△ABC=acsinB=…12分（注：解法较多，酌情给分，直接sin=sin75°=的也给分）【点评】本题考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等．19.已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为，且过点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）为坐标原点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点，，若，求△的面积.参考答案：解（Ⅰ）依题意有，．故椭圆方程为．………………５分（Ⅱ）因为直线过右焦点，设直线的方程为.联立方程组消去并整理得．（*）故，．．又，即．所以，可得，即．方程（*）可化为，由，可得．原点到直线的距离.所以．

………………13分

略20.已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，函数g（x）=|2x﹣1|．（1）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求实数a的最大值；（2）若当x∈R时，f（x）+g（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】3R：函数恒成立问题；3H：函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据|2x﹣a|+a≤6，得a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，解出x的范围，求出a的范围即可；（2）f（x）+g（x）≥3等价于|1﹣a|+a≥3，通过讨论a的范围，确定a的范围即可．【解答】解：（1）由g（x）≤5?|2x﹣1|≤5，得﹣2≤x≤3，又f（x）≤6?|2x﹣a|+a≤6，得a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，故a﹣3≤x≤3，a﹣3≤﹣2，则a≤1；故a的最大值是1；（2）当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+a|+|1﹣2x|≥|2x﹣a+1﹣2x|+a=|1﹣a|+a，当x=时“=”成立，故x∈R时，f（x）+g（x）≥3等价于|1﹣a|+a≥3①，a≤1时，①等价于1﹣a+a≥3，无解，a＞1时，①等价于a﹣1+a≥3，解得：a≥2，故a的范围是[2，+∞）．21.将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝xixj．问：⑴当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；⑵进一步地，对任意1≤i，j≤5有≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值.说明理由．参考答案：解：(1)首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。若x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝2006，且使S＝xixj取到最大值，则必有

≤1

(1≤i，j≤5)

………(5分)

(*)事实上，假设(*)不成立，不妨假设x1－x2≥2，则令x1￠＝x1－1，x2￠＝x2＋1，xi￠＝xi(i＝3，4，5)．有x1￠＋x2￠＝x1＋x2，x1￠·x2￠＝x1x2＋x1－x2－1＞x1x2．将S改写成S＝xixj＝x1x2＋(x1＋x2)(x3＋x4＋x5)＋x3x4＋x3x5＋x4x5同时有S￠＝x1￠x2￠＋(x1￠＋x2￠)((x3＋x4＋x5)＋x3x4＋x3x5＋x4x5．于是有S￠－S＝x1￠x2￠－x1x2＞0．这与S在x1，x2，x3，x4，x5时取到最大值矛盾．所以必有≤1，(1≤i，j≤5)．因此当x1＝402，x2＝x3＝x4＝x5＝401时S取到最大值．

……(10分)⑵当x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝2006，且≤2时，只有（I）

402，402，402，400，400；（II）

402，402，401，401，400；（III）

402，401，401，401，401；

三种情形满足要求．

……(15分)而后两种情形是由第一组作xi￠＝xi－1，xj￠＝xj＋1调整下得到的．根据上一小题的证明可知道，每次调整都使和式S＝xixj变大．所以在x1＝x2＝x3＝402，x4＝x5＝400时S取到最小值．………(20分)22.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点。（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围。参考答案：【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．H5H8（1）；（2）