“隐圆”四大模型

模型一、四点共圆类型一、两对角互补【例1】如图1，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PDBC，PEAC，则DE的最小值为____图1图2【简答】因为PEC=PDC=90°，故四边形PDCE对角互补，故P、D、C、E四点共圆，如图2，EOD=2ECD=120°，要使得DE最小，则要使圆的半径最小，故直径PC最小，当CPAB时，PC最短，此时易求得DE=【例2】如图，已知△ABC中，ACB=90°，AC=4，BC=3，CPB=-A，过点C作CP的垂线，与BP的延长线交于点Q，则CQ的最大值为【简答】△ABC是一个确定的三角形，CPB=A，点P在△ABC的外接圆上运动，∵CQCP，△ABC~△PQC，即△PQC的形状是确定的，大小在变化，且，即，要使CQ最大，只需PC最大，很明显当PC为圆的直径时最大，最大值为5，此时CQ=【练习】1．如图，已知矩形ABCD中，AB=12，BC=5，点P是边CD上的一动点（不与C、D重合），过P作PGAB于点G，过G作GMAP于点M，作GNBP于点N，连接MN，则MN的最大值为;当MN取得最大值时，DP的长为。如图，在△ABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，O为AB的中点，过O作OEOF，OE、OF分别交射线AC，CB于E、F，则EF的最小值为。3.如图，在边长为12的菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BAO=60°，点E为AB上一动点，过点E作EPAD于点P，EQ//AC交BD于点Q，连接PQ，△DPQ周长的最小值是。类型二、动点到定点等于定长【例1】如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若CAD=76°，则CBD=度。图1图2【简答】如图2，因为AB=AC=AD，故B、C、D三点在以A为圆心，AB为半径的圆上，CBD=CAD=38°【例2】如图1，长2米的梯子AB竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB的中点P的移动轨迹长度为。图1图2【简答】由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P到定点O的距离始终等于1，满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆心角为90°，轨迹长度为四分之一圆的长度，即.【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为。【简答】DG为定长，.点G的运动轨迹为圆（要求AP+PG，典型的"将军饮马"问题），做A关于BC的对称点A'，则AP+PG=A'P+PG，当A'、P、G三点共线时，AP+PG最短，又∵A'为固定点，G在圆上运动，可知当A、G、D三点共线时，A'G最短，为4.【例4】如图1，在Rt△ABC中，C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是。图1图2【简答】E是动点，导致EF、EC、EP都在变化，但是FP=FC=2不变，故P点到F点的距离永远等于2，故P在半径为2的OF上运动，如图2.过F作FHAB于H，交OF于点，则当P与重合时，P到边AB的距离最小，又∵△AFH~△ABC，，即,又∵，故，即P到边AB距离的最小值为1.2。【练习】1.已知四边形ABCD，AB//CD，AD=BD=CD=3，BC=2，则AC的长为。2.如图，在Rt△ABC中，C=90°，E是直角边AC的中点，F是直角边BC上的一个动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠，得到△，D是斜边的中点，连接CD.若AC=6，BC=8，则C'D的最小值是.3.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，P为BC边上一动点，以直线AP为对称轴将△ABP翻折得到△AB'P，当DB'最小时，线段CP长为4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=，B=60°，点E为线段BC上一动点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠，得到△AFE，连接CF，DF，则△CDF面积的最小值为。5.如图在Rt△ABC中，B=90°，C=30°，AB=1，D为线段AC上一动点，将△BDC沿着BD翻折，点C的对应点为F，E为AC的中点，在D从C到A的运动过程中，当EF最短时，CD=。6.如图，菱形ABCD的边AB=4，B=60°，P是AB上一点，BP=，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为，当的长度最小时，CQ的长为.类型三、直角所对的是直径【例1】如图1，Rt△ABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有APBP，则线段CP长的最小值为。图1图2【简答】如图2，因为APBP，P=90°（定角），AB=6（定弦），故P在以AB为直径的OH上，当H、P、C三点共线时CP最短，HB=3，BC=4则HC=5，故CP=5-3=2.【例2】如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE=CF，过点B作BGEF于点G，连接AG，则AG长的最小值是。【简答】连接AC、BD交于点O，易证O是EF的中点，∵BGEF于点G，BGO=90°，作△BGO的外接圆OM，则G在OM上运动，当A、G、M三点共线时，AG的长最小，∵OM=，OA=，根据勾股定理求得AM=，.AG长的最小值是.【练习】1.如图，Rt△ABO中，ABO=90°，AB=4，BO=2.以AB为边作正方形.ABCD.点M是边BC上一动点，连接AM，过O作AM的垂线，垂足为N，连接CN.则线段CN的最小值是。2.如图，在等腰RtAABC中，ACB=90°，AC=BC=4，点D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CHBD于点H，连接AH，则AH的最小值为。3.如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且ABE=BCE，点P是.B边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为。4.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M、N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则PC长的最小值为。类型四、定弦对定角同弧（同弦）所对的圆周角相等定弦对定角（锐角）定弦对定角（钝角）【例1】如图1，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足APC=150°，则线段PB长度的最小值为。【简答】因为AC定长、APC=150°定角，故满足"定弦定角模型"，P在圆上，圆周角APC=150°，通过简单推导可知圆心角AOC=60°，故以AC为边向下作等边△AOC，以O为圆心，OA为半径作圆O，P在圆O上。当B、P、O三点共线时，BP最短.【例2】如图1所示，边长为2的等边△ABC的顶点B在x轴的正半轴上移动，BOD=30°，顶点A在射线OD上移动，则顶点C到原点O的最大距离为【简答】因为AOB=30°（定角），AB=2（定弦），作△AOB的外接圆圆Q，圆心角AQB=60°，可知OC<OQ+QC，当O、Q、C三点共线时，OC取得最大值.【例3】已知如图△ABC，BC=2m（定值），BAC=（一般是我们常见的60°、90°、120°等）.（1）求△ABC面积的最大值;（2）求△ABC周长的最大值。【简答】（1）定弦BC对定角，A的运动轨迹为圆弧，作△ABC的外接圆圆O，当A点处于A'时，高最大，则面积最大，这时△ABC为等腰三角形，，（2）延长BA到D，使得AD=AC，连接CD，则D=，定边BC对顶角θ，作△BCD的外接圆ΘO，则AB+AC=AB+AD=BD≤BE=（BE为直径），的最大值为，从而△ABC周长的最大值为。【练习】1.如图，点E是矩形ABCD内一点，且AEB=60°，AB=，AD=6，则线段DE的最小值是。2.如图，已知四边形ABCD中，AD=2，B=D=60°，对角线ACAD，则BD的最大值为。3.如图，△ABC为等边三角形，AB=2.若P为△ABC内一动点，且满足PAB=ACP，则线段PB长度的最小值为。4.如图，在边长为的等边△ABC中，AE=CD，连接BE，AD相交于点P，则CP的最小值为。5.如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，ABC=60°，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动，连接AM、BN，求△APB周长的最大值。6.如图，圆O半径为6，弦AB=6，点P为优弧AB上一动点，ACAP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是。7.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=60°，ADC=75°，对角线BD=2，则四边形ABCD的面积的最小值为。类型五、定角定高【例1】已知△ABC中，锐角ABC=α（定值），BDAC于D，BD=m（定值），求AC的最小值.（用含α、m的代数式表示）【简答】作△ABC的外接圆圆O，∵ABC=α是定值，所以点B可以看做在圆O上运动，由于AC的长是不定的，所以圆O的半径是不定的，设圆O的半径为r.作OHAC于H，则H为AC的中点，根据圆周角定理可知AOH=ABC=α，，，，，解得的最小值为，当B、O、H三点共线（即H与D重合）时取得最值。【拓展延伸】若将上题中的ABC改为钝角，且仍为定值，处理方法也是一样的，例如∶已知△ABC中，ABC=120°，BDAC于D，BD=5，求△ABC面积的最小值.【简答】作△ABC的外接圆圆O，连接OA、OB、OC，过O作OHAC于H，ABC=120°，易求得AOH=60°,设圆O的半径为r，则，解得，AC的最小值为∵△ABC面积的最小值为【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4，AD//BC，B=60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且EAF=60°，则△AEF的面积是否存在最小值?若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。【简答】图中有角含半角模型，因此我们想到旋转的方式来处理，将△ADF绕A点顺时针旋转120°，得△ABF'，则EAF'=60°，易证△AEF'△AEF，作△AEF'的外接圆圆O，作OHBC于点H，AGBC于点G，则F'OH=60°，AG=，设圆O的半径，则，，，的面积最小值为。定角定高，周长最小问题【例3】某地举办大型灯光秀表演，点A处是一个镭射灯，距离城墙（直线1）30米，镭射灯发出两根彩色光线（AB、AC）夹角为60°，两根光线与城墙的两个交点分别为B、C，那么△ABC的周长有没有最小值?若有，求出最小值;若没有，请说明理由。【分析】BAC=60°为定角，△ABC的高AH=30为定高，此题若是求BC的最小值，就简单了，和前面的题做法一样，但是要求△ABC周长的最小值，我们就要做如下转化∶在上取点E、F，使得BE=BA，CF=CA，连接AE、AF，通过简单的倒角可知EAF=120°为定角，AH为定高，这样就可以求出EF的最小值，而EF的长恰好等于△ABC周长，这样问题就解决了，剩下的步骤和前面的题目都一样了。【简答】作△AEF的外接圆圆O，连接OA，设圆O的半径为r，则OA≥AN=AH+OM，，，从而即△ABC周长的最小值为米.【练习】1.如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，E为BC边上一动点，F、G为AD边上两个动点，且FEG=45°，则线段FG长度的最小值为。2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=10，点E、F均在AD上，且EBC+FCB=90°，则四边形BEFC的面积最大值为。3.已知矩形ABCD，AB=10米，BC=18米，P为AB上一点，且AP=4米，E、Q分别为BC、AD上的点且满足QPE=60°，求△QPE面积的最小值.4.如图，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形ABCD中，BAD=45°，B=D=90°，CB=CD=，点E、F分别为边AB、AD上的点，若保持CECF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值;若不存在，请说明理由。5.已知等边△ABC，点P是其内部一个动点，且AP=10，M、N分别为AB、AC边上的两个动点，求△PMN周长最小时，四边形AMPN面积的最大值。模型二、定角定周“定角定周”三角形的三种处理手段1

、转化为“定弦定角”延长CB

至D，使得BD=AB，延长BC至E，使得CE=AC，则DE的长等于△ABC

的周长，设BAC=α，则ABC+ACB=180°-α，则D+E=，为定角，这样就转化为我们熟悉的“定弦定角”模型了，点A在圆O的弧DE上运动。2

、转化为“定角定高”作△ABC

的旁切圆⊙O

，则△ODB≌△OEB

，△ODC≌△OFC，∴BD=BE，CD=CF，∴AE+AF等于△ABC

的周长，又∵△AOE≌△AOF

，∴AE=AF

，为定值。∵∠BAC

为定角，∴∠OAF=∠OAE

，为定角，∴OD=OE=OF

，为定值，设，则，3、转化为"定角动弦"在BA的延长线上截取AD=AC，则BD=BA+AC，∴△ABC的周长转化为BD+BC，而∠D=∠ACD=∠BAC，为定角，则D在圆O上运动，由于BC和BD都不定，但BD+BC为定值，根据BD的最值可求出BC的最值。【例题分析】【例1】已知△ABC的周长为，∠ACB=60°，求AB的最小值。解法一∶【简答】作△ABC的旁切圆圆O，则CE+CF=，∴CE=CF=,∵∠ACB=60°，∴∠OCF=∠OCE=30°，∴OD=OE=OF=6,易求得∠AOB=60°，（下面又是定角定高的套路了）如图2，作△AOB的外接圆圆Q，设半径为r，则0Q+QHOD，∴，解得r≥4，∴AB=，∴AB的最小值为.图2解法二∶【简答】在AC的延长线上截取CD=CB，则AC+CB=AD，连接BD，则∠D=作△ABD的外接圆圆O，则D在优弧ADB上运动，连接OA、OB，则∠AOB=2∠D=60°，∴△AOB为等边三角形，设AB=m，则OA=m，即圆O的半径为m，∵△ABC的周长为，∴AD=，当AD过圆心O时，AD最大，最大值为2m，∴AD≤2m，∴≤2m，∴m≥，即AB的最小值为.【练习】已知△ABC的周长为，∠B=60°，BD为AC边上的高，求BD的取值范围。2.已知△ABC的周长为，∠A=60°，试求△ABC面积的最大值。模型三、定角定中线【模型解读】如图，在△ABC中，∠BAC的大小是定值，中线AD的长为定值，满足以上条件的三角形称为“定角定中线”三角形。这类模型其实是“定弦定角”隐形圆的变形，解决办法是通过倍长中线法，将其转化为我们更熟悉的“定弦定角”模型。【例题分析】【例1】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，D是BC边的中点，AD=2，求△ABC面积的最大值。【简答】延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE，∵AD=2，∴AE=4,易证AC//BE，∵∠BAC=45°，∠ABE=135°，（则△ABE是一个定弦定角三角形）易证△ACD△EBD，∴，要使△ABC面积的最大，只需△ABE面积最大，（这时大家应该比较熟悉了，"定弦定角"求面积最大值，下面是常规套路）作△ABE的外接圆圆O，连接OA，OE，过B作BHAE，连接OD并延长，交圆O于B'，∠ABE=135°，∠AOE=90°，∵AE=4,∴OA=OE=