Chapter 3 测量误差与数据处理

建筑环境测试技术第三章测量误差与数据处理BuiltEnvironmenttestingtechnology12第三章测量误差与数据处理概述误差分类误差合成与分配数据处理1．掌握测量误差的概念及测量系统的选择方法

2．了解测量误差的分类及误差的性质3．了解测量误差的来源4．掌握测量误差的评价指标及数据的处理方法

本章目标3在实际测量中，由于测量仪器不准确、测量手段不完善、环境影响、测量操作不熟悉及工作疏忽等因素，导致测量仪表的测量值与被测量的真值之间会存在一定的差值，这个差值成为测量误差。说明：真值是指需要测量的物理量所具有的客观存在的量值，是无法测得的。在实际测量中常用高精度的测量值或平均值代表真值。1.测量误差的概念43.1概述（1）绝对误差：测量值X和真值X0之差为绝对误差。记为：

反映测量值与真值的偏离程度和方向。

（2）相对误差：测量的绝对误差和真值的比值。记为：

反映实验结果的精确程度。2.误差的表示方法53.1概述（3）测量仪表的基本误差：

=最大绝对误差量程×100%

（4）测量仪表的允许误差：仪器的基本误差不应超过某一规定值，这一规定值称为仪表的允许误差。62.误差的表示方法3.1概述基本误差不应超过允许误差；允许误差去掉百分号的值为仪表的精度等级。对于同一精度仪表，窄量程仪表产生的绝对误差小于宽量程仪表的绝对误差。绝对误差基本误差相对误差允许误差基本误差是系统误差的一种；仪表精度只用于估计基本误差尽可能选择量程较小的仪表，

使测量值在满刻度的2/3左右精度72.误差的表示方法3.1概述例2：某台测温仪表的标尺范围0~500℃，精度等级为1.0级，已知校验时其最大绝对误差值为6℃，问该仪表是否合格？解：∵δj>δk，∴不合格该仪表实际精度等级为1.5级。例1：仪表1:量程范围0～500℃,0.5级；

仪表2:量程范围0～100℃,1.0级。仪表选择时，在满足测试要求的前提下，尽可能选择小量程的仪表。83.1概述例3：某台0~1000℃的温度显示仪表，工艺上要求指示误

差不超过7℃，问如何确定仪表的精度等级？解：

选择0.5级的仪表可满足要求。小结根据校验数据，判断仪表是否合格：δj≤δk(基本误差不超过允许误差)根据工艺要求，选择仪表精度等级：δk≤δ’j(允许误差不超过要求的误差)（精度等级：0.005、0.01、0.02、0.04、0.05、0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、4.0、5.0等）93.1概述例4：欲测量约90V的电压，实验室现有0.5级0～300V和1.0级0～100V的电压表，试问选择哪一种电压表测量最好。

【解】用0.5级0～300V测量，相对误差：用1.0级0～100V测量，相对误差：如果量程选择适当，1.0级仪表进行测量比0.5级仪表测量可能更准确。小结已知量程与精度，对比仪表性能：计算相对误差或绝对误差大小。103.1概述课堂测验111、测量某一管道的压力P1=0.235MPa，误差为∆P1=0.002MPa；测量另一管道的压力P2=0.855MPa，误差为∆P2=0.004MPa。试问哪一个压力的测量效果好？2、测量某一管道压力0.832MPa，其测量值的相对误差要求不超过2.0％。现有精度2.0级、1.0级、1.0级三个压力测量仪表，测量范围分别为0～1.0MPa、0～1.5MPa、0～2.0MPa，试问选用哪块表较合适？12课堂测验1、答：相对误差越小，精度越高。相对误差为：0.002/0.235×100%=0.851%；0.004/0.855×100%=0.468%。第二个压力值测得的示值相对误差更小。因此，第二个测量精度高，测量效果好。13课堂测验2、答：由题可得，其允许最大误差∆X=2.0%×0.832=0.01664MPa；分别计算这三个仪表的测量误差：精度等级为2.0级的测量仪表的最大绝对误差∆Xmax1=2.0%×1=0.02MPa；精度等级为1.0的测量仪表的最大误差∆Xmax2=1.0%×1.5=0.015MPa；精度等级为1.0的测量仪表的最大误差∆Xmax3=1.0%×2=0.02MPa。因此，精度等级为1.5的测量仪表更合适。按测量误差的性质分：1）系统误差确定系统误差不确定系统误差2）随机误差/偶然误差服从正态分布，可用概率统计方法处理。3）粗大误差测量人员粗心大意、操作不当等造成。坏值或异常值修正估计剔除143.2误差分类误差的分类和鉴别方法分类误差产生的原因误差的鉴别系统误差仪器结构不良；周围环境的改变测量值总往一个方向偏，或呈周期性变化；误差的大小和符号几乎相同随机误差某种难以控制的偶然因素造成误差不会超出一定的范围；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；绝对值相等的正、负误差出现机会相同；比真值大的测量值与比真值小的测量值出现的概率相等粗大误差粗心或操作不当造成测量结果与事实不符；认真操作可以消除153.2误差分类①校准测量仪器。②恰当选择仪器的量程和精确度。③完善实验原理。④进行多次重复实验，求其平均值。⑤以图像法代替公式法处理实验数据。⑥改进实验方法。减小误差的方法163.2误差分类

无系统误差，测量正确度高。（如图２.2ａ所示）。

存在恒定系统误差，误差大小和方向不变。（如图2.2b所示）。

存在累增（减）系统误差。随着测量时间的增加，误差变大（小），基本呈线性变化。（如图2.2ｃ所示）。存在周期性系统误差，误差大小和符号有规律地周期变化。（如图2.2ｄ所示）。系统误差的性质173.2误差分类单峰性——绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多，即误差的概率与误差的大小有关。对称性——绝对值相等的正误差或负误差出现的次数相当，即误差的概率相同。有界性——极大的正误差或负误差出现的概率都非常小，即大的误差一般不会出现，误差落[-3,3]的概率为0.9973。低偿性——随着测量次数n→∞，偶然误差的算术平均值趋近于零。随机误差服从正态分布规律，特征如下：随机误差的基本特征183.2误差分类称为高斯误差分布定律，亦称为误差方程。式中，σ为标准误差。曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。由概率知识可知：误差出现在±σ内的概率为68.3％，出现在±2σ内的概率为95.5％，而出现在±３σ内的概率为99.7％。因此，当误差大于3σ的，可以认为是由于过失误差或实验条件变化未被发觉等原因引起的，应予以舍弃。这种判断可疑实验数据的原则称为３σ准则。可疑观测值的舍弃式中σ——标准误差，

e——自然对数的底。随机误差的基本特征3.2误差分类δf(δ)①δ绝对值越小，愈大，说明绝对值小的误差出现的概率大。②大小相等符号相反的误差出现的概率相等。③σ愈小，正态分布曲线愈尖锐，σ愈大，正态分布曲线愈平缓。说明σ反映了测量的精密度。随机误差的基本特征203.2误差分类仪器、工具误差；人员误差；外界环境误差；方法误差；如：某人使用某种仪器根据某种方法在某种环境中进行测量。人员误差仪器误差方法误差环境影响误差测量误差产生的原因213.2误差分类

在对某一被测量进行多次测量时，由于随机误差的存在，其测量结果会各不相同，只能对其真值作最佳估算，即所谓的最优概值。

标准误差：极限误差：测量的标准误差：设n个测量值为x1、x2……xn，则这组测量值的标准误差σ等于式中—残差或剩余误差，，称为此式称贝塞尔公式。根据它可以由剩余误差求测量列的标准误差。贝塞尔公式1.测量误差的评价指标223.3误差合成与分配服从正态分布的直接测量值的最优概值就是这组测量列的算术平均值

，可以推得算术平均值的标准误差。算术平均值的标准误差：1.测量误差的评价指标233.3误差合成与分配测量的极限误差：

从概率论中得知，随机误差落在〔－3σx，3σx〕区间内概率为99.7％，而落在外面的只有0.3％，即每测得1000次其误差绝对值大于3σ的次数仅有3次。

因此，在有限次的测量中，就认为不出现大于3σ的误差。故把3σ定为极限误差。当在测量中出现绝对值大于3σ的误差测量值，就认为该测量值属于粗大误差，而予以剔除。工程意义1.测量误差的评价指标243.3误差合成与分配

最优概值的极限误差1.测量误差的评价指标253.3误差合成与分配随机误差的合成：

随机误差的合成，经常采用标准差合成。若测量结果中有q个彼此独立的随机误差，各单次测量误差的标准方差分别是，则q个独立随机误差的综合效应是它们方和根，综合后误差的标准差为：在计算综合误差时，经常用极限误差合成，只要测量的次数足够多，可按正态分布来处理，极限误差为：合成后的极限误差：

2.误差的合成263.3误差合成与分配

确定系统误差的合成：①代数合成法：已知各系统误差的分量的大小及符号，可采用各分量的代数和求得总系统误差，即

又称已定系统误差，是指测量误差的大小、方向和变化规律是可以掌握的。只要是已定的系统误差，都应当用代数的方法计算其合成误差。

当系统误差纯属于定值系统误差（大小和符合确定）时，可直接将大小相等、负荷相反的量修正测试结果，修正后该些项就不存在了。2.误差的合成3.3误差合成与分配27

②绝对值合成法：在测量中只能估计出各系统误差分量的数值大小，但不能确定其符号时，可采用最保守的合成方法，绝对值合成法。

确定系统误差的合成：2.误差的合成283.3误差合成与分配

③

方和根合成法：在测量中只能估计出各系统误差分量的数值大小，但不能确定其符号时，且系统误差分量又比较多（m>10），误差分量可以相互抵消一部分。采用绝对值估计过大。

确定系统误差的合成：2.误差的合成293.3误差合成与分配

①

系统不确定度线性相加，得到总的不确定度，即：会将误差估计过大，一般在p≤9时，才能应用此方法。②

方和根合成法：当p＞10时，可采用方和根合成法。

不确定系统误差又称未定系统误差，指测量误差既具有系统误差可知的一面，又具有不可预测的随机误差一面。

不确定系统误差的合成：2.误差的合成303.3误差合成与分配

由系统误差不确定度ei算出标准差σi,再取方和根合成，即：为置信系数。在一般科学与工程领域不确定系统误差项q很少超过10，所以，对不确定系统误差采用线形相加法比较合适。

随机误差和系统误差的合成：

在测量结果中，一般既有随机误差又有系统误差，其综合误差如下：

不确定系统误差的合成：2.误差的合成313.3误差合成与分配

在科学实验中，有许多量是无法直接测量的，只能通过直接测量后，在进行函数计算才能确定。由直接测量量代入公式计算得到的结果称为间接测量，由于直接测量存在误差，因此由计算得到的间接测量量也存在误差，这就是误差传递。

研究间接测量误差，就要分析直接测量的误差量是怎样通过已知的函数关系传递到间接测量结果中的？应该怎样估计间接测量值的误差？

3.间接测量的误差传递323.3误差合成与分配

函数系统误差的传递公式为独立的测量量；为待测物理量。在直接测量存在误差时，将使间接测量具有误差，其关系式为：如果函数连续且可微，则可将上式用泰勒级数展开，取一阶近似，成为式中

函数误差；各直接测量值的误差；各个误差的传递系数。3.间接测量的误差传递333.3误差合成与分配函数的一般形式为，各个测量量都进行了n次测量。如果对间接测量的测量列同直接测量一样定义测量列的标准误差，有：式中

函数标准误差；直接测量值的标准误差；称为随机误差传递公式。为真值则

函数随机误差的传递公式3.间接测量的误差传递343.3误差合成与分配

等作用分配误差

误差分配是在已知总误差的前提下，合理分配各误差分量的问题。当规定了间接测量的总误差不能超过某一规定值时，可以利用误差传递公式来求各测量量的误差允许值，从而满足间接测量误差的要求。误差分配一般按以下方法进行：等作用原则就是认为各个部分误差对函数误差的影响相等，则；如各直接测量量的误差满足上式，则所有的间接误差不会超过允许误差的给定值。4.间接测量的误差分配353.3误差合成与分配

按可能性调整误差

按等作用原则分配误差可能会出现不合理的情况。这是因为计算出来的各个局部误差都相等，对于其中有的测量量要保证它的测量误差不超过允许范围是比较容易实现的。而对于其中另外的测量量由于要求的测量误差太小，势必要采用高精度仪表，获增大测量次数及成本代价，或技术上很难实现。

因此，在等作用原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现的测量误差项适当扩大，对容易实现的缩小。4.间接测量的误差分配363.3误差合成与分配误差调整后，应按照误差合成公式计算实际误差；若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小；若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直至满足要求。

验算调整后的总误差4.间接测量的误差分配373.3误差合成与分配【例题】试设计一个简单的散热器热工性能实验装置，利用下式计算散热量：设计工况为：

，要求测量误差不大于10％，需要如何配置仪表。【解】①根据误差传递公式，写出相对误差关系式。由题意可知，这是间接测量问题，直接测量参数为热水流量Ｗ和进出口水温t1，t2。为简单起见，设W，t1，t2是相互独立且为正态误差分布，ρ，c为常量，误差为0。根据误差传递公式可以写出：依正态分布写成误差限，两边除以Q2，则：383.3误差合成与分配②将题意给定的总误差分解，初步估计直接测量误差限。由题意已知，要求测量的误差限：故应满足：显然，可能有无穷多解。根据误差等作用原则。令：则：以此作为初选仪表的依据。393.3误差合成与分配③配置测量仪器。现有测量范围为40～400L/h，精度为1.5级的浮子流量计，可用于水流量的测量；还有0～100℃，允许误差为1℃的玻璃水银温度计，用于测量水温。首先，判断可能的测量误差：流量误差：根据所给的条件，上述浮子流量计的最大测量误差为：在设计工况下，流量为50L/h时，该流量计的相对误差最大值为：超出按照误差等作用原则给出的初选指标Ｄ≤5.8％，应重新选择精度更高仪表。温度测量：根据所给的条件，设计工况规定的温差t1-t2＝25℃，则温差测量的相对误差为：403.3误差合成与分配温差测量的相对误差没有超出初选的指标。如果按照这种仪器配置，总误差将为12.2％，不满足要求。为此，重新选用40～400L/h的浮子流量计，使其精度提高为1.0级。这时，流量的最大测量误差为：

该流量计的相对误差最大值为：较初选指标略高，但考虑到温度测量精度的余量，仍可能满足精度。进行复核结果：符合设计要求，故选用仪表可用。413.3误差合成与分配

有效数字概念

有效数字是由准确数字和存疑数字组成，存疑数字一般只取一位。（1）在第一位非0数字左边的“0”不是有效数字，而在非0数字中间的“0”和右边的“0”是有效数字。（2）有效数字与测量误差的关系：一般规定误差不超过有效数字末位单位数字的一半。因此有效数字的末位数字位为“0”时，不能随意删除。（3）若用“10”的方幂来表示数据，则“10”的方幂前面的数字都是有效数字。（4）有效数字不能因选用的单位变化而改变。1.数据处理的基本知识423.4数据处理有效数字举例二位0.00101.51.2×103三位32.0540±72.30×103四位31.033.551732.0五位2139.062.0011.2000六位121.0541.2661472.5000433.4数据处理

有效数字概念

有效数字是由准确数字和存疑数字组成，存疑数字一般只取一位。1.数据处理的基本知识

数据的舍入规则，当只需要N位有效数字时，对N+1位及其后面各位数字就要根据舍入规则进行处理，规则有：（1）“四舍六入”：（2）当N+1位为5时，看N位的奇偶性，偶数后面舍弃，奇数N+1。3.1416→3.14

2.7384→2.74

9.376→9.38

124.5→124

0.5234→0.523

1.335→1.34“四舍六入，五凑双”仪器仪表精度，只入不舍，0.0316—0.04443.4数据处理

有效数字概念1.数据处理的基本知识我们对有效数字的运算作如下规定：（1）在加减计算中，有两种方法：方法一：先将各数据小数点后的位数处理成与小数点后有效数字位数最少的数据相同后再进行计算。例如：将24.65，0.0082，1.632三个数字相加时，应写为：

24.65+0.01+1.63=26.29方法二：先将各数据小数点后的位数处理成比小数点后最少有效数字多一位的数据，再进行计算，最终取最少小数位。

例如：先最多保留为三位小数再相加，应写为：24.65+0.008+1.632=26.291.数据处理的基本知识

有效数字运算453.4数据处理（3）其他运算。乘方，开方的有效数字与原数的有效数字多一位。如：（2）在乘除运算中，先将各数据处理成与有效数字位数最少的数据相同或多一位后再进行计算，运算结果的有效数字位数也应处理成与有效数字位数最少的数据相同。例如：0.0121×25.64×1.05782应写成0.0121×25.6×1.06=0.328。上例说明，虽然这三个数的乘积为0.32818231，但只应取其积为0.328。463.4数据处理1.数据处理的基本知识

有效数字运算测得一组数据具体处理过程如下：①求出直接测量量的最优概值：直接测量最优概值为该组测量值的算术平均值：②计算每一测量量的剩余误差：

③计算标准误差：2.直接测量值的整理473.4数据处理④判断有误异常数据：如果测量中出现剩余误差予以剔除.重复上述工作，直至无异常为止⑤计算算术平均值的标准误差：

⑥写出测量结果的表达形式：

（置信度为68.3%）

（置信度为99.7%）2.直接测量值的整理483.4数据处理例题：对某未知电阻进行了15次测量，测量值如下表所示，求最优概值及误差。序号1105.30.090.00812104.94-0.270.07293105.630.420.17644105.240.030.00095104.86-0.350.12256104.97-0.240.05767105.350.140.01968105.16-0.050.00259105.710.500.250010104.70-0.510.260111105.360.150.022512105.210.000.000013105.19-0.020.000414105.210.000.000015105.320.110.0121∑1578.1501.00563.4数据处理【解】（1）计算被测量的最优概值：

（2）计算每一测量值的剩余误差，如表中所示；

（3）计算被测量值的标准误差：503.4数据处理

（4）根据：判别有无的情况，查表得无；

（5）计算最优概值（平均值）的标准误差：

（6）测试结果的表达形式：

（置信度为68.