管理类《核反应堆物理》第3部分(反应堆临界理论)

第3部分反应堆临界理论核电厂管理类员工核电基础理论培训——《核反应堆物理》主要内容3.1均匀裸堆的单群理论3.2有反射层的均匀堆3.3非均匀反应堆3.1均匀裸堆的单群理论均匀：由于严格按实际的非均匀堆进行中子扩散或输运方程求解，非常复杂。实际计算都作“均匀化”处理，即认为：堆内的燃料、慢化剂、冷却剂及结构材料等是均匀混合的。裸堆：没有反射层的反应堆；中子源：有增殖介质；单群理论：把热中子反应堆内的所有中子都看成是热中子，忽略中子能量的影响。双群理论：比单群更精确的模型，把热中子划为一群，快中子为一群。基本概念单群扩散方程在由燃料-慢化剂构成的有限大小的均匀裸堆系统的芯部，单位时间、单位体积内产生的中子数为：得到：

根据无限介质增殖系数的定义：考虑启动过程的独立的外中子源并利用斐克定律，得单群扩散方程：根据前面章节所得单群中子扩散方程：无限平板堆的单群扩散方程解用D除上式各项，并注意到L2=D/∑a，得到：这是一个二阶偏微分方程，通常用分离变量法求解：左端是x的函数，右端是t的函数，两端必须均等于某一常数，令为-B2,得方程组：扩散方程：无限平板堆的单群扩散方程解所得方程可改写为：容易得出其通解为：由于初始通量密度关于x=0平面对称，所以：由边界条件:要求:A不能为零,所以：或Bn2称为特征值，对应一系列满足方程的特征函数。n=1的称为基波本征函数，n>1的统称为谐波本征函数。所以：典型的波动方程！无限平板堆的单群扩散方程解讨论时间相关项方程的解：对应一确定Bn，有一确定的Tn(t)，用L2/(1+Bn2L2)乘以上式，有：其中：方程的解：对应每个n：是满足方程的解，其线性组合也是原问题的解：无限平板堆的单群扩散方程解其中Cn和An为待定系数，利用余旋函数系的正交关系可求得：代入上式，得：随时间变化项知:n=1时，B1最小，k1最大。由：无限平板堆的单群扩散方程解（1）当k1<1,所有kn-1都小于1，通量密度按指数规律衰减，无法维持一个恒定中子通量密度分布.（3）k1等于1，这时只有对应n=1的一项不随时间变化，其余随时间衰减.（2）当k1>1,这时所有kn-1中至少有一项大于1，通量密度按指数规律增加，反应堆也无法维持一个恒定中子通量密度分布.上面三种情况分别对应次临界、超临界和临界，如图所示。无限平板临界理论对于临界的反应堆，随着时间变大，除去第一个模态(n=1)外的所有模态(n>1)都衰减了。渐进的（或持久的）中子通量密度取决于n=1的模态。于是有：临界系统中的中子通量密度分布为：几何曲率：系数A由功率条件决定。无限长平板堆单位面积所对应的体积所发出的功率为：重要结果两个重要结果：裸堆单群近似的临界方程：当反应堆处于临界状态时，中子通量密度按最小特征值所对应的基波特征函数分布，即稳态反应堆的中子通量密度空间分布满足波动方程：重要结果分析由临界方程：满足临界方程。显然，给定系统的材料组成，即给定：另一方面，若尺寸给定，必须调整堆芯燃料成分，使可以得到临界尺寸，对无限平板堆，临界方程为：则只有唯一的尺寸a0满足临界方程。重要结果分析来讨论临界方程中各项的物理意义：是热中子在扩散过程中的不泄漏几率。不泄漏几率PL定义为：中子泄漏率=根据于是：和前一章的临界条件完全一样，即k1就是前面定义的的反应堆有效增殖系数k。

可发现：可以看出：从不泄漏几率：反应堆的中子泄漏与几何曲率有关。从平板状反应堆的例子中可以看到，当反应堆体积增大时，就减小，因而正如所预期的那样，不泄漏几率也就增大。同样，扩散长度L愈大，意味着中子自产生到被吸收所穿行的距离也愈大，因而从反应堆中泄漏出去的几率也就增大，不泄漏几率PL就要变小。重要结果分析以及设有如图所示一维石墨慢化反应堆，k∞=1.06，L2=300cm2，试求：（1）临界时反应堆的厚度H和中子通量密度的分布(设外推距离为2cm)；（2）设取H=250cm，试求反应堆的有效增殖系数k。解：（1）根据临界条件:可得临界反应堆的几何曲率为：所以:Bg=0.01414cm-1,根据Bg=π/a,有:由外推距离d=2cm,可求得临界时反应堆的厚度为:例题:H=a-2d=222.2-4=218.2cm根据无限平板型均匀裸堆单群扩散方程的解:得临界时中子通量密度分布为:（2）若H=250cm，则反应堆的几何曲率：反应堆的不泄漏几率PL和有效增殖系数k分别等于：例题:第一类问题：给定反应堆材料成分(k∞、L2

给定)，确定临界尺寸。与临界方程等价的临界条件根据临界方程:等式左端的几何曲率:只与反应堆的形状和大小有关.等式右端k∞和L只与反应堆芯部材料特性有关.把右边记作:称为反应堆的材料曲率.反应堆临界条件可表述为：材料曲率等于几何曲率，即:例题总结:上述例子演示了临界问题中要解决的两类问题。第二类问题：给定反应堆形状尺寸，确定材料成分。由于型状尺寸给定，为已知条件，例题总结:实际计算中，在反应堆材料成分和几何尺寸均给定情况下，求有效增殖系数k和反应性ρρ=0，反应堆处于临界ρ>0，反应堆处于超临界ρ<0，反应堆处于次临界这样，材料成分（一般是燃料的浓缩度）便可确定。

若反应堆的有效增殖系数k=0.90，计算反应堆的反应性。解：核电厂常用反应性单位：PCM1PCM=10-5（△k/k）即:1＄=100￠（1元等于100分）1＄=700PCM讨论反应堆动态问题时,反应性常用“元”为单位：＄1元反应性为1个βeff(有效缓发中子产额,若为0.007△k/k)例题总结:有限高圆柱形均匀裸堆设一有限高圆柱形均匀裸堆,高为H,半径为R,采用圆柱形坐标,坐标原点位于轴线的半高度上.拉普拉氏算符的表达式为:中子通量密度分布是对称的,与θ无关,有限高圆柱均匀裸堆的波动方程可以写为:边界条件：(1)不计外推长度时,反应堆外边界上中子通量密度为零;(2)中子通量密度分布对称.代入方程有限高圆柱形均匀裸堆采用分离变量法，令：上式等号左边只与r有关，等号右边只与z有关。因为r和z是两个彼此无关的独立变量，要使改式保持相等关系，只有两边都是常数才行。该常数记为a2，则得到:得到：来看方程：有限高圆柱形均匀裸堆由边界条件:方程的解为：其中，C1，C2是两个待定常数。J0(x)，Y0(x)分别是零阶第一类及第二类贝塞尔函数，它们随x的变化见图所示。有限高圆柱形均匀裸堆再来看方程：令：化为零阶贝塞尔方程：该方程的通解为：零阶贝塞尔函数图有限高圆柱形均匀裸堆当x＝0时，J0(0)＝1，而Y0(0)→-∞，而r＝0处堆内中子通量密度有限，所以C2＝0。则上式可写成：有限高圆柱形均匀裸堆由边界条件：正如前图所示，在x＝x1，x2…等处，函数J0(x)为零，即J0(xn)＝0。故必须取如下的本征值：讨论方程的解：与此同时，当反应堆达到临界时，只有n＝1这个本征值才有物理意义。即：因为：所以：临界时，r向的中子通量密度分布为：综上分析，有限高圆柱形均匀裸堆的中子通量密度分布公式为：有限高圆柱形均匀裸堆公式中常数A的确定：取环状体积元

，在(r,z)处该体积元所发出来的功率为：从0到R对r积分，从-H/2到H/2对z积分可得到功率：代入中子通量密度的表达式，上式可化为：有限高圆柱形均匀裸堆裸堆由直径为2.54cm的天然铀金属长棒排列成栅距为0.152m的正方形栅格并悬挂在圆柱形容器内所组成。容器内盛有重水作为慢化剂。堆芯的高度、直径之比为1.2。由材料的性质已知＝8.6m-2。试估算使这一反应堆刚好临界的天然铀质量。例题：解：有限高圆柱堆的几何曲率为：因为H/(2R)＝1.2,即H＝2.4R代入：对于临界反应堆：所以：R2=0.8721m2，R=0.93m，H=2.4R=2.4x0.93=2.23m

燃料棒位于栅距为0.152m的正方形栅格节点上。因此每根棒分得的有效面积为0.0231m2。堆芯的横截面积为：

R2＝

(0.93)2＝2.72m2。所以燃料棒数为：2.72/0.0231≈117.6。每根棒的直径为2.54cm，其长度和堆芯相同，即2.23m。燃料棒体积V为：例题(续)：金属铀的密度＝19.0x103kg/m3，所以燃料总质量为：m＝V＝0.132×19×103＝2.51×103kgm3一般说来，对于无限长有限厚的平板堆，临界时，其厚度应满足：或对于有限高圆柱堆，临界时，其高度H与半径R须满足：因为临界时：该式只给出R与H的关系而不能给出确定的值。但如果再加上一个条件，即要求最小临界体积，便能从式中解得所谓最佳半径或最佳高度。反应堆的体积为V＝

R2H，临界尺寸临界尺寸将R2值代入体积表达式并求V的极小值，令：具有最小临界体积的圆柱均匀堆，要求直径与高大致有0.5的关系。

实际动力堆堆芯尺寸投入运行年电站或核船名称输出功率/MWe堆芯高×直径/m1972施塔德6302.99×3.051972缅茵·杨基7933.6×3.51973哈钦森岛18253.5×3.51974勇士11303.66×3.31976比布利斯11803.9×3.61962萨瓦娜号核商船1.7×1.61968奥托·哈恩号核商船1.12×1.151991秦山一期核电厂3002.90×2.4861995大亚湾核电厂9003.65×3.362002秦山三期7005.945×6.2862006田湾10003.53×3.16中子通量密度分布不均匀系数中子通量密度分布不均匀系数定义为堆芯最大热中子通量密度与堆芯平均热中子通量密度的比值，即：最大中子通量密度平均中子通量密度对于圆柱堆r=0处，其中子通量密度最大，即:圆柱体积:平均中子通量密度:不均匀系数:有限高圆柱堆的中子通量密度分布不均匀系数:中子通量密度分布不均匀系数中子通量密度分布径向不均匀系数：中子通量密度分布轴向不均匀系数：不同堆芯几何形状的临界均匀裸堆的曲率、中子通量密度分布与最小体积比较表均匀堆的中子通量密度表堆芯几何形状尺寸几何曲率中子通量密度分布系数A最小体积无限平板厚1.57-长方体3.88无限高圆柱半径R2.32-有限高圆柱半径R高H3.64球体半径R3.29双群扩散理论

一群扩散理论简单，只能给出近似结果，采用一群扩散理论来分析将会带来较大的偏差。能群数越多，计算结果越准确，然而计算量是相当大的。需要结合堆型综合权衡。对于热中子堆，利用双群可得到较好的结果。堆型重水堆压水堆高温气冷堆快中子反应堆能群数1-24

46-18不同类型反应堆采用的离散化能群的数目能群序号中子能量范围能区名称中子谱1(10-0.821)MeV高能区裂变谱20.821MeV-5.53keV中能区1/E谱35.53keV-0.625eV共振能区1/E谱＋修正40.625eV-0eV热能区麦克斯韦尔谱PWR少群能量划分堆内中子按能量划分成两群：热中子归为一群，简称热群；高于热能的中子归为一群，简称快群；两群分界能对于水堆约为0.6至1电子伏。在热中子堆内，快群中子主要是热中子所引起的裂变产生，它又通过慢化和泄漏而消失；而热中子则来源于快群中子的慢化，由于吸收和泄漏而消失。因此，根据中子平衡关系可列出反应堆稳态时芯部的快群及热群的扩散方程为：双群扩散理论下标1,2代表快群和热群。∑r为快群的移出截面，∑1→2为快群到热群的散射截面。扩散系数及所有的中子截面都是经中子能谱平均后的平均值。

求解该方程，可得反应堆内双群中子通量密度的典型分布曲线，如图：

突起的原因：反射层的热中子吸收较小，慢化能力较强。双群扩散理论用双群扩散理论，有效增殖系数k为：其中，Ps为快中子在慢化过程中的不泄漏几率，Pd为热中子扩散过程的不泄漏几率。两者的定义为：双群理论的临界方程为：对于大型反应堆，很小，若略去项，则得到：式中，M2=τ+L2，这样便得到了修正单群理论的临界方程。来看双群理论的临界方程为：双群扩散理论快群参数慢化剂DF/m

FT/m-1

/10-4m2H2O0.01134.1927D2O0.01290.985131Be0.005620.551102石墨0.010160.276368双群扩散理论热群参数慢化剂密度/103kg/m3DT/m

aT/m-1/10-4m2H2O1.00.00161.978.1D2O1.100.00872.9x10-33.0x104Be1.850.0050.104480石墨1.600.00842.4x10-23500双群扩散理论例题设一轻水冷却圆柱形反应堆堆芯，其核参数为：求：（1）设堆芯高度H=3.55m，试求堆芯的临界半径。（2）如果给定堆芯半径R=1.56m，求反应堆的有效增殖因数为多少？（1）求出反应堆堆芯的外推距离：m根据修正单群理论，材料曲率为：几何曲率为：由例题解答m（2）反应堆的有效增殖因数R=1.56m，几何曲率为有效增殖因数为：例题解答3.2有反射层的均匀堆反射层的定义：包围在反应堆芯部外面用以反射从芯部泄漏出来的中子的物质称作反射层。反射层的作用：（1）减少芯部中子的泄漏，使芯部临界尺寸比无反射层小，节省然料；（2）提高反应堆的平均输出功率；

反射层材料的要求：（1）散射截面∑s大；（2）吸收截面∑a要小；（3）慢化能力要强。常用的反射层材料有：水、重水、石墨和铍等。反射层的作用反射层节省在芯部包有反射层以后，芯部临界大小的减少量称为反射层节省，用δ表示。对球形反应堆：δ=R0-R对圆柱形反应堆：径向反射层节省：轴向反射层节省：用等效裸堆的几何曲率表示：影响反射层节省的因素？以球形堆为例。球形反应堆的反射层节省δ可以表示为：T为反射层厚度，Lr为反射层中的中子扩散长度。分两种情况讨论:（1）反射层厚度很小，即T<<Lr，反射层节省可以写成：δ≈T（2）反射层很厚，即T>>Lr，这时于是：δ≈Lr

即反射层厚度增加到一定值后，反射层节省δ就达到一个常数值。反射层节省反射层对中子通量密度分布的影响反射层节省反射层对径向和轴向中子通量密度分布的影响：反射层节省反照率描述不同物理性质介质在交界面上粒子的入射和反射的情况。是描述出射该介质的中子占入射该介质的中子的份额。是一个中子通过介质表面入射并从此表面返回的几率。主要用来描述堆芯和反射层交界面处的边界条件。根据斐克定律，反照率可以表示成：在进行堆芯物理计算时，在堆芯和反射层