静动态多目标连续体拓扑优化模型

静动态多目标连续体拓扑优化模型

0小化和互变能最大化多目标模型连续结构优化被认为是结构优化研究领域的热点和难点之一。目前,结构拓扑优化设计主要以单目标优化问题作为研究对象,而多目标优化研究相对较少。左孔天等提出结构整体柔顺度最小化和结构输出位移最大化的多目标微型柔性机构设计方法。罗震等在柔顺结构拓扑优化建模中,提出应变能最小化和互变能最大化多目标模型;在某巡航导弹的结构设计中,提出静态柔顺度和动态特征值序列分层的优化策略。刘加光等基于模糊集理论体现目标函数期望值的模糊性和不确定性,以静态刚度和动态特征值加权目标建立连续体结构静动力多目标优化模型。潘晋等应用多目标拓扑优化技术得到轻质卫星结构。彭细荣等基于独立连续映射(independentcontinuousmapping,ICM)法建立静位移和频率多约束的重量最小化模型。针对静动态多目标拓扑优化问题,提出以静态柔顺度或节点位移和动态特征值加权多目标优化模型。规一化目标函数消除了不同性质目标函数数值量级上的差异。在连续体结构拓扑优化建模中,以节点独立变量为设计变量,保证设计变量场的连续性,在连续体结构拓扑描述上克服了棋盘格现象,同时方法在单元刚度阵、质量阵和单元体积建模中具有灵活性。结合数字图像过滤技术,进一步改善目标函数的光滑性。通过数值算例对模型和方法进行验证。1模型和求解方法1.1连续体拓扑优化的有限元模型节点独立变量定义为表征节点有无状态及其变化过程的闭区间上的实数,其中0和1分别对应节点的无和有状态。与单元变密度法对比,节点独立变量保留设计变量连续可微的优点,但与单元变密度法不同之处在于两点,即变量的独立性和节点有无表征性。独立性特点指以独立于具体物理参数的数学变量表征节点有无,将拓扑变量从挂靠于微孔尺寸、平面厚度和单元密度等低层次变量抽象出来。连续介质点i处的物理量采用区间内连续光滑的插值函数建立与设计变量xi的关系,把本质上的0-1离散变量映射为区间内的连续变量,i点处的弹性模量Ei、密度ρi采用不同的插值函数表示Ei=fE(xi)E0i‚ρi=fρ(xi)ρ0i(1)式中E0i是初始弹性模量,ρ0i是初始密度。fE(xi),fρ(xi)分别表示弹性模量和密度插值函数,采用固体各向同性惩罚插值模型有fE(xi)=(xi)p,fρ(xi)=(xi)q(p≥1,q≥1)(2)式中p,q分别表示弹性模量和密度惩罚因子。为避免频率拓扑优化问题中的局部模态(localizedmode)现象,对弹性模量和密度给予相同的惩罚以保持低密度区域的刚度阵和质量阵一致的衰减速度,本文算例取参数p=q=3。由式(1)～(2)得单元刚度阵ke、单元质量阵me表达式ke=∫Ωe(xe)pBΤD0BdΩ(3)me=∫Ωe(xe)qΝΤρ0ΝdΩ(4)式中D0是初始弹性矩阵,ρ0是初始密度,B是单元应变矩阵,N是单元插值形函数。由式(3)～(4)推导得总刚度阵K和总质量阵M表达式Κ=Μ∑e=1∫Ωe(xe)pBΤD0BdΩ(5)Μ=Μ∑e=1∫Ωe(xe)qΝΤρ0ΝdΩ(6)式中M是设计区域内的单元总数。根据节点独立变量定义,定义单元体积函数Ve=∫Ωe(xe)rdΩ,式中r是体积惩罚因子。总体积V表达式为V=Μ∑e=1∫Ωe(xe)rdΩ(7)节点独立变量区别于ICM法独立变量在于设计变量表征节点的有无状态。连续体拓扑优化本质上是连续介质点的有无问题,大多数的连续体结构拓扑优化方法如变密度法等基于有限元结构分析结果优化求解,使连续介质点的有无问题降格至单元的有无问题。降格处理充分利用了有限元结构分析结果,易于敏度推导和数值计算,但同时造成设计变量空间场的不连续性,而拓扑优化中的棋盘格现象正是设计变量场不连续性的表象之一。以单元变密度法为例,单元内任意一点的密度值ρe为常数,单元内任意一点的位移ue通过单元形函数插值计算得到,数学表达式为ρe=ρ‚ue=m∑i=1Νiui(8)式中m是单元节点总数,Ni是单元形函数,ui是单元节点位移。在节点独立变量法中,单元内任意一点拓扑变量值xe和位移值ue均通过单元形函数插值得到,数学表达式为xe=m∑i=1Νixi‚ue=m∑i=1Νiui(9)由式(8)～(9)对比可知,单元形函数的插值作用保证了节点独立设计变量场的连续性。根据式(9),将总刚度阵K、总质量阵M和总体积V对节点独立变量xi求偏导得∂Κ∂xi=Μ∑e=1∫Ωep(xe)p-1ΝiBΤD0BdΩ(10)∂Μ∂xi=Μ∑e=1∫Ωeq(xe)q-1ΝiΝΤρ0ΝdΩ(11)∂V∂xi=Μ∑e=1∫Ωer(xe)r-1ΝidΩ(12)1.2动态多目标拓扑模型在静态和动态拓扑优化问题中,常见的结构响应量有静态柔顺度C、节点位移uj和动态特征值λk等。由有限元平衡方程和伴随向量法易推导得到各自敏度表达式为∂C∂xi=-UΤ∂Κ∂xiU(13)∂uj∂xi=-ˆUΤ∂Κ∂xiU(14)∂λk∂xi=˜UΤk∂Κ∂xi˜Uk-λk˜UΤk∂Μ∂xi˜Uk(15)式(13)～(15)中U是静态位移向量,˜Uk是第k阶特征值对应的模态向量,伴随向量ˆU满足伴随方程ΚˆU=Γj(16)式中Γj=[0,0,…,1,…,0]T,该向量除第j个分量为1外,其余元素为0。本文静动态多目标拓扑优化以静态柔顺度或节点位移最小和动态特征值最大混合目标建立优化模型,由于不同性质的结构响应量数值具有量级上的差异,故而在优化建模时需规一化处理。设初始结构柔顺度值ˉC,节点位移值ˉuj和特征值ˉλk,静态柔顺度最小和动态特征值最大组成的多目标优化模型为minX=[x1,x2,⋯,xΜ]ΤωC(X)ˉC+(1-ω)ˉλkλk(X)s.tV/V0-f=00<xmin≤xi≤1(17)式中ω是权系数,V0和V分别表示初始和优化结构体积,f是体积比。为避免数值计算的奇异性,变量下限取值xmin=0.001。同理可得,节点位移最小和动态特征值最大组成的多目标优化模型为minX=[x1,x2,⋯,xΜ]Τωuj(X)ˉuj+(1-ω)ˉλkλk(X)s.tV/V0-f=00<xmin≤xi≤1(18)1.3非协调元和杂交元方法各类方法下的连续体结构拓扑优化结果普遍存在棋盘格现象和网格依赖性问题。前者指最优拓扑结构出现有无单元交错布置现象,后者指针对同一拓扑优化问题,优化结果随不同离散网格的不同而有所不同。罗震等将棋盘格现象归结为离散问题的解以“弱收敛”方式逼近原离散问题的真实解时出现的现象,网格依赖性则由优化解不存在或不唯一引起。Sigmund和Petersson详细综述了数值不稳定性问题常见解决方法。高阶等参元法从减小了结构分析误差入手抑制棋盘格现象,但方法增加了结构分析计算量,且无法从根本上消除该现象。袁振等将非协调元和杂交元应用于结构拓扑优化中,结合过滤法得到理想的拓扑优化结果。周长约束法通过限制结构内外边界总长度上限值抑制棋盘格现象,由于上限值需经过反复试验寻求合适值,方法不易在工程问题中推广。局部梯度法在优化模型中增加大量的单元密度梯度约束方程,从而造成优化求解的困难。过滤法将数字图像处理技术引入到拓扑优化中,尽管是一种启发式方法,但具有类似局部梯度法的效果,方法简单且易于编程实现,在连续体结构拓扑优化中得到广泛的应用。除上述方法外,小波方法、拓扑描述函数法等同样在消除数值不稳定性上取得较好的效果。本文采用节点独立变量表征节点有无,单元形函数插值作用保证了设计变量的空间连续性,从而在结构拓扑数学描述上一定程度克服了棋盘格现象。为进一步保证设计变量场的连续性,这里采用数字图像处理的过滤技术对节点变量场过滤,这样不仅能改善设计变量场的光滑性,同时使优化结果体现出网格无关性。基于过滤技术的数学表达式为˜xi=Ν∑k=1dikxi/Ν∑k=1dik(19)式中xi和˜xi分别表示过滤前后节点独立变量值。dij=max(0,r-dist(i,j)),其中r是过滤半径,dist(i,j)是节点i和节点j的距离。过滤平均效应将不可避免地产生图像扩散现象和大量的中间变量值节点,为了得到清晰光滑的拓扑优化结果,这里采用的过滤策略为:在优化的初始阶段,每轮优化迭代的结构分析前采用过滤技术以得到大致的拓扑优化构型;在基本拓扑构型的基础上,不再使用过滤技术得到精细拓扑优化构型,由于拓扑结果为节点变量分布,采用设计变量场云图方式进行结果输出。1.4启发式优化准则在拓扑优化优化求解方法中,以移动近似法和序列二次规划法为代表的数学规划法适用于多约束拓扑优化问题求解中。在单约束优化问题中,优化准则法具有收敛速度快,结构分析次数与设计变量数目和复杂程度无关等优点。为保持与常见单元变密度法一致的优化求解算法,令体积惩罚因子r=1,启发式优化准则法如式(20)所示。x(k+1)i={(B(k)i)ηx(k)iif:max(xmin,(1-m)x(k)i)<(B(k)i)ηx(k)i<min(1,(1+m)x(k)i)max(xmin,(1-m)x(k)i)if:(B(k)i)ηx(k)i≤max(xmin,(1-m)x(k)i)min(1,(1+m)x(k)i)if:min(1,(1+m)x(k)i)≤(B(k)i)ηx(k)i(20)式中Bi=max(0,-∂F(X)∂xi)l∂V∂xi‚l是拉格朗日乘子,F(X)是目标函数。上标k是迭代次数,运动极限m(0<m<1)和阻尼系数η(0<η<1)用于保证优化迭代计算的稳定性和收敛性。本文取η=0.3,m=0.1。拓扑优化迭代至∥x(k+1)-x(k)∥∥x(k+1)∥≤ε时收敛,收敛判断数取值ε=1%。2不同目标拓扑优化结果对比本节拓扑优化算例采用平面模型,算例在Matlab软件中编程实现,每个算例由有限元分析、敏度分析、优化求解、循环迭代判断、结果后处理等几部分组成。算例1短悬臂梁结构尺寸如图1所示,材料弹性模量210GPa,泊松比0.3,密度7.8×10-6kg/mm3,左边界固定支撑,集中载荷垂直作用于右边界中心点P处,载荷大小F=10KN,结构离散为48×30个矩形单元。(1)以静态柔顺度最小化为目标,40%体积比约束,根据文献,单元变密度法、含过滤操作的单元变密度法与无过滤操作下独立节点变量法下的拓扑优化结果对比如图2所示。由图2可知,含过滤操作的单元变密度法和无过滤操作的独立节点变量法拓扑优化结果类似,结果无明显的棋盘格现象,独立节点变量法拓扑优化结果边界光滑,在一定程度上消除了单元变密度法结果锯齿边界现象。(2)设载荷移至右下角,设以受力点垂直方向位移最小化为目标和与一阶固有频率最大化组成加权多目标,权系数为0.9,50%体积比约束,两种不同目标下的拓扑优化结果对比如图3所示。由图3可知,两种不同目标下的拓扑优化结果差别较大,频率最大化目标明显改变了位移最小化目标下的拓扑优化构型。算例2如图4所示的两端固支长悬臂粱,结构尺寸为140cm×20cm×1cm,材料弹性模量100GPa,泊松比0.3,密度1×10-3kg/cm3,粱中心有一大小为2kg的集中质量点,仅垂直方向具有惯性。粱的顶端面受三个垂直方向载荷作用,载荷大小为100KN,结构离散为84×12个矩形单元。以静态柔