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文档简介
2022-2023学年山西省朔州市城关乡中学高三数学文期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设a,b为实数,若复数,则()A.B.a=3,b=1C.D.a=1,b=3参考答案:A考点:复数相等的充要条件.分析:先化简,然后用复数相等的条件,列方程组求解.解答:解:由可得1+2i=(a﹣b)+(a+b)i,所以,解得,,故选A.点评:本题考查了复数相等的概念及有关运算,考查计算能力.是基础题.2.若是R上的奇函数,且在上单调递增,则下列结论:①是偶函数;②对任意的都有;③在上单调递增;④在上单调递增.其中正确结论的个数为
()A.1
B.2
C.3
D.4参考答案:3.设m,n是不同的直线,是不同的平面,下列命题中正确的是(
)
A.若m// B.若m//C.若m// D.若m//参考答案:C4.《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为(
)A.4立方丈
B.5立方丈
C.6立方丈
D.12立方丈参考答案:B由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥,三棱柱的体积为3,四棱锥的体积为2,则刍甍的体积为5.故选B.5.在中,,,且,则(
)A.
B.5
C.
D.参考答案:A6.已知、为一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中错误的是A.
B.C.
D.参考答案:C7.由函数的图象与直线及所围成的一个封闭图形的面积是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B略8.若直线y=a与函数y=||的图象恰有3个不同的交点,则实数a的取值范围为()A.{} B.(0,) C.(,e) D.(,1)∪{}参考答案:B【考点】根的存在性及根的个数判断;函数的图象.【专题】计算题;导数的综合应用.【分析】先求得函数y=||的定义域为(0,+∞),再分段y=||=,从而分别求导确定函数的单调性,从而解得.【解答】解:函数y=||的定义域为(0,+∞),y=||=,当x∈(0,e﹣1)时,y′=,∵x∈(0,e﹣1),∴lnx<﹣1,∴y′=<0,∴y=||在(0,e﹣1)上是减函数;当x∈(e﹣1,+∞)时,y′=﹣,∴当x∈(e﹣1,)时,∴y′>0,当x∈(,+∞)时,∴y′<0,∴y=||在(e﹣1,)上是增函数,在(,+∞)上是减函数;且||=+∞,f(e﹣1)=0,f()=,||=0,故实数a的取值范围为(0,),故选B.【点评】本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用.9.已知集合,,则A∩B=(
)A.(-2,1)
B.(0,1]
C.[1,5)
D.(1,5)参考答案:C由题意得:,∴故选:C10.设向量,且,则x=(
)A.1 B.-1C. D.参考答案:D【分析】由题得,解方程即得解.【详解】由题得,解之得.故选:D【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是
参考答案:略12.等差数列中前项和为,已知,,则
.参考答案:7略13.已知双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1、F2,过点F2的直线交双曲线右支于A,B两点,若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形,则△AF1F2的面积为
.参考答案:4﹣2
【答案】【考点】双曲线的简单性质.【分析】由题意可知丨AF2丨=m,丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m,由等腰三角形的性质即可求得4=(2+m),丨AF2丨=m=2(﹣1),丨AF1丨=2,由三角的面积公式,即可求得△AF1F2的面积.【解答】解:双曲线x2﹣=1焦点在x轴上,a=1,2a=2,设丨AF2丨=m,由丨AF1丨﹣丨AF2丨=2a=2,∴丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m,又丨AF1丨=丨AB丨=丨AF2丨+丨BF2丨=m+丨BF2丨,∴丨BF2丨=2,又丨BF1丨﹣丨BF2丨=2,丨BF1丨=4,根据题意丨BF1丨=丨AF1丨,即4=(2+m),m=2(﹣1),丨AF1丨=2,△AF1F2的面积S=?丨AF2丨?丨AF1丨=×2(﹣1)×2=4﹣2,△AF1F2的面积4﹣2,故答案为:4﹣2.14.已知函数,若,且,则_________________参考答案:
15.函数的定义域是
参考答案:16.函数(a>0,且a≠1)的图像过一个定点,则这个定点坐标是_________.参考答案:略17.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x﹣1,对于?x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是
.参考答案:a≥﹣1【考点】函数恒成立问题.【专题】计算题;函数的性质及应用.【分析】根据函数f(x)=|x+a|,g(x)=x﹣1,对于?x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,可得﹣a≤1,即可求出实数a的取值范围.【解答】解:由题意,函数f(x)=|x+a|,g(x)=x﹣1,对于?x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,∴﹣a≤1,∴a≥﹣1,∴实数a的取值范围是a≥﹣1.故答案为:a≥﹣1.【点评】本题考查函数恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,难度中等.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.(1)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A、B、M三点都共线;(2)若t1=a2,求当⊥且△ABM的面积为12时a的值.参考答案:解:(1)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).∵=-=(4,4),=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,∴不论t2为何实数,A、B、M三点共线.(2)当t1=a2时,=(4t2,4t2+2a2).又∵=(4,4),⊥,∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0,∴t2=-a2.∴=(-a2,a2).又∵||=4,点M到直线AB:x-y+2=0的距离d==|a2-1|.∵S△ABM=12,∴||·d=×4×|a2-1|=12,解得a=±2,故所求a的值为±2.19.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足条件:,
(1)求(2)讨论
的解的个数参考答案:(1)求出f(x)给4分
f(x)=x2-x+1(2)画出图像再给4分(3)利用图像分类讨论再给4分
其它解法自已控制。1、当a<时,方程无解2、当a=或a>1时,方程有两个解3、当a=1时方程有三个解当<a<1时,方程有四个解。20.已知f(x)=xlnx+mx,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.(1)求实数m的值;(2)设g(x)=f(x)﹣x2﹣x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点x1,x2,且x1<x2,已知λ>0,若不等式e1+λ<x1?x2λ恒成立,求λ的范围.参考答案:【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出原函数的导函数,得到f′(1),由f′(1)=1求得m值;(2)求出g(x),求其导函数,可得lnx1=ax1,lnx2=ax2,不等式e1+λ<x1?x2λ恒成立,转化为恒成立,进一步转化为恒成立.令,t∈(0,1),则不等式在t∈(0,1)上恒成立.令,求导可得满足条件的λ的范围.【解答】解:(1)f′(x)=1+lnx+m,由题意知,f′(1)=1,即:m+1=1,解得m=0;(2)∵e1+λ<x1?x2λ等价于1+λ<lnx1+λlnx2.g(x)=f(x)﹣x2﹣x+a=xlnx﹣x2﹣x+a,由题意可知x1,x2分别是方程g′(x)=0,即:lnx﹣ax=0的两个根,即lnx1=ax1,lnx2=ax2.∴原式等价于1+λ<ax1+λax2=a(x1+λx2),∵λ>0,0<x1<x2,∴原式等价于.又由lnx1=ax1,lnx2=ax2.作差得,,即.∴原式等价于,∵0<x1<x2,原式恒成立,即恒成立.令,t∈(0,1),则不等式在t∈(0,1)上恒成立.令,又h′(t)=,当λ2≥1时,可得t∈(0,1)时,h′(t)>0,∴h(t)在t∈(0,1)上单调增,又h(1)=0,h(t)<0在t∈(0,1)恒成立,符合题意.当λ2<1时,可得t∈(0,λ2)时,h′(t)>0,t∈(λ2,1)时,h′(t)<0,∴h(t)在t∈(0,λ2)时单调增,在t∈(λ2,1)时单调减,又h(1)=0,∴h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述,若不等式e1+λ<x1?x2λ恒成立,只须λ2≥1,又λ>0,∴λ≥1.21.(本小题满分12分)已知向量m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,cosωx),其中ω>0,函数2m·n-1的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求函数在[,]上的最大值.参考答案:【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值.C7,F2【答案解析】(1)(2)解析:解:(Ⅰ)2m·n-1=.
……………6分由题意知:,即,解得.…………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∵≤x≤,得≤≤,又函数y=sinx在[,]上是减函数,∴…………………10分
=.………………【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式,求出的值,再根据解析式在定义域内求出函数的最大值.22.(12分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,E,F分别是CC1、BC的中点,AE⊥A1B1,D为棱A1B1上的点.(1)证明:DF⊥AE;(2)是否存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为?若存在,说明点D的位置,若不存在,说明理由.
参考答案:考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质.专题:空间位置关系与距离;空间向量及应用.分析:(1)先证明AB⊥AC,然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz,则能写出各点坐标,由与共线可得D(λ,0,1),所以?=0,即DF⊥AE;
(2)通过计算,面DEF的法向量为可写成=(3,1+2λ,2(1﹣λ)),又面ABC的法向量=(0,0,1),令|cos<,>|=,解出λ的值即可.(1)证明:∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,∴AE⊥AB,又∵AA1⊥AB,AA1⊥∩AE=A,∴AB⊥面A1ACC1,又∵AC?面A1ACC1,∴AB⊥AC,以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,则有A(0,0,0),E(0,1,),F(,,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),设D(x,y,z),且λ∈[0,1],即(x,y,z﹣1)=λ(1,0,0),则
D(λ,0,1),所以=(,,﹣1),∵=(0,1,),∴?==0,所以
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