2022年河北省衡水市南京堂中学高三数学理联考试卷含解析

2022年河北省衡水市南京堂中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=x2﹣2x+3 C．y=ln（x+1） D．y=2参考答案：D【考点】二次函数的性质．【分析】根据对数函数，指数函数，二次函数和一次函数的性质，对A、B、C、D四个选项进行判断，从而求解．【解答】解：对于A，y=，故函数在（0，1）递增，不合题意；对于B，函数的对称轴是x=1，函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，不合题意；对于C，y=ln（x+1）在（0，+∞）递增，不合题意；对于D，函数在R递减，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了对数函数、指数函数以及二次函数，一次函数的基本性质，是一道基础题．2.设偶函数f(x)在R上对任意的，都有且当时，f(x)=2x，则f(113.5)的值是

A．

B．

C．

D．参考答案：D3.=（）

A．1 B．-1 C．i D．-i参考答案：D4.设是虚数单位，复数（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A知识点：复数代数形式的混合运算解析：复数．故选：A．【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出．

5.已知椭圆：（），左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由椭圆定义，得，所以当线段长度达最小值时，有最大值．当垂直于轴时，，所以的最大值为，所以，即，故选D．

6.设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对，有，则的取值范围是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：A若，，所以恒有，所以，成立.当，由得，若，则有，即，解得，或（舍去），此时.若，由，得，即，解得，显然当时，条件不成立，综上，满足条件的的取值范围是，答案选A.7.已知集合A={1，3，5，7，9}，B={1，3，9}，则?AB=（）A．{5，7} B．{1，3，9} C．{3，5，7} D．{1，2，3}参考答案：A【考点】补集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：集合A={1，3，5，7，9}，B={1，3，5}，则?AB={5，7}，故选：A．8.是两个不同的平面，是两条不同的直线，有命题，，，则；命题，，那么与所成的角和与所成的角相等，给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是假命题③命题“”是真命题；④命题“”是假命题其中正确的结论是(

)A.②③ B.②④ C.③④ D.①②③参考答案：A9.某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是

(

）A．不拥有的人们不一定幸福

B．不拥有的人们可能幸福C．拥有的人们不一定幸福

D．不拥有的人们不幸福参考答案：D10.以下有关命题的说法错误的是（

）A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.“”是“”成立的必要不充分条件C.对于命题，使得，则，均有D.若为真命题，则与至少有一个为真命题参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列满足，则▲

.参考答案：16

12.（坐标系与参数方程）在极坐标系中圆的圆心到直线的距离是

参考答案：113.若复数（是虚数单位），则的模=

.参考答案：略14.已知正方形ABCD的边长为1，当每个取遍±1时，的最小值是________；最大值是_______.参考答案：0

【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】要使的最小，只需要，此时只需要取此时等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正。比如则.点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题。【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.

15.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是

.参考答案：乙16.如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为

．参考答案：13根据题意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件，故得到此时输出的b值为13.

17.私家车具有申请报废制度．一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列，第一年维修费为3000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限（使用多少年的年平均费用最少）是年．参考答案：10【考点】等差数列的性质．【分析】设这辆汽车报废的最佳年限n年，年平均费用：=0.15n++1.65，利用均值定理能求出这辆汽车报废的最佳年限．【解答】解：设这辆汽车报废的最佳年限n年，第n年的费用为an，则an=1.5+0.3n，前n年的总费用为：Sn=15+1.5n+=0.15n2+1.65n+15，年平均费用：=0.15n++1.65≥2+1.65=4.65，当且仅当0.15n=，即n=10时，年平均费用取得最小值．∴这辆汽车报废的最佳年限10年．故答案为：10．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，函数f（x）=．（1）如果x≥0时，f（x）≤恒成立，求m的取值范围；（2）当a≤2时，求证：f（x）ln（2x+a）＜x+1．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）根据条件化简f（x）≤得＞0，转化为，令（x≥0）利用导数求出其最大值，即可确定m的取值范围；（2）利用分析法，要证f（x）ln（2x+a）＜x+1可转化为证，由a≤2得只需证h（t）=et﹣ln（t+2）＞0，（t=2x＞﹣2）即可，利用导数求出h（t）的最小值大于0即可得证．【解答】解：（1）∵x≥0，，∴＞0，∴．令（x≥0），∵，∴g（x）递减，∴g（x）max=g（0）=1，∴m的取值范围是[1，+∞）（2）证明：当a≤2时，p（x）=f（x）ln（2x+a）﹣（x+1）的定义域，∴x+1＞0，要证，只需证ln（2x+a）＜e2x，又∵a≤2，∴只需证ln（2x+2）＜e2x，即证h（t）=et﹣ln（t+2）＞0，（t=2x＞﹣2）∵（t＞2）递增，，∴必有t0∈（﹣1，0），使h′（t0）=0，即，即t0=﹣ln（t0+2），且在（﹣2，t0）上，h′（t）＜0；在（t0，+∞）上，h′（t）＞0，∴==，∴h（t）=et﹣ln（t+2）＞0，即f（x）ln（2x+a）＜x+1．19.已知=(2sinx,1),=(2cos(x-),),设函数-2(Ⅰ)求f(x)的最小正周期、零点；(Ⅱ)求f(x)在区间[,]上的最大值和最小值．参考答案：（Ⅰ）T==π，零点是（Ⅱ）时，函数f（x）的最小值为；

时，函数f（x）的最大值为2．20.(本小题满分16分)如图，椭圆(a>b>0)的上、下两个顶点为A、B，直线l：，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为，BP所在的直线的斜率为．若椭圆的离心率为，且过点．（1）求的值；（2）求MN的最小值；（3）随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出该定点，如不过定点，请说明理由．参考答案：（1）因为，，解得，所以椭圆的标准方程为．……………2分设椭圆上点，有，所以．…………4分（2）因为在直线l：上，所以设，，由方程知，，所以，……………………6分又由（1）知，所以，…………8分不妨设，则，则，所以当且仅当时，取得最小值．…………10分（3）设，，则以为直径的圆的方程为……12分即，圆过定点，必与无关，所以有，解得定点坐标为，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点．………16分21.已知公差不为0的等差数列{an}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列．（1）求数列{an}通项公式；（2）设数列{bn}满足bn=，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1=的正整数n的值．参考答案：【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．【分析】（1）由a2+1，a4+1，a8+1成等比数列，建立关于d的方程，解出d，即可求数列{an}的通项公式；（2）表示出bn，利用裂项相消法求出b1b2+b2b3+…+bnbn+1，建立关于n的方程，求解即可【解答】解：（1）设公差为为d，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列，∴（a4+1）2=（a2+1）（a8+1），∴（3d+3）2=（3+d）（3+7d），解得d=3，∴an=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1；（2）∵数列{bn}满足bn=，∴bn=，∴bnbn+1=?=3（﹣）∴b1b2+b2b3+…+bnbn+1=3（﹣+﹣+??+﹣）=3（﹣）=，即=，解得n=10，故正整数n的值为10．22.（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学