2022年上海七宝实验中学高三数学理联考试卷含解析

2022年上海七宝实验中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差，和是函数的极值点，则（

）A.－38 B.38 C.－17 D.17参考答案：A【分析】先用函数极值条件，来计算和，再根据等差数列性质和求和公式算出.【详解】由题，又因为公差，所以,,经计算，,所以，故选A.【点睛】本题考查函数极值和导数的计算，还有等差数列求和公式，属于综合题，但难度不高,属于中档题.2.将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin(2x－)

B．y＝sin(2x－)

C．y＝sin(x－)

D．y＝sin(x－)参考答案：C略3.若沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥，则称这样的为“和谐三角形”，设的三个内角分别为，，，则下列条件不能够确定为“和谐三角形”的是A．；

B．

C.

D．参考答案：B4.已知是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是(

)A．0

B．

C．

D．参考答案：C5.已知函数是奇函数，那么a等于

（

）

A.1

B.2

C.

D.参考答案：A6.设x，y为正数，且则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，＝2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是参考答案：【知识点】抛物线的性质；基本不等式.H7E6【答案解析】B

解析：不妨设A，B，其中，由·＝2可得：，解得（舍去），故，由此可得△AFO与△BFO面积之和为,所以，故选B.【思路点拨】先利用已知条件得到，再结合基本不等式求出最小值即可.8.若复数在复平面内对应的点在直线上，则（

）A．2 B． C．1 D．参考答案：B因为复数，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，由复数在复平面内对应的点在直线上，可得，,,故选B.

9.投掷两枚骰子，则点数之和是6的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用乘法原理计算出所有情况数，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，再看点数之和为6的情况数，最后计算出所得的点数之和为6的占所有情况数的多少即可．解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是6，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选：A．点评：本题根据古典概型及其概率计算公式，考查用列表法的方法解决概率问题；得到点数之和为6的情况数是解决本题的关键，属于基础题．10.已知集合，．则M∩N=（

）A.{0,1} B.{－1,0} C.{1,2} D.{－1,2}参考答案：C【分析】先解不等式求出，再求即可.【详解】由，解得，则.又，所以.故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的实根的个数为____________.参考答案：1略12.已知点N在圆上，点M在直线上，则的最小值为______.参考答案：3【分析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求.【详解】因为圆方程为，故圆心坐标为，则圆心到直线的距离，则直线与圆相离.故的最小值为.故答案为：3.【点睛】本题考查圆心到直线上一点距离的最值问题，属基础题.15.造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、…、A10；B0、B1、…、B10等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格.现有A0、A1、A2、…、A8纸各一张.若A4纸的面积为，则这9张纸的面积之和等于______cm2.【答案】【解析】【分析】根据题意，求出纸张的长度和宽度，构造纸张面积的等比数列，利用等比数列前项和的计算公式，即可求得.【详解】由题可设，纸的面积为，根据题意，纸张面积是首项为，公比为的等比数列，则容易知纸张的面积为，故可得，故纸张面积是一个首项为，公比为的等比数列，故张纸的面积之和为.故答案为：.【点睛】本题考查实际问题中等比数列的应用，问题的关键是要构造等比数列，属中档题.13.等差数列中前项和为，已知，，则

.参考答案：714.正项等比数列中，若，则等于______.参考答案：16在等比数列中，，所以由，得，即。15.一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是

；若表示摸出黑球的个数，则

．参考答案：16.曲线在点（0,1）处的切线方程为

。参考答案：17.的展开式中的系数为

.(用数字作答)参考答案：80三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.（Ⅰ）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；（Ⅱ）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；（Ⅲ）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.参考答案：解：（Ⅰ）所有可能的数列为；；；

…………3分（Ⅱ）由题意知数列中.

又，所以

…………4分所以，即（）

…………8分（Ⅲ）当时，由得，又所以，不满足题意；当时，由题意知数列中，又当时此时，而，所以等式成立；当时此时，而，所以等式成立；当，得，此时数列为.

当时，，而，所以不存在满足题意的数列.综上数列依次为.

…………13分

19.（本小题满分12分）已知函数的图象如图所示·(1)求f（x)在R上的单调递增区间；（2）设是函数y=f(x)的一个零点，求的值．参考答案：(Ⅰ)由图象知，，故，，即，于是由，解得．∵，且，解得．∴．…………………4分由≤≤，，解得≤x≤，，即在R上的单调递增区间为．………………6分(Ⅱ)由条件得：，即．∵且在上是增函数，

>0，>0，在上是减函数，∴，∴，………9分∴，…………………10分∴．…………12分20.已知椭圆Ω：(a＞b＞0)，过点Q(，1)作圆x2+y2=1的切线，切点分别为S，T．直线ST恰好经过Ω的右顶点和上顶点．（1）求椭圆Ω的方程；（2）如图，过椭圆Ω的右焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD．①设AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN必过定点，并求此定点坐标；②若直线AB，CD的斜率均存在时，求由A，C，B，D四点构成的四边形面积的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据直线和圆的位置关系，可求出直线ST的方程，则直线ST恰好经过Ω的右顶点和上顶点，求出a，b的值，问题得以解决利用椭圆的离心率，以及，|AB|+|CD|=3．求出a、b，即可求椭圆的方程；（2）①若直线AB，CD斜率均存在，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），根据中点坐标，以及韦达定理，即可求出k的值，即可求出点的坐标．②当当直线AB，CD的斜率均存在且不为0时，由①可知，将直线AB的方程代入椭圆方程中，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB，CD即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．【解答】解：（1）过作圆x2+y2=1的切线，一条切线为直线y=1，切点S（0，1）．设另一条切线为，即．因为直线与圆x2+y2=1相切，则．解得．所以切线方程为．由，解得，直线ST的方程为，即．令x=0，则y=1所以上顶点的坐标为（0，1），所以b=1；令y=0，则，所以右顶点的坐标为，所以，所以椭圆Ω的方程为．（2）①若直线AB，CD斜率均存在，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则中点．先考虑k≠0的情形．由得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．由直线AB过点F（1，0），可知判别式△＞0恒成立．由韦达定理，得，故，将上式中的k换成，则同理可得．若，得k=±1，则直线MN斜率不存在．此时直线MN过点．②当直线AB，CD的斜率均存在且不为0时，由①可知，将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以=．同理，，则，=，因为，当且仅当k=±1时取等号，所以，即．所以，由A，C，B，D四点构成的四边形面积的取值范围为．21.为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜欢数学不喜欢数学合计男生

5

女生10

合计

50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为。

(Ⅰ）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为，求的分布列与期望。下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：，其中)参考答案：解：(Ⅰ)列联表补充如下：

喜爱数学不喜数学合计男生20525女生101525合计302050（Ⅱ）

∴有99.5％的把握认为喜爱数学与性别有关

（Ⅲ）喜爱数学的女生人数的可能取值为。其概率分别为,,故的分布列为:的期望值为:22.

已知函数f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝．(1)求a、b、c的值；(2)试判断函数f(x)在(0，)上的单调性并说明理由；(3)试求函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值．参考答案：(1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0.即