黑河市重点中学2024届数学高一上期末质量检测试题含解析

黑河市重点中学2024届数学高一上期末质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在下列区间中函数的零点所在的区间为（）A. B.C. D.2．若，则是（）A.第一象限或第三象限角 B.第二象限或第四象限角C.第三象限或第四象限角 D.第二象限或第三象限角3．函数f(x)=-|sin2x|在上零点的个数为()A.2 B.4C.5 D.64．已知映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，则b的象为A.1，2中的一个 B.1，2C.2 D.无法确定5．在中，若，则的形状为（）A.等边三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不含角的等腰三角形6．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形A.①④ B.①③④C.②③ D.①③7．已知，则函数（）A. B.C. D.8．如果角的终边经过点，则（）A. B.C. D.9．已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为()A. B.C. D.10．已知正三棱锥P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是（）A. B.2C. D.2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________12．实数，满足，，则__________13．已知，则函数的最大值是__________14．已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那实数的取值范围为________15．设常数使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数的取值集合为________，_______16．若，则a的取值范围是___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.①；②；（2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质.求证：是偶函数；（3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.18．若实数，，满足，则称比远离.（1）若比远离，求实数的取值范围；（2）若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由.19．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调增区间；（3）若，求的值.20．已知定义域为的函数是奇函数（1）求的值;（2）判断的单调性，并用定义证明;（3）若对任意的，恒成立，求的取值范围21．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s参考数据：，（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】根据解析式判断函数单调性，再结合零点存在定理，即可判断零点所处区间.【题目详解】因为是单调增函数，故是单调增函数，至多一个零点，又，故的零点所在的区间为.故选：A.2、D【解题分析】由已知可得即可判断.【题目详解】，即，则且，是第二象限或第三象限角.故选：D.3、C【解题分析】在同一坐标系内画出两个函数y1=与y2=|sin2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的个数，进而得到函数零点的个数【题目详解】在同一直角坐标系中分别画出函数y1=与y2=|sin2x|的图象，结合图象可知两个函数的图象在上有5个交点，故原函数有5个零点故选C【题目点拨】判断函数零点的个数时，可转化为判断函数和函数的图象的公共点的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得结论，体现了数形结合在解题中的应用4、A【解题分析】根据映射中象与原象定义，元素与元素的对应关系即可判断【题目详解】映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}已知a的象为1，根据映射的定义，对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，可得b=1或2，所以选A【题目点拨】本题考查了集合中象与原象的定义，关于对应关系的理解．注意A集合中的任意元素在集合B中必须有对应，属于基础题5、B【解题分析】利用三角形的内角和，结合差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出结论【题目详解】解：由题意可得sin（A﹣B）＝1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A﹣B）＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB＝1，∴sin（A+B）＝1，∴A+B＝90°，∴△ABC是直角三角形故选：B【题目点拨】本题考查差角的余弦公式，和角的正弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题6、D【解题分析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.【题目详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误故选D【题目点拨】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.7、A【解题分析】根据，令，则，代入求解.【题目详解】因为已知，令，则，则，所以，‘故选：A8、D【解题分析】由三角函数的定义可求得的值.【题目详解】由三角函数的定义可得.故选：D.【题目点拨】本题考查利用三角函数的定义求值，考查计算能力，属于基础题.9、B【解题分析】先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值【题目详解】因为，，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知，故角的最小正值为故选：B【题目点拨】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题10、D【解题分析】可以将三棱锥侧面展开,将计算周长最小值转化成计算两点间距离最小值,解三角形,即可得出答案.【题目详解】将三棱锥的侧面展开,如图则将求截面周长的最小值,转化成计算的最短距离,结合题意可知=,,所以,故周长最小值为,故选D.【题目点拨】本道题目考查了解三角形的知识,可以将空间计算周长最小值转化层平面计算两点间的最小值,即可.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解题分析】由幂函数的定义可得m2－m－1＝1，得出m＝2或m＝－1，代入验证即可.【题目详解】是幂函数，根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f（x）＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m＝－1时，f（x）＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，所以m＝2故答案为：2【题目点拨】本题考查了幂函数的定义，考查了理解辨析能力和计算能力，属于基础题目.12、8【解题分析】因为，，所以，，因此由，即两交点关于(4,4)对称,所以8点睛：利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.13、【解题分析】由函数变形为，再由基本不等式求得，从而有，即可得到答案.【题目详解】∵函数∴由基本不等式得，当且仅当，即时取等号.∴函数的最大值是故答案为.【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14、【解题分析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果.【题目详解】作出的图象，如下图所示：∵关于的方程有且仅有一个实数根，∴函数的图象与有且只有一个交点，由图可知，则实数的取值范围是.故答案为：.15、①.②.【解题分析】利用辅助角公式可将问题转化为在上直线与三角函数图象的恰有三个交点，利用数形结合可确定的取值；由的取值可求得的取值集合，从而确定的值，进而得到结果.【题目详解】，方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点，由图象可知：当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，即实数的取值集合为；，或，即或，此时，，，.故答案为：；.【题目点拨】思路点睛：本题考查与三角函数有关的方程根的个数问题，解决方程根的个数的基本思路是将问题转化为两函数交点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.16、【解题分析】先通过的大小确定的单调性，再利用单调性解不等式即可【题目详解】解：且，，得，又在定义域上单调递减，，，解得故答案为：【题目点拨】方法点睛：在解决与对数函数相关的解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）具有性质；不具有性质；（2）见解析；（3）【解题分析】（1）根据定义即可求得具有性质；根据特殊值即可判断不具有性质；（2）利用反证法，假设二次函数不是偶函数，根据题意推出与题设矛盾即可证明；（3）根据题意得到，再根据具有性质，得到，解不等式即可.【题目详解】解：（1），定义域为，则有，显然存在正实数，对任意的，总有，故具有性质；，定义域为，则，当时，，故不具有性质；（2）假设二次函数不是偶函数，设，其定义域为，即，则，易知，是无界函数，故不存在正实数k，使得函数具有性质，与题设矛盾，故是偶函数；（3）的定义域为，，具有性质，即存在正实数k，对任意的，总有，即，即，即，即，即，即，通过对比解得：，即.【题目点拨】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.18、（1）；（2）比更远离，理由见解析.【解题分析】（1）由绝对值的几何意义可得，即可求的取值范围；（2）只需比较大小，讨论、分别判断代数式的大小关系，即知与哪一个更远离.【小问1详解】由比远离，则，即.∴或，得：或.∴的取值范围是.【小问2详解】因为，有，因为，所以从而，①当时，，即；②当时，，又，则∴，即综上，，即比更远离19、（1）；（2），；（3）.【解题分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数转化为，再利用正弦函数的周期公式求解；（2）利用正弦函数的性质，令，求解；（3）由，得到，再利用二倍角的余弦公式求解.【题目详解】（1），，，∴.（2）令，.解得：，，增区间是，.（3）∵，则，，∴，.20、（1）（2）减函数（3）【解题分析】（1）利用奇函数定义，在f（-x）=-f（x）中的运用特殊值求a，b的值；（2）根据函数单调性的定义进行证明即可；（3）结合函数的单调性和奇偶性把不等式转化为关于t的恒成立问题，最后变量分离求