2024届江苏省四校联考数学高一上期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届江苏省四校联考数学高一上期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．等于()A.2 B.12C. D.32．已知集合，且，则的值可能为（）A. B.C.0 D.13．一个扇形的弧长与面积都是5，则这个扇形圆心角的弧度数为A. B.C. D.4．设，，，则的大小关系为A. B.C. D.5．若为所在平面内一点，，则形状是A.等腰三角形 B.直角三角形C.正三角形 D.以上答案均错6．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若取3.14，则圆柱的母线长约为（）A.0.38寸 B.1.15寸C.1.53寸 D.4.59寸7．下列函数中，在区间上是增函数的是（）A. B.C. D.8．“”是“”成立的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要9．某市中心城区居民生活用水阶梯设置为三档，采用边际用水量确定分档水量为:第一档水量为240立方米/户年及以下部分；第二档水量为240立方米/户年以上至360立方米/户年部分(含360立方米/户年)；第三档水量为360立方米/户年以上部分.家庭常住人口在4人(不含4人)以上的多人口户，凭户口簿，其水量按每增加一人各档水量递增50立方米/年确定.第一档用水价格为2.1元/立方米；第二档用水价格为3.2元/立方米；第三档用水价格为6.3元/立方米.小明家中共有6口人，去年整年用水花费了1602元，则小明家去年整年的用水量为（）.A.474立方米 B.482立方米C.520立方米 D.540立方米10．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______12．设是第三象限的角，则的终边在第_________象限.13．已知函数，则=____________14．点是一次函数图象上一动点，则的最小值是______15．如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点.现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记，则_______.16．已知函数，若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点.（1）求证：PB//平面AEC；（2）求D到平面AEC的距离.18．解答题（1）；（2）lg20+log1002519．如图，四棱锥的底面是菱形，，平面，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，确定的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.20．已知函数是偶函数（1）求的值；（2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图像，讨论在上的单调性21．果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.149161（1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；（2）已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】利用对数的运算法则即可得出【题目详解】原式=故选C.【题目点拨】本题考查了对数的运算法则，属于基础题2、C【解题分析】化简集合得范围，结合判断四个选项即可【题目详解】集合，四个选项中，只有，故选：C【题目点拨】本题考查元素与集合的关系，属于基础题3、D【解题分析】，又，故选D考点：扇形弧长公式4、B【解题分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断出的取值范围，从而可得结果.【题目详解】，，，，故选B.【题目点拨】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5、A【解题分析】根据向量的减法运算可化简已知等式为，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状.详解】三角形的中线和底边垂直是等腰三角形本题正确选项：【题目点拨】本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.6、C【解题分析】先求出长方体的体积，进而求出圆柱的体积，利用求出的圆柱体体积和圆柱的底面半径为0.5寸，求出圆柱的母线长【题目详解】由题意得，长方体的体积为(立方寸)，故圆柱的体积为(立方寸).设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得，计算得：(寸).故选：C7、B【解题分析】根据函数单调性的定义和性质分别进行判断即可【题目详解】解：对于选项A.的对称轴为，在区间上是减函数，不满足条件对于选项B.在区间上是增函数，满足条件对于选项C.在区间上是减函数，不满足条件对于选项D.在区间上是减函数，不满足条件故满足条件的函数是故选：B【题目点拨】本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性，属基础题8、B【解题分析】通过和同号可得前者等价于或，通过对数的性质可得后者等价于或，结合充分条件，必要条件的概念可得结果.【题目详解】或，或，即“”是“”成立必要不充分条件，故选：B.【题目点拨】本题主要考查了不等式的性质以及充分条件，必要条件的判定，属于中档题.9、D【解题分析】根据题意，建立水费与用水量的函数关系式，即可求解.【题目详解】设小明家去年整年用水量为x，水费为y.若时，则；若时，则；若时，则.令，解得：故选：D10、C【解题分析】根据已知定义，将问题转化为方程有解，然后逐项进行求解并判断即可.【题目详解】根据定义可知：若有不动点，则有解.A．令，所以，此时无解，故不是“不动点”函数；B．令，此时无解，，所以不是“不动点”函数；C．当时，令，所以或，所以“不动点”函数；D．令即，此时无解，所以不是“不动点”函数.故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据题意求出函数和图像，画出图像根据图像解题即可.【题目详解】因为满足，即；又由，可得，因为当时，所以当时，，所以，即；所以当时，，所以，即；根据解析式画出函数部分图像如下所示；因为对任意，恒成立，根据图像当时，函数与图像交于点，即的横坐标即为的最大值才能符合题意，所以，解得，所以实数的取值范围是：.故答案为：.12、二或四【解题分析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案.【题目详解】因为是第三象限角，所以，，所以，，当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角.故答案为：二或四.13、【解题分析】由函数解析式，先求得，再求得代入即得解.【题目详解】函数，则==，故答案为.【题目点拨】本题考查函数值的求法，属于基础题.14、【解题分析】把点代入函数的解析式得到，然后利用基本不等式求最小值.【题目详解】由题意可知，又因为，所以，当且仅当即时等号成立所以的最小值是.故答案为：.15、【解题分析】设，则，利用勾股定理求得，进而得出，根据正弦函数的定义求出，由诱导公式求出，结合同角的三角函数关系和两角和的正弦公式计算即可.【题目详解】设，则，在中，，所以，即，解得，所以，所以在中，，则，又，所以.故答案为：16、【解题分析】画出函数的图象，根据互不相等，且，我们令，我们易根据对数的运算性质，及c的取值范围得到abc的取值范围，即可求解【题目详解】由函数函数，可得函数的图象，如图所示：若a，b，c互不相等，且，令，则，，故，故答案为【题目点拨】本题主要考查了对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）连接交于，连接，则可得，再由E是PD的中点，则可利用三角形中位线定理可得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由已知条件可证明，都为直角三角形，所以可求出，从而可求出的面积，然后利用等体积法可求出D到平面AEC的距离.【小问1详解】连接交于，连接，因为四边形为平行四边形，所以，因为点E是PD的中点，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，【小问2详解】因为∥，，所以，，因为平面，平面，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，在直角中，，同理，在等腰中，,取的中点，连接，则∥，，因平面，所以平面，，设D到平面AEC的距离为，由，得,所以，得，所以D到平面AEC距离为18、（1）1；（2）2.【解题分析】（1）利用对数的运算性质可求得原式=lg10=1；（2）同理可求得原式=2log55=2；【题目详解】（1）（2）lg20+log10025【题目点拨】本题考查对数的运算性质，熟练掌握积、商、幂的对数的运算性质是解决问题的关键，属于中档题19、(1)见解析(2)点为的中点【解题分析】（1）证面面垂直，可先由线面垂直入手即，进而得到面面垂直；（2）通过构造平行四边形，得到线面平行．解析：（1）连接，因为底面是菱形，,所以为正三角形.因为是的中点,所以,因为面,，∴，因为，，,所以.又,所以面⊥面.（2）当点为的中点时，∥面.事实上，取的中点,的中点，连结，，∵为三角形的中位线，∴∥且，又在菱形中，为中点，∴∥且，∴∥且，所以四边形平行四边形.所以∥，又面，面，∴∥面，结论得证.点睛：这个题目考查了线面平行的证明，线面垂直的证明．一般证明线面平行是从线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行．证明线线垂直也可以从线面垂直入手．20、（1）；（2）单调递减区间，，单调增区间.【解题分析】（1）根据三角函数奇偶性即可求出的值；（2）根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合函数的单调性进行求解即可【题目详解】（1）∵函数是偶函数，∴，，又，∴；（2）由（2）知，将的图象向右平移个单位后，得到，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到，当，，即，时，的单调递减，当，，即，时，的单调递增，因此在，的单调递减区间，，单调增区间21、（1）更适合作为与的函数模型（2）果树数量为时年利润最大【解题分析】（1）将点代入和，求出两个函数，然后将和代入，看哪