2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市高二下学期第一次月考数学（理）试题【含答案】

2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定求解.【详解】解：因为命题“”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即，故选：B2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解作答.【详解】依题意，，，所以.故选：C3．若函数的最大值为4，则函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦函数的值域和的最大值求得，再由余弦型函数的周期公式求的最小正周期.【详解】由，函数的最大值为4，则，函数的最小正周期为.故选：D4．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（

）A．和 B． C． D．【答案】C【分析】根据图像，在和上单调递增，在上单调递减，得到极大值点.【详解】根据图像，在和上，单调递增；在上，单调递减，故的极大值点为.故选：C5．设的内角的对边分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平方和关系计算出，然后根据正弦定理求出即可.【详解】在中，,因为，所以．因为，所以．根据正弦定理，可得，又，所以．故选：B.6．退休后富养自己，不是让自己无事可做，而是遵循内心去做自己想做的事情，不论是锻炼身体，还是其他兴趣爱好，以及帮扶子女，都要将日子过得有仪式感．某人即将退休，现对自己退休前后的工资分配做了详细的规划，各类费用的占比如下面的条形图和扇形图所示．

下列说法中一定正确的是（

）A．若他退休后每月的储蓄金额等于退休前每月的储蓄金额，则他退休后每月的工资和退休前每月的工资相等B．若他退休后每月旅行的费用是退休前的3倍，则他退休后每月的工资和退休前每月的工资相等C．若他退休后每月的工资是退休前的，则他退休后每月的其他费用与退休前每月的其他费用相等D．他退休前后每月的衣食住费用相等【答案】B【分析】根据条形图和扇形图对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设他退休前每月的工资为，退休后每月的工资为，对于A，若，则，所以A错误；对于B，若，则，所以B正确；对于C，若，则退休后其他费用为，所以C错误；对于D，因为他退休前后每月的工资不一定相等，所以D错误．故选：B7．利用反证法证明“若，则至少有一个小于0”时，假设应为（

）A．都小于0 B．都不小于0C．至少有一个不小于0 D．至多有一个小于0【答案】B【分析】由反证法的定义即可选出答案.【详解】利用反证法证明，应先假设结论不成立，即假设都不小于0．故选：B8．从3名男同学和3名女同学中任选4人参加社区服务，则选中的男同学不比女同学多的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用列举法写出所有的情况，找出符合条件的情况，然后根据古典概型公式代入计算概率即可.【详解】记3名男同学分别为，记3名女同学分别为，任选4人共有，，，，，，，，，，，，，，，共种不同的情况，而选中的男同学不比女同学多的有种不同的情况，所以选中的男同学不比女同学多的概率为．故选：B9．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过作，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，设二面角为，由求解.【详解】解：如图所示：

过作，垂足为，则，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．，，设平面的法向量为，则令，得．取平面的一个法向量为，设二面角为，则，所以二面角的余弦值为．故选：A10．若把正整数按下图所示的规律排序，则从2021到2023的箭头方向依次为（

）

A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓【答案】A【分析】根据图示排列得出箭头方向的周期，即可根据周期得出答案.【详解】根据图示排列可得，箭头方向的周期为4，则从2021到2023对应的方向为1到3的方向，,则箭头方向依次为．故选：A.11．已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线定义及正三角形，可得，利用双曲线定义可求解，从而求出离心率.【详解】由题知双曲线的实半轴长，虚半轴长为，设双曲线的焦距为.如图，直线与双曲线右支相交于两点，设，则，由为等边三角形，得，可得，又由双曲线的性质知，故，所以，.所以，所以，；故选：D.

12．已知定义域为的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可得的对称轴为，的周期为2，画出的图象，从而可得，利用裂项相消法可求解.【详解】因为，所以的对称轴为．因为为偶函数，所以，所以，所以的周期为2，所以的图象如图所示：

当时，方程有2个实数解，所以，当时，方程有4个实数解，所以，可知是一个首项为2，公差为2的等差数列，所以．因为，所以，故．故选：D二、填空题13．已知“”是“”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可．【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以实数a的取值范围是，故答案为：14．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为cm.【答案】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，设抛物线的标准方程为，则，解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.故答案为：15．在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为．【答案】【分析】通过类比推理可知,空间中点到平面的距离为,进而代入求解即可.【详解】类比可得点到平面的距离公式为，所以到平面的距离．故答案为：.16．已知函数，则在上的最大值为．【答案】【分析】对函数求导判断出单调性，比较极大值与端点值的大小，可得出在上的最大值.【详解】，令，得或．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，所以．故答案为：.三、解答题17．已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线的定义求解；（2）设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程；【详解】（1）因为，所以，故抛物线的方程为．（2）

易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则两式相减得，整理得．因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即.18．已知函数．(1)若曲线在点处的切线方程为，求；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程，解得即可；（2）依题意可得恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）因为，所以，因为曲线在点处的切线方程为，所以，即，解得.（2）因为，又函数在上单调递增，所以恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，即，所以，即实数的取值范围为.19．如图，四棱锥的底面为矩形，，平面平面，是的中点，是上一点，且平面.(1)求的值；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设平面与直线相交于点，根据线面平行的判定定理和性质，证得四边形为平行四边形，进而得到的值；（2）利用面面垂直的性质，证得平面，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：设平面与直线相交于点，连接，因为平面，平面，平面平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又由平面平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以分别为的中点，所以.（2）解：由四棱锥的底面为矩形，且，因为为的中点，所以，又因为平面平面，平面，且平面平面，所以平面，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为四棱锥的底面为矩形，且且，则，可得，，，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设直线与平面所成的角为，则.20．已知函数．(1)证明：在上单调．(2)用数学归纳法证明：对任意的恒成立．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，对导数进行二次求导，判断出的单调性，可求出的最值，从而证明出结论；（2）首先验证时，不等式成立；然后假设当时，不等式成立，验证时不等式也成立即可证明.【详解】（1）因为，定义域为，所以．令，则，令得，得所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故在上单调递减．（2）当时，左边，右边，左边右边，所以时原式成立．假设时原式成立，即．当时，左边．由（1）知，所以，等号在时成立．令，则，所以，所以，所以，所以，即时原式成立．综上，对任意的恒成立．21．已知椭圆的离心率是，是椭圆C上一点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，【分析】（1）由已知椭圆的离心率是，又过点，可得，直接解得，，即可得到椭圆的标准方程；（2）由直线过点，可设直线方程为，，，联立方程组，由韦达定理可得，，又，得，，再代入化简即可求解.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，由题意可得，解得，，故椭圆C的标准方程为：.（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线，，，联立，整理得，则，，，因为，所以，，所以.故为定值，该定值为.22．定义：若函数在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.(1)判断函数的2级“平移点”的个数，并求出2级“平移点”；(2)若函数在上存在1级“平移点”，求实数的取值范围.【答案】(1)1个，2级“平移点”为.