材料力学(II)第三章

第3章能量方法§3-1概述§3-2应变能·余能§3-3卡氏定理§3-4用能量法解超静定系统§3-5虚位移原理及单位力法1§3-1概述图中AB和AC杆的直径分别是d1=12mm，d2=15mm，弹性模量均为E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)2若利用外力功在数值上等于应变能，即就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计算比较麻烦。1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)x45o30oyA(b)F3利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。4(a)轴向拉（压）杆Ⅰ应变能(1)线弹性体1.基本变形形式【材料力学(Ⅰ)】利用应变能在数值上等于外力功W，可得§3-2应变能·余能5(b)扭转6(c)弯曲纯弯曲横力弯曲7可以把应变能统一写成式中，F为广义力，可以代表一个力，一个力偶，一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移，一个角位移，一对线位移或一对角位移等。8Fi为广义力，Di为Fi的作用点沿Fi方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。

3.组合变形（用内力形式表示的应变能）小变形时不计FS产生的应变能，M(x)

—只产生弯曲转角dqFN

(x)

—只产生轴向线位移dDT(x)—只产生扭转角dj2.有n个广义力同时作用时9对于dx微段，FN(x),T(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为杆的应变能为10(a)由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。4.应变能的特点:EAF2F1ab例F1F2Me11(b)应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）F和Me

同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值——简单加载。在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。上图中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)12先加F,再加Me

(图b，c)式中，F·wC,Me为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无1/2系数。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),13还可以先加Me

，再加F，得到的应变能Ve和以上的值相同。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),14因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即Ve=W，但必须注意F-D以及s-e的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。(2)非线性弹性体(3-1)应变能为（F-D曲线和D轴之间的面积）应变能密度为（s-e

曲线和e轴之间的面积）(3-2)1.轴向拉伸与压缩15应变能密度式中，Me为扭转力偶矩，j为扭转角，t为扭转切应力，g为切应变。2.扭转应变能16式中，Me为外力偶矩，q为弯曲转角，s为正应力，e为线应变。应变能密度应变能和应变能密度之间的关系为式中，V为体积。3.梁应变能17原为水平位置的杆系如图a所示，试计算在荷载F1作用下杆系的应变能。两杆的材料均线弹性弹性模量均为E,横截面面积均为A。例题3-118(1)将(1)式代入上式得(2)首先分析力F和位移D之间的关系，求出F=f(D)的表达式，然后利用求Ve。设两杆的轴力均为FN

，两杆的伸长量和A点的位移分别为例题3-1解:19由结点A的平衡方程，得由于a为小角度，(3)(4)所以(5)将(4)式代入(3)式，得例题3-120或写成(7)F

和D的关系如图b所示。将(5)式代入(2)式，得(6)杆的应变能为例题3-121(1)由于力F引起的变形

l，对FN产生影响，形成F和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非线性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时——物理非线性。例题3-1(2)几何非线性时，不能用求应变能，而只能用求应变能。22例1

求图示简支梁的变形能，并求yC

解：

1.求支反力

2.列弯矩方程

AC段：

CB段：

23例1

求图示简支梁的变形能，并求yC

解：

1.求支反力

2.列弯矩方程

AC段：

CB段：

3.求梁的变形能

4.求fC24Ⅱ.余能图a为非线性体弹性体的受拉杆，其F-D和s-e关系如图b、c所示。(1)余功的定义为(3-6)25其大小为曲面OF1a的面积如图d所示。Wc

和外力功W具有相同的量纲，且Wc

为矩形OF1aD1

的面积与曲面OaD1

的面积（W）之差（图d）,故称Wc

为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc

。FF1WcaWD1Do(d)26余能密度为(3-8)(3-7)和(3-8)式，分别以F和

s为自变量，D=f(F)，e

=f(s

)。所以Vc=f(F)为受力状态的函数。VcVeF1FD

D1

a(e)o(3)线弹性体(图e)Ve

和Vc

数值相等，但概念和计算方法不同，仿照Ve=W，余能为(3-7)(2)余能(3-9)余能为27图a中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的

s~e关系如图b

所示。求结构的余能。例题3-228由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为应力为解:该题为物理非线性问题，需用求Vc。其中。例题3-229余能密度为结构的余能为由b图所示的单轴拉伸时的s~e的关系可得例题3-230设各力和相应位移的瞬时值分别为fi、δi，各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为图示梁的材料为非线性弹性体，Fi为广义力，Di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。Ⅰ.卡氏第一定理(3-10)§3-3卡氏定理为位移状态函数。31假设与第i个荷载Fi相应的位移Di有一微小位移增量dDi，而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和应变能的增量分别为(dDi不是由Fi产生的，FidDi为常力做的功)(a)(b)式中，为应变能对位移Di的变化率。32(3-11)式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故(3-11)适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把Ve写成给定位移的函数形式。(3-11)得令33图a所示结构中，AB和BC杆的横截面面积均为A，弹性模量均为E。两杆处于线弹性范围内。试用卡氏第一定理，求B点的水平位移D1和铅垂位移D2

。例题3-334解:1.计算结构的应变能Ve

卡氏第一定理要求把应变能写成位移D1和D2的函数，D1和D2是由AB和BC杆的变形量dAB及dBC所引起的。首先分析dAB、dBC与D1和D2的几何关系。dAB=D1，dBC=D1cos45˚

=设B点只发生水平位移D1(图b)，例题3-335D1和D2同时发生时，由于是线弹性问题，结构的应变能为(2)设B点只发生铅垂位移D2(图c)，例题3-336(3)(4)可以验证(3)和(4)式相当于平衡方程。联立求解(3)和(4)，得由卡氏第一定理，得2.由卡氏定理求D1，D2例题3-337也可用结点A的位移图(图d)求dAB、dBC与D1和D2之间的关系。由图d可得例题3-3(d)38Ⅱ.卡氏第二定理图示为非线性弹性杆，Fi为广义力，Di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。设加载过程中各位移和相应力的瞬时值分别为di、fi。梁的余能为表明(1)余能定理(3-12)39令上式称为余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Fi相应的位移。(3-13)得设第i个力Fi有一个增量dFi，其余各力均保持不变，各位移均不变。余功和余能的改变量分别是40图a中两杆的长度均为l，横截面面积均为A，材料在单轴拉伸时的s－e的关系如图b所示。试用余能定理求结点C的铅垂位移D1。例题3-441解:在例题3-3中，已求出结构的余能为由余能定理得例题3-442设BC和CD杆的伸长量为d，容易验证上式的，即为变形的几何关系。两杆的伸长量为由平衡方程得则BC和CD杆横截面上的的应力为故例题3-443(2)卡氏第一定理和余能定理的比较

余能定理

卡氏第一定理Di→Di+dDi，其它位移均不变，所有的力均不变。Fi→Fi+dFi，其它力均不变，所有的位移均不变。44续表

余能定理

卡氏第一定理(平衡方程)(变形的几何关系)适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体45(3)卡氏第二定理当结构为线弹性体时，由于力F和位移D成正比，Vc在数值上等于应变能Ve（如图）。若把Ve用力表示，即(3-13)式可改写成(3-14)上式称为卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体，它将是研究的重点。VcF1FD

D1

a(e)O46它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。注意:组合变形（不计剪力的影响）时也可以写成用该式计算时，可减少计算工作量。47图示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用卡氏第二定理求梁A端的挠度wA。例题3-548因为A截面处无与wA相应的集中力，不能直接利用卡氏第二定理，可在A截面上虚加一个与wA相应的集中力F，利用卡氏第二定理后，令F=0,即这是因为为n个独立广义力的二次齐次式,其中也可以作为一个广义力。解:1.分析例题3-549

梁的弯矩方程以及对F的偏导数分别为利用卡氏第二定理，得这种虚加F力的方法，也称为附加力法。（和假设的F

的指向一致）2.求wA例题3-550图

a所示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角DqB。不计剪力对位移的影响。例题3-651

在中间铰B的两侧截面处各加一个外力偶矩

MB

，并求出在一对外力偶

MB及q共同作用下梁的支反力(图

b)。B截面两侧的相对转角，就是与一对外力偶

MB

相应的相对角位位移，即解:1.分析例题3-652梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为AB段2.求DqB例题3-653中间铰B两侧截面的相对转角DqB为结果为正，表示广义位移的转向和MB的转向一致。(0≤x≤l)()BC段例题3-654图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量D。不计剪力和轴力的影响。例题3-755解:圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即

用j角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F的偏导数分别为例题3-756

结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。利用对称性，由卡氏第二定理，得例题3-757[例11-6]轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知GIp、EI为常量。(1)扭矩和弯矩方程AF解：FFARA58(2)应变能(3)竖向位移59图a所示Z字型平面刚架中，各杆的弯曲刚度均为EI，材料为线弹性，不计剪力和轴力对位移的影响。用卡氏第二定理求A截面的水平位移DAx

及铅垂位移DAy和A截面的转角qA。例题3-860在A截面处虚加Fx和MA（图b），则解:1.分析例题3-861M(x)=-Fx-MA(0≤x≤

3a)AB段2.分段列弯矩方程，并分别对Fx、F、MA求偏导数例题3-862B

(c)M(x)F3FaxqABC段将力F向B截面简化，得到作用于B的竖直力F和力偶矩3Fa，Fx和F在垂直于BC杆方向上的分力分别为Fxsinq和Fcosq，指向如图c中虚线所示。例题3-863M(x)=Fx4a-Fx-MA

(0≤

x≤3a)CD段例题3-864由卡氏第二定理可得3.求DAx

、DAy、qA。例题3-865（）例题3-86667悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1、2两截面的挠度分别为w1和w2。试证明：w11FF2w2例题3-968证明：设作用在1、2两截面的外力分别为F1和F2，且F1=F2＝F，则梁的应变能为Ve=Ve(F1，F2)。根据复合函数求导法则，有w11FF2w2例题3-969由以上结果可知，若结构上有几个外力的字符相同时，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移时，应将该力与其它力区分开，利用卡氏定理后，再把该力用原来的字符表示。例如，求上述梁的w1时，应将1截面的力设为F1，则例题3-9w11FF2w270图a所示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求A截面的铅垂位移DAy。

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2例题3-1071由于刚架上A、C截面的外力均为F，求A截面的铅垂位移时，应将A处的力F和C处的力F区别开(图b)，在应用卡氏第二定理后，令FA=F。即解:1.分析(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2例题3-1072AB段（0≤x≤l）

M(x)=−FAx，各段的弯矩方程及其对

FA的偏导数分别为BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=−FAl，2.求DAy例题3-10(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y273CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=−FAl−Fy2，

令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得例题3-1074

图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数G=0.4E。试用卡氏第二定理求

A端的铅垂位移DAz（不计剪力对位移的影响）。FlCBAlxxyzO例题3-1175解:1.分段列弯矩方程及扭矩方程，并分别对力F求偏导数AB段的弯矩方程及其对F的偏导数分别为（0≤x≤l）（0≤y≤l）BC段的弯矩和扭矩方程及其对F的偏导数分别为例题3-1176

A端的铅垂位移为2.求DAz例题3-1177Ⅰ.卡氏第一定理()§3-4用能量法解超静定系统78图a所示各杆的弹性模量均为E，横截面面积均为A。试用卡氏第一定理求各杆的轴力。例题3-1279

设1、2、3杆的轴力分别为FN1、FN2和FN3（图b），相应的位移为D1、D2和D3（图c）。由对称性可知，FN1=FN2，D1＝D2。由图c可知：(1)若求出D3，可由(1)求出D1（D2）。再由胡克定律求出各杆的轴力。以D3为基本未知量，该题为一次超静定。解:1.分析例题3-1280(2)结构的应变能为将(4)式代入(1)得解得(4)(3)得，由2.求D1(D2)、D3例题3-1281由胡克定律得3.求各杆的轴力例题3-1282以位移作为基本未知量求解超静定问题的方法，称为位移法。(1)式为变形的几何方程，(3)式为平衡方程。求轴力时又应用了物理方程。故位移法仍然是综合考虑了平衡方程，几何关系和物理方程来求解超静定问题的。例题3-1283图a中k≥3。各杆的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1,A2

…，Ak

。试用卡氏第一定理求各杆的轴力。例题3-1384若以各杆的轴力为未知量，该题为(k-2)次超静定问题。若以A点的水平位移Dx和铅垂位移Dy为未知量，各杆的位移均可用Dx、Dy表示，再由胡克定律求出轴力，该题为二次超静定问题。解:1.分析例题3-1385由图b可知，第

i根杆的伸长量为(2)结构的应变能为(3)第i根杆的长度为(1)2.求Ve例题3-1386由，得(5)联解(4)，(5)可得Dx和Dy

。把Dx和Dy代入(2)可得Dli，由胡克定律得到第i根杆的轴力(4)3.求各杆轴力例题3-1387Ⅱ.余能定理()88三杆的材料相同，s

=Ke1/n(n>1)，横截面面积均为A，1、2两杆长度为

l。用余能定理求各杆的轴力。例题3-1489以铰链D的支反力X为多余未知力，基本静定系如图b所示，F，X看作基本静定系上独立的外力，所以Vc=Vc

(F,X)（不能含有其它未知力）因为铰链

D

处沿铅垂方向的位移为零，应有由该式求出X

后，再利用平衡方程求各杆的轴力。解:1.分析例题3-1490(1)（轴力均用F和X表示）由平衡方程得各杆的轴力分别为各杆的应力分别为(2)(3)由得2.计算结构的余能（因为该题是几何线性，而材料为非线性问题，故先计算各杆的余能密度。）例题3-1491结构的余能为三杆的余能密度分别为例题3-1492由，得将X值代入(1)，得以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。(4)式包含了平衡方程和物理方程，而，表示变形的几何关系。3.求各杆轴力例题3-1493Ⅲ.卡氏第二定理()用卡氏第二定理来解超静定问题，仍以多余未知力为基本未知量，以荷载及选定的多余未知力作为基本静定系上独立的外力，应变能只能为荷载及选定的多余未知力的函数，即变形几何关系为，

Di为和Xi的相应位移，它是和约束情况有关的已知量。9495图a所示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和力对位移的影响，用卡氏第二定理求支座约束力。例题3-15ACBqll(a)96由，得该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力FCy

为多余未知力，基本静定系如图b所示。由于Ve为荷载q及选定的多余未知力FCy的函数，即Ve=V(q,FCy)，但是在中，出现FAx(Ve

也将出现FAx)，必须把FAx用q,FCy

表示。

解:1.分析例题3-15qABlFAyFCyFCxl(b)yxFAxCACBqll(a)97CB、AB段的弯矩方程及其对X的偏导数分别为由，得2.求FCy，并由平衡求其它支反力例题3-15qABlFAyFCyFCxl(b)yxFAxC98解得（↓）和图示方向相反。其结果可以结合平衡条件求得其它支座约束力例题3-15qABlFAyFCyFCxl(b)yxFAxC99半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。例题3-16100沿半圆环的对称截面处将半圆环截开，取两个1/4圆环为基本静定系（图b)，多余未知力为轴力X1，弯矩X2，剪力X3。该题为三次超静定。(a)

但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对称的，但X3是反对称的，故X3＝0，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为F、X1、X2的函数，即解:1.分析例题3-16101与X1、X2相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零，即(b)例题3-16102弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为(c)2.求X1和X2例题3-16103注意到基本静定系为两个1/4圆环，(b)式成为(d)(e)将(c)式代入(d)和(e)式，可解得X1和X2的结果为正值，表示与假设的方向一致。例题3-16104105Ⅰ.虚位移原理(1)刚体虚位移——满足约束条件的假想的任意微小位移。虚位移原理——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的元功等于零（平衡的必要和充分条件）。§3-5虚位移原理及单位力法106(2)可变形固体——外力作用下，物体产生变形的同时产生内力虚位移——满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。虚位移原理——外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零（平衡的充要条件），即We（外力虚功）＋Wi（内力虚功）＝0(3-15)1071.梁的虚位移原理图a所示的位移为由荷载产生的实际位移，简称实位移。荷载对于其相应位移上所作的功为实功。图b所示的位移为梁的虚位移