5频域分析1频率特性基本概念

第五章线性系统的频域分析法本章的主要内容频率特性的基本概念

典型环节的频率特性

开环频率特性

奈魁斯特稳定判据

稳定裕度

闭环频率特性

频率特性分析

频率响应分析法的基本思想是：（1）把控制系统中的各个变量看成一些信号，而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的。（2）各个变量的运动就是系统对各个不同频率信号响应的总和。（3）这一思想来源于通讯科学，在通讯科学中，各种音频信号和视频信号都被看作由不同频率的正弦信号合成的。（4）这种方法于20世纪30年代被引入控制科学后，极大地推动了控制理论的发展，它克服了直接用微分方程研究系统的种种困难，解决了许多理论问题和工程问题，形成了分析和综合系统的完整方法。概述

频域分析法以控制系统的频率特性作为数学模型，以极坐标图和伯德图等图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能和稳态性能。

（1）物理意义鲜明。控制系统的运动是信号在一个一个环节之间依次传递的过程，每个信号又是一些不同频率的正弦信号合成的，这些不同频率正弦信号的振幅和相位在传递过程中，依一定的函数关系变化，就产生形式多样的运动。（2）可以用实验的方法求出对象的数学模型，特别是对于那些机理复杂或机理尚不明确而难以列写微分方程的对象。（3）应用乃奎斯特稳定判据，可不必求闭环特征方程的根，而由开环频率特性研究闭环系统的稳定性。（4）频率法的计算工作量小，这是因为它的部分工作是由作图法完成的。由于采用作图，使得这种方法比较直观，易于工程技术人员掌握。（5）频域法不仅适用于线性时不变系统，而且可以推广到某些非线性系统。频域法的优点：5.1频率特性

5.1.1基本概念下面以RC电路为例，说明频率特性的基本概念。网络的传递函数为若网络输入为正弦信号，即可得：网络的稳态输出仍是正弦电压，其频率和输入电压频率相同，幅值是输入的倍，相角比输入滞后，两者都是的函数，称为RC网络的幅频特性，称为RC网络的相频特性。稳态响应：系统响应：称为网络的频率特性，习惯上用表示，即，将频率特性和传递函数比较可知，只要将传递函数中的s以置换，即可得频率特性，即这一结论对任何稳定的线性定常系统都是正确的。5.1.2频率特性的定义

频率特性：输出信号的Fourier变换象函数与输入信号的Fourier变换象函数之比。其物理意义即反映了系统对正弦信号的三大传递能力：同频、变幅、移相。对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统的传递函数为G(s)。若：则：拉氏反变换为：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当，即稳态时：式中，分别为：即为系统的频率特性：而幅频特性为的偶函数相频特性为的奇函数实部是频率的偶函数虚部是频率的奇函数于是系统的稳态响应分量为：式中为输入信号的幅值，为输出信号的幅值上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，输入为正弦信号时，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移动了。

和都是频率的函数。

相频特性是输出信号正弦稳态响应与正弦输入信号的相位差，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性。

由此可见幅频特性是系统稳态响应的幅值与正弦输入信号的幅值之比。它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的幅值放大特性。幅频特性函数：相频特性函数：实频特性函数：虚频特性函数：

微分方程、传递函数、频率特性的关系5.1.3频率特性的几何表示方法1、极坐标图或幅相频率特性曲线（Nyquist曲线）

这种曲线的特点是把频率看成参变量，当从变化时，将频率特性的幅频和相频特性或实频和虚频特性同时表示在复数平面上。例如，以RC电路的频率特性为例，，给出一组数据：极坐标图（Nyquist曲线）：①规定实轴正方向为相角零度线，曲线逆时针方向为正，顺时针方向为负。②对于一个给定的值，必有一个幅值为、相角为的向量与之对应。如时，则有③幅相曲线实际上是当变化时，矢量的矢端在

平面上描绘出的一条曲线。根据以上表格，可以画出RC网络的幅相曲线，如下图。④由于幅频为的偶函数，相频为的奇函数，所以当时的幅相曲线对称于实轴。⑤变化时相应的向量矢端曲线可以看成是S平面上这段虚轴经的映射而来；同样，变化时相应的向量矢端曲线可以看成是S平面上这段虚轴经的映射而来。

2、对数坐标图（Bode图）对数频率特性图也称为伯德图（Bode），是由对数幅频曲线和对数相频曲线组成。对数频率特性图的横坐标是，采用以10为底的对数分度（对于频率是非线性分度），单位是rad/s。对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，按均匀分度，单位是dB，常用符号表示，即(dB)；相频特性的纵坐标为，按度（）或弧度（rad）线性分度。由于当时，无意义，对数频率特性只能表示的情况，所以由此构成的坐标系又称为半对数坐标系。1贝尔（B）=10分贝（dB）

对数频率特性图的优点：①由于横坐标采用了对数分度（对于每十倍频率范围，对数分度呈左疏右密状），所以使高频部分横坐标得到了压缩，而低频部分相对展宽。从而一方面可以扩大频率的观察范围，另外一方面又可以将低频部分放大；②可以简化运算将原来对数幅频的乘除运算，变成为了取对数以后的加减运算，从而使运算得到了简化。③方便叠加作图对数频率特性可以用分段直线的渐近线来表示，因此在进行叠加作图时，只需要在直线斜率变化时，修正直线的斜率即可，因而大大简化了作图过程，降低了工作量。5.2典型环节的频率特性5.2.1比例环节传递函数：，频率特性：，幅频特性：，相频特性：对数幅频特性：，对数相频特性：ReImK极坐标图：Bode图：5.2.2积分环节传递函数：，频率特性：，幅频特性：，幅值的大小与成反比，相频特性：，因此曲线在负虚轴上。对数幅频特性：，对数相频特性：以－20dB/dec的直线经过极坐标图：Bode图：5.2.3微分环节传递函数：，频率特性：，幅频特性：，幅值大小与成正比，相频特性：，因此曲线在正虚轴上。对数幅频特性：，对数相频特性：

微分环节与积分环节的传递函数互为倒数，对数幅频特性和对数相频特性仅差一个符号，因此它们的伯德图关于横轴对称。以+20dB/dec的直线经过极坐标图：Bode图：5.2.4惯性环节传递函数：，频率特性：，幅频特性：，相频特性：，

对数幅频特性：

上式中称为惯性环节的转折频率。惯性环节的对数幅频特性曲线可以概括为：

位于第四象限的半圆

为什么是第四象限？对数相频特性：

图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。极坐标图：Bode图：5.2.5一阶微分环节传递函数：，频率特性：，幅频特性：，相频特性：，

对数幅频特性：

上式中称为微分环节的转折频率。微分环节的对数幅频特性曲线可以概括为：

对数相频特性：

一阶微分环节的对数特性曲线与惯性环节的对数特性是依横轴成镜像对称的。

极坐标图：Bode图：5.2.6振荡环节传递函数：频率特性：

幅频特性：，相频特性：

实频特性：虚频特性：

上式中称为振荡环节的转折频率。随着由的变化，振荡环节的幅值从1开始不断减小，直至为0。但实际情况是在阻尼比，且频率为某一值时，振荡环节的幅值会超过1，可见在此频率时，振荡环节一定发生了谐振。利用高等数学中求极值的方法，可以求得谐振时的频率和谐振时的幅频峰值。可以归纳如下：对数幅频特性：谐振频率谐振峰值振荡环节的对数幅频特性曲线可以概括为：

误差修正：对数相频特性：

极坐标图：Bode图：5.2.7二阶微分环节传递函数：频率特性：幅频特性：，相频特性：实频特性：，虚频特性：