2022年山东省济南市高新区中考数学线下二模试卷

第1页（共1页）2022年山东省济南市高新区中考数学线下二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）在实数﹣，0，π，中，最大的一个实数是（）A． B．0 C．π D．2．（4分）七个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A． B． C． D．3．（4分）北京2022年冬残奥会于2022年3月4日至3月13日举行，截至2021年2月20日10时，招募志愿者工作已报名成功1030000余人，其中残障人士申请人2132人，将1030000用科学记数法表示为（）A．103×104 B．10.3×105 C．1.03×106 D．0.103×1074．（4分）如图，直线a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，已知∠1＝42°，则∠2的度数是（）A．12° B．30° C．20° D．25°5．（4分）图是赵凯同学绘制的疫情防控宣传图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．6．（4分）下列运算中，正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a2）4＝a8 C．a3+a2＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b27．（4分）计算的结果为（）A．1 B．﹣1 C． D．8．（4分）下列说法正确的是（）A．从小亮，小莹，小刚三人中抽1人参加诗歌比赛，小明被抽中是随机事件 B．要了解学校2000名学生的视力健康情况，随机抽取200名学生进行调查，在该调查中样本容量是200名学生 C．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查 D．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式9．（4分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是（）A． B． C． D．10．（4分）如图，用四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形11．（4分）2020年平阴街道进行拓宽改造，县城面貌焕然一新，拓宽后振兴街主路双向四车道16米宽，两边安装路灯，如图路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．6米 B．（8﹣2）米 C．（8﹣2）米 D．（8﹣4）米12．（4分）将函数y＝﹣x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）分解因式：4ab﹣2a＝．14．（4分）分式方程＝的解为．15．（4分）如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则的长等于．16．（4分）小明上下学的交通工，具是公交车，上学、放学都可以坐3路、5路和7路这三路车中的一路，则小明当天上学、放学坐的是同一路车的概率为．17．（4分）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．上调为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所有的时间大约是年．18．（4分）如图，已知等边△ABC边长为6，绕点B顺时针旋转60°得△BCD，点E、F分别为线段AC和线段CD上的动点，若AE＝CF，则点G到AB距离的最小值是．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：（）0+﹣|﹣3|+tan45°．20．（6分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．21．（6分）如图，矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．证明：BN＝AD．22．（8分）为了解七年级学生的长跑水平，我校对全体七年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x＜80，D.80≤x＜90，E.90≤x≤100），绘制了不完整的统计图表：（1）收集、整理数据20名男生的长跑成绩分别为：76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88．女生长跑成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89．（2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：长跑成绩平均数中位数众数男生8588.5b女生81.8a74请根据以上信息，回答下列问题：（1）①补全频数分布直方图；②填空：a＝，b＝；（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．（3）如果我校七年级有男生500名，女生400名，请估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数．23．（8分）如图，点O是Rt△ABC斜边AB上的一点，⊙O经过点A与BC相切于点D，分别交AB，AC于E，F，OA＝2，AC＝3．（1）证明：AB＝2AC；（2）求图中阴影部分的面积．24．（10分）疫情期间“一方有难，八方支援”，我市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批支援急需地区．具体运输情况如表：第一批第二批A型货车的辆数（单位：辆）12B型货车的辆数（单位：辆）33累计运输物资的吨数（单位：吨）2028备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）第三批需要运送200吨生活物资，计划同时调用A型车不超过20辆和B型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物．若A型车每辆运输成本2000元/次，B型车每辆运输成本1200元/次，请设计最省钱的派车方案，并求出最低成本．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC＝2，tan∠AOC＝1．（1）求反比例函数解析式；（2）点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC﹣PD|最大时a的值；（3）连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）已知△ACB和△EDB均为直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，直线AE与直线CD交于点M．（1）观察猜想如图①，当∠ABC＝∠EBD＝45°时，线段AE和CD的数量关系是；∠AMC＝°．（2）探究证明如图②，当∠ABC＝∠EBD＝30°时，线段AE和CD的数量关系是什么？∠AMC的度数又是多少？请说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BC＝9，BD＝6，将△EDB绕点B旋转，在整个旋转过程中，当A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线AE的距离．27．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣5kx﹣8交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，且8AO＝3CO．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，其横坐标为m，连接PC、AC、PA，PA交y轴于点D，△ACD的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在PD上（点F不与点P重合），过点F作FR⊥x轴交抛物线于点R，FR交PC于点M，连接CR，点E在CR上，连DE、PE，PE交FR于点N，若∠CDE＝∠PAB，FM：MR＝3：5，CE：ER＝3：2，求N点坐标．

2022年山东省济南市高新区中考数学线下二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）在实数﹣，0，π，中，最大的一个实数是（）A． B．0 C．π D．【解答】解：∵4＜＜5，∴﹣0＜π＜，∴最大的一个实数是，故选：D．2．（4分）七个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：这个组合体的左视图如下：故选：B．3．（4分）北京2022年冬残奥会于2022年3月4日至3月13日举行，截至2021年2月20日10时，招募志愿者工作已报名成功1030000余人，其中残障人士申请人2132人，将1030000用科学记数法表示为（）A．103×104 B．10.3×105 C．1.03×106 D．0.103×107【解答】解：将1030000用科学记数法表示为1.03×106．故选：C．4．（4分）如图，直线a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，已知∠1＝42°，则∠2的度数是（）A．12° B．30° C．20° D．25°【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝42°，∴∠2＝∠3﹣30°＝42°﹣30°＝12°，故选：A．5．（4分）图是赵凯同学绘制的疫情防控宣传图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．6．（4分）下列运算中，正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a2）4＝a8 C．a3+a2＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a2）4＝a8，原计算正确，故此选项符合题意；C、a3与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：B．7．（4分）计算的结果为（）A．1 B．﹣1 C． D．【解答】解：原式＝＝＝＝1．故选：A．8．（4分）下列说法正确的是（）A．从小亮，小莹，小刚三人中抽1人参加诗歌比赛，小明被抽中是随机事件 B．要了解学校2000名学生的视力健康情况，随机抽取200名学生进行调查，在该调查中样本容量是200名学生 C．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查 D．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式【解答】解：A、从小亮，小莹，小刚三人中抽1人参加诗歌比赛，小明被抽中是不可能事件，故A不符合题意；B、要了解学校2000名学生的视力健康情况，随机抽取200名学生进行调查，在该调查中样本容量是200，故B不符合题意；C、为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，故C不符合题意；D、了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式，故D符合题意；故选：D．9．（4分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是（）A． B． C． D．【解答】解：∵y＝x+2的图象经过P（m，4），∴4＝m+2，∴m＝2，∴一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（2，4），∴方程组的解是，故选：A．10．（4分）如图，用四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【解答】解：如图，根据题意，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，所以这个小孩走的路线所围成的图形是正方形．故选：D．11．（4分）2020年平阴街道进行拓宽改造，县城面貌焕然一新，拓宽后振兴街主路双向四车道16米宽，两边安装路灯，如图路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．6米 B．（8﹣2）米 C．（8﹣2）米 D．（8﹣4）米【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠PDC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝8米，∠PCD＝60°，∴PB＝＝＝8（米），PC＝＝＝4（米），∴BC＝PB﹣PC＝（8﹣4）米．故选：D．12．（4分）将函数y＝﹣x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【解答】解：如下图，函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，故顶点P的坐标为（1，m+1），令y＝0，则x＝1±，设抛物线于x轴右侧的交点A（1+，0），根据点的对称性，图象翻折后图象关于x轴对称，故翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+m，当x＝4时，y′＝8﹣m，当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；①当点A在直线x＝4的左侧时（直线n所处的位置），即1+＜4，解得：m＜8；当函数在点P处取得最大值时，即m+1≥8﹣m，解得：m≥3.5，当m＝3.5时，此时最大值最小为m+1＝4.5；当函数在x＝4处取得最大值时，即m+1≤8﹣m，解得：m≤3.5，m最大为3.5时，此时最大值为8﹣m＝4.5，故m＝3.5；②当点A在直线x＝4的右侧时（直线m所处的位置），即1+＞4，解得：m＞8；函数的最大为m+1＞9＞3.5；综上，m＝3.5，故选：C．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）分解因式：4ab﹣2a＝2a（2b﹣1）．【解答】解：原式＝2a（2b﹣1），故答案为：2a（2b﹣1）．14．（4分）分式方程＝的解为x＝6．【解答】解：＝，x＝2（x﹣3），解得：x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣3）≠0，∴x＝6是原方程的根，故答案为：x＝6．15．（4分）如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则的长等于π．【解答】解：在△ACO和△ODB中，，∴△ACO≌△ODB（SAS）∴∠AOC＝∠OBD，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，即∠AOB＝90°，由勾股定理得，OA＝OB＝＝，∴的长＝＝π，故答案为：π．16．（4分）小明上下学的交通工，具是公交车，上学、放学都可以坐3路、5路和7路这三路车中的一路，则小明当天上学、放学坐的是同一路车的概率为．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中小明当天上学、放学坐的是同一路车的有3种，则小明当天上学、放学坐的是同一路车的概率为＝；故答案为：．17．（4分）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．上调为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所有的时间大约是8100年．【解答】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的，经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，经过1620×2＝3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，经过1620×3＝4860年，即当6480年时，镭质量缩减为原来的，∴经过1620×4＝6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，此时32×＝1（mg），故答案为：8100．18．（4分）如图，已知等边△ABC边长为6，绕点B顺时针旋转60°得△BCD，点E、F分别为线段AC和线段CD上的动点，若AE＝CF，则点G到AB距离的最小值是．【解答】解：根据旋转可知，△ABC≌△CBD，在等边△ABC和等边△BCD中，AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝∠BAD＝60°，∵AE＝CF，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴△EBF是等边三角形，∴∠FEB＝60°，∵∠CEF+∠AEB＝120°，∠AEB+∠ABE＝120°，∴∠CEF＝∠ABE＝∠CBF，∵∠ECG＝∠BCF＝60°，∴△ECG∽△BCF，∴CG：CF＝CE：CB，∵等边△ABC的边长为6，∴BC＝AC＝6，设AE＝CF＝x，则CE＝6﹣x，∴CG：x＝（6﹣x）：6，∴CG＝，当x＝3时，CG取得最大值，此时BG取得最小值6﹣＝，过G作GH⊥AB于点H，如图所示：∵∠HBG＝60°，∴GH＝BG•sin∠HBG＝BG，当BG取得最小值时，GH取得最小值，故答案为：．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：（）0+﹣|﹣3|+tan45°．【解答】解：（）0+﹣|﹣3|+tan45°＝1+3﹣3+1＝3﹣1．20．（6分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．【解答】解：由①得：x≥﹣1，由②得：x＜2，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，．21．（6分）如图，矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．证明：BN＝AD．【解答】证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS），∴BN＝AD．22．（8分）为了解七年级学生的长跑水平，我校对全体七年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x＜80，D.80≤x＜90，E.90≤x≤100），绘制了不完整的统计图表：（1）收集、整理数据20名男生的长跑成绩分别为：76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88．女生长跑成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89．（2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：长跑成绩平均数中位数众数男生8588.5b女生81.8a74请根据以上信息，回答下列问题：（1）①补全频数分布直方图；②填空：a＝79.5，b＝89；（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．（3）如果我校七年级有男生500名，女生400名，请估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数．【解答】解：（1）①80～90分的人数为20﹣（1+2+3+6）＝8（人），补全直方图如下：②男生成绩的众数b＝89，女生成绩的中位数a＝＝79.5，故答案为：79.5、89；（2）男生长跑成绩好，因为男生长跑成绩的平均数大于女生，所以男生长跑成绩比女生好．（3）∵样本中女生A、B组人数为20×（10%+10%）＝4（人），C组人数为6人，∴女生长跑成绩不低于80分的学生人数为10人，所以估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数500×+400×＝350+200＝550（人）．23．（8分）如图，点O是Rt△ABC斜边AB上的一点，⊙O经过点A与BC相切于点D，分别交AB，AC于E，F，OA＝2，AC＝3．（1）证明：AB＝2AC；（2）求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OD，∵BC与⊙O相切于点D，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠ODB，∵∠B＝∠B，∴△ODB∽△ACB，∴＝，∴＝，∴OB＝4，∴AO＝OA+OB＝6，∵AC＝3，∴AB＝2AC；（2）连接OF，过点O作OG⊥AC，垂足为G，∵∠C＝90°，AB＝2AC，∴∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，BC＝AC＝3，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴AF＝OA＝2，∠AOF＝60°，∴∠EOF＝180°﹣∠AOF＝120°，在Rt△AOG中，OA＝2，∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，∴阴影部分的面积＝△BAC的面积﹣△AOF的面积﹣扇形FOE的面积＝AC•BC﹣AF•OG﹣＝×3×3﹣×2×﹣π＝﹣π，∴阴影部分的面积为﹣π．24．（10分）疫情期间“一方有难，八方支援”，我市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批支援急需地区．具体运输情况如表：第一批第二批A型货车的辆数（单位：辆）12B型货车的辆数（单位：辆）33累计运输物资的吨数（单位：吨）2028备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）第三批需要运送200吨生活物资，计划同时调用A型车不超过20辆和B型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物．若A型车每辆运输成本2000元/次，B型车每辆运输成本1200元/次，请设计最省钱的派车方案，并求出最低成本．【解答】解：（1）设A型货车每辆满载能运x吨生活物资，B型货车每辆满载能运y吨生活物资，依题意得：，解得：．答：A型货车每辆满载能运8吨生活物资，B型货车每辆满载能运4吨生活物资．（2）设调用m辆A型货车，n辆B型货车，依题意得：8m+4n＝200，∴m＝25﹣n．∵，∴10≤n≤50．设派车成本为w元，则w＝2000（25﹣n）+1200n＝200n+50000．∵200＞0，∴w随m的增大而增大，∴当n＝10时，w取得最小值，最小值＝200×10+50000＝52000．答：最省钱的派车方案为：调用20辆A型货车，10辆B型货车，最低成本为52000元．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC＝2，tan∠AOC＝1．（1）求反比例函数解析式；（2）点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC﹣PD|最大时a的值；（3）连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥x轴于E，∴∠CEO＝90°，∵tan∠AOC＝1∴∠COA＝45°，∴∠OCE＝45°，∵OC＝2，∴OE＝CE＝2，∴C（2，2），∵点C在反比例函数图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数解析式为y＝；（2）∵点C（2，2），点O（0，0），∴OC解析式为：y＝x，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC＝OA＝3，BC∥OA，AB∥OC，∴点B（5，2），∴设AB解析式为：y＝x+b，∴2＝5+b，∴b＝﹣3，∴AB解析式为：y＝x﹣3，联立方程组可得：，∴或（舍去），∴点D（4，1）；在△PCD中，|PC﹣PD|＜CD，则当点P，C，D三点共线时，|PC﹣PD|＝CD，此时，|PC﹣PD|取得最大值，由（1）知C（2，2），D（4，1），设直线CD的解析式为：y＝mx+n，∴，解得，∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，得x＝6，∴|PC﹣PD|最大时a的值为6．（3）存在，理由如下：若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形，则①当点A为直角顶点时，如图2，过点A作AC的垂线与y＝交于点M，分别过点C，M作x轴的垂线，垂足分别为点F，G，由“一线三等角”模型可得△AFC∽△MGA，则AF：MG＝CF：AG，∵C（2，2），A（3，0），∴OF＝CF＝2，AF＝1，∴1：MG＝2：AG，即MG：AG＝1：2，设MG＝t，则AG＝2t，∴M（2t+3，t），∵点M在反比例函数y＝的图象上，则t（2t+3）＝4，解得t＝，（负值舍去），∴M（，）；②当点C为直角顶点时，这种情况不成立；综上，点M的坐标为（，）．26．（12分）已知△ACB和△EDB均为直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，直线AE与直线CD交于点M．（1）观察猜想如图①，当∠ABC＝∠EBD＝45°时，线段AE和CD的数量关系是AE＝CD；∠AMC＝45°．（2）探究证明如图②，当∠ABC＝∠EBD＝30°时，线段AE和CD的数量关系是什么？∠AMC的度数又是多少？请说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BC＝9，BD＝6，将△EDB绕点B旋转，在整个旋转过程中，当A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线AE的距离．【解答】解：（1）结论：AE＝CD，∠AMC＝45°．理由：如图①中，设AM交BC于点O．∵△ACB和△EDB均为直角三角形，∠ABC＝∠EBD＝45°，∴△ABC，△DEB都是等腰直角三角形，∴BC＝BC，BE＝BD，∴＝＝，∵∠ABC＝∠DBE＝45°，∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△CBD，∴＝＝，∠BAE＝∠BCD，∴AE＝CD，∵∠AOB＝∠AOM，∴∠AMC＝∠ABO＝45°，故答案为：AE＝CD，45．（2）结论：CD＝AE，∠AMC＝30°．理由：设AM交BC于点O．∵∠ACB＝∠EDB＝90°，∠ABC＝∠DBE＝30°，∴∠ABE＝∠CBD，∵＝＝cos30°＝，∴△CBD∽△ABE，∴＝＝，∠BAE＝∠BCD，∴CD＝AE，∵∠AOB＝∠AOM，∴∠AMC＝∠ABO＝30°．（3）如图③﹣1中，点E在线段AD上时，设AD交BC于点J，过点J作JK⊥AB于K，过点C作CH⊥AD于H．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝9，∴AC＝BC•tan30°＝3，∴AB＝6，在Rt△ADB中，AD＝＝＝6，∵tan∠DAB＝＝，∴＝，∵AK＝JK，设JK＝m，则BK＝m，AK＝m，∴m+m＝6，∴m＝18﹣6，∴JK＝18﹣6，BJ＝2JK＝36﹣12，∴CJ＝BC﹣BJ＝9﹣（36﹣12）＝12﹣27．∴AJ＝＝＝18（﹣），∵CH⊥AJ，∴CH＝＝＝．如图③﹣2中，当点D在线段AE上时，延长DA交BC的延长线于J，过点J作JK⊥AB交BA的延长线于点K，过点C作CH⊥DJ于点H