教研大讲堂：基于数学文化的《多边形的面积》单元统整教学(刘仍轩)

山东省小学数学“教研大讲堂”线上会议山东省教育科学研究院2020年5月14日基于数学文化的《多边形的面积》单

元

统

整

教

学青岛市教育科学研究院刘仍轩依据课标基于教材做研究依据课标基于教材做研究徐云鸿老师多次亲临指导徐云鸿老师多次亲临指导2019年度山东省基础教育教学改革重点项目数学文化教学促进小学生数学核心素养发展的研究项目负责人:徐云鸿老师

敲响数学文化研究的战鼓掀起数学文化研究的扬展数学文化研究的旗帜培育数学文化研究的硕果浪潮顶层设计青岛的浪花2019年上半年之前，青岛市先后承办全国数学文化教学研讨会、全国数学文化优质课比赛，山东省数学文化教学研讨会。

2019年下半年开始，项目正式启动后，青岛市承担了在山东省数学文化研讨会上执教《圆的周长和面积》整合课的任务。徐老师亲自设计，多次指导，这节课和整个活动反响强烈。

为落实省会精神，青岛市召开全市小学数学文化教学研讨会。会议明确：

从教材中数学文化的解析和教材内外数学文化资源的课堂运用等方面形成两个材料。第一个材料第二个材料

青岛市会议的内容和成果得到了徐老师的表扬和肯定，安排我市在山东省首期线上教学会议上进行交流。

胶州团队汇报了我市围绕数学文化教学开展的具体工作。

材料撰写过程回顾及后续安排

结合本学期的研讨活动，从一下和四下入手。

每一单元由两个团队完成，之后汇总完善，形成样章。

召开区市教研员会议，交流经验及问题。

对其余十册进行分工，每一册由两个团队完成后汇总。

目前已基本完成，尚需完善。

择期开会布置，进一步修订。

我们一直强调并坚信：教材研究没有尽头，每一轮材料的修改都意味着提升。单元数学文化分析123目录CONTENTS单元数学文化及其课堂应用单元统整研究《多边形的面积》单元数学文化分析1目录CONTENTS《多边形的面积》1数学文化的类型分析Part从文化的高度来建设数学课程是青岛版教材的一大特色。

按照沈春辉、柳笛、汪晓勤三位专家在《文化视角下“中新美法”四国高中数学教材中“简单几何体”的研究》一文中的观点：数学史数学与现实生活数学与科技数学文化数学与人文艺术本单元共有36项与数学文化有关的内容情境图（C1）5项合作探究及自主练习（C2）31项数学史素养是一位合格数学教师必备的素养。显性数学史数学史

显性数学史包括数学家肖像、数学家生平介绍、数学史事件、概念、公式的历史、历史名题等内容。隐性数学史

隐性数学史包括根据数学史改编或基于历史材料编制的数学问题以及借鉴、重构、历史顺序的概念发生发展过程。（一）数学史（一）数学史

“割补法”源自刘徽提出的“出入相补”（又称“以盈补虚”）。了解数学发展史中的有关知识，有助于学生感悟数学思想，把握数学的本质，增强对有关内容的理解，激发学习数学的兴趣，拓展数学视野，增强数学素养。（一）数学史1信息窗1可以增加“割补法”在我国古代数学史中的历史渊源。增加这部分内容，能够让学生更加完整地了解“割补法”的历史，并为信息窗2用“割补法”推导三角形面积公式打下基础。1信息窗1可以增加“割补法”在我国古代数学史中的历史渊源。2信息窗2建议增加利用“出入相补”的方法推导三角形面积的计算方法。（一）数学史通过小知识的形式，介绍刘徽利用“以盈补虚”的方法推导三角形面积的计算公式。

《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法。如三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”（“广”是指三角形的底，“从”是指三角形的高），也就是用三角形底的一半乘三角形的高。刘徽在《九章算术注》中用“以盈补虚”的方法进行了说明。（一）数学史1信息窗1中可以增加“割补法”在我国古代数学史中的历史渊源。2信息窗2建议增加利用“出入相补”的方法推导三角形面积的计算方法。

3信息窗3继续介绍“出入相补”的方法。（一）数学史（二）数学与现实生活（1项）（1项）（31项）（二）数学与现实生活

一是进一步增加情境真实、贴近学生个人生活的素材，尽可能涵盖数学与生活的各个领域，提高学习兴趣，开阔学生视野。二是本单元的相关链接，介绍了面积单位公顷以及公顷与平方米、平方千米的关系。但这仅仅是一些国际单位，建议以“小知识”的形式补充我国习惯使用的“亩”和“分”等土地面积单位，以及1亩=10分，1公顷=15亩，1亩≈667平方米等。（三）数学与科技总体原则：与时俱进，体现人工智能、大数据、云计算等新科技。（四）数学与人文艺术

本单元“数学与人文艺术”的内容中，数学与建筑方面虽有涉及，但古今中外的著名建筑没有涉及。教材可以增加更多的与建筑相关的素材。（四）数学与人文艺术（1）在信息窗2的练习中增加一道关于建筑方面的练习题埃及的胡夫金字塔是世界上最大的金字塔，是人造建筑的世界奇迹。其高146.5米，底长230米，你能求一求胡夫金字塔一个面的面积大约是多少吗？（四）数学与人文艺术

（2）在认识了公顷及平方千米的基础上，可以增加一些我国著名景点的面积介绍，让学生在进一步感受公顷和平方千米这两个面积单位的同时，领略祖国大好河山及名胜古迹的魅力。2在教材中的运用水平Part

本单元教材中只有一项与数学史相关的内容。

2.其他类型的数学文化运用水平可分离型（16项）C1中1项，C2中15项不可分离型（18项）C1中3项，C2中15项

2.其他类型的数学文化运用水平除数学史以外的35项数学文化内容内在型（34项）外在型（1项）

2.其他类型的数学文化运用水平

教材中可分离型与不可分离型在数量上差不多，说明本单元中数学文化的运用水平比较均衡。其中，不可分离型居多说明本单元知识可以解决多种情境下的生活问题。让数学文化成为数学问题的有机组成部分，让学生真正体验到“数学本质上就是一种文化”。3数学文化在教材中的功能Part

数学文化在教材中的功能提供背景性情境01拓展数学思维与方法03体验文化实践05促进数学与文化交融04提供应用性情境02

数学文化在教材中的功能借鉴Dickenson-Jones的分类，将数学文化功能分为：

数学文化在教材中的功能

根据表3中的数据我们不难发现，数学文化在本单元教材中的功能主要是提供应用性情境，其次是提供背景性情境。其中，C1中的5项数学文化内容，其功能均属于提供背景性资料。

数学文化在教材中的功能

数学史的功能主要是“促进数学与文化交融”；“数学与生活”主要是“提供应用型情境”为主，其次是“提供背景性材料”；“数学与科技”主要是“提供应用性情境”；“数学与人文艺术”主要是“提供背景性情境”及“提供应用性情境”。1.数学文化的类型分析小结：第1篇材料2.在教材中的应用水平3.数学文化在教材中的功能单元数学文化分析12目录CONTENTS单元数学文化及其课堂应用《多边形的面积》教材中的数学文化1课外资源中的数学文化2课堂中运用数学文化3目录Contents教材中的数学文化1Part数学与现实生活数学与科技数学文化

32项

2项数学与人文艺术

1项数学史

1项通过分析本单元的数学文化类型，我们发现：C1中5项C2中27项本单元共有36项与数学文化有关的内容情境窗（C1）5项合作探究及自主练习（C2）31项（C2中）（C2中）（C2中）一、教材中的数学文化一、教材中的数学文化

“割补法”源自于我国古代数学家刘徽所提出的“出入相补”（又称“以盈补虚”）。一、教材中的数学文化公共生活土地使用面积（15项）一、教材中的数学文化（31项）68页第5题71页第5题72页第6题75页第6题85页“我学会了吗”一、教材中的数学文化公共生活土地使用面积（15项）一、教材中的数学文化（31项）劳动生产（共9项）信息窗2的情境图信息窗3的情境图75页第5题一、教材中的数学文化公共生活土地使用面积（15项）一、教材中的数学文化（31项）劳动生产（共9项）学校生活（共3项）71页第3题78页第4题80页第1题一、教材中的数学文化公共生活土地使用面积（15项）一、教材中的数学文化（31项）劳动生产（共9项）学校生活（共3项）公共出行（共1项）84页14题一、教材中的数学文化公共生活土地使用面积（15项）一、教材中的数学文化（31项）劳动生产（共9项）学校生活（共3项）公共出行（共1项）公共设施（共3项）信息窗1的情境图67页第2题一、教材中的数学文化72页第6题一、教材中的数学文化公共生活土地使用面积（15项）（31项）劳动生产（共9项）学校生活（共3项）公共出行（共1项）公共设施（共3项）（1项）（1项）一、教材中的数学文化78页第7题一、教材中的数学文化

可以说本单元教材不论是在“情境图”中，还是“自主练习”中，都选取了大量与生活密切联系的素材，让学生从熟悉的生活情境中学习数学，感受数学与生活的联系，加强学生对多边形面积的理解，减少抽象性。一、教材中的数学文化共2项生物科学共2项数学与科技80页第7题84页13题一、教材中的数学文化人文类数学与人文艺术1项74页第3题课外资源中的数学文化2Part二、课外资源中的数学文化1.《九章算术注》中提出的“出入相补”。（源自《数学文化读本》）二、课外资源中的数学文化1.《九章算术》中提出的“出入相补”。（源自《数学文化读本》）

教材中的割补法源自刘徽在《九章算术注》中提出的“出入相补”法（又称“以盈补虚”法），即一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。

刘徽巧妙地用“出入相补”原理证明了勾股定理。二、课外资源中的数学文化2.我国古代对多边形面积计算的记载。。（源自《数学文化读本》）

《九章算术》中的“方田章”就论述了平面图形面积的算法。书中说：“圭田术曰，半广以乘正从。”（“广”是指三角形的底，“从”是指三角形的高），也就是用三角形底的一半乘三角形的高。刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法进行证明。二、课外资源中的数学文化3.欧几里得在《几何原本》中的相关命题命题Ⅰ.35在同底且在相同的二平行线之间的平行四边形面积彼此相等。命题Ⅰ.36在等底且在相同二平行线之间的平行四边形面积彼此相等。命题Ⅰ.37在同底且在相同二平行线之间的三角形面积彼此相等。命题Ⅰ.38在等底上且在相同二平行线之间的三角形面积彼此相等。命题Ⅰ.41如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在二平行线之间，则平行四边形是这个三角形的二倍。二、课外资源中的数学文化4.我国自古传承的面积单位——“亩”

“亩”字起源于夏、商两代的井田模型。在先秦一些重要文献中，“亩”往往是对“私田”的称呼；“田”往往是对“公田”的称呼。“一亩”按出土的“商鞅方升”测算约相当于0.2907市亩，那么，当时100亩就相当于29.07市亩。

现在，在我国还习惯使用“亩”和“分”作土地面积单位，1亩=10分，1公顷=15亩，1亩≈667平方米。二、课外资源中的数学文化5.我国名胜古迹的面积。

能搜集大量用公顷和平方千米这两个面积单位介绍的我国著名景点的面积。课堂中运用数学文化3Part三、课堂中运用数学文化

教师在教学中充分开展数学文化的教学，能更好地激发学生学习数学的兴趣，拓展学生的视野，提高学生的民族自豪感；帮助学生认识数学、学习数学和应用数学；对培养学生的学习能力、实践能力和创新能力有积极的作用。三、课堂中运用数学文化1.将“割补法”蕴含于数学活动中。课堂中使用数学文化三、课堂中运用数学文化1.将“割补法”蕴含于数学活动中。2.将“以盈补虚”蕴含于数学故事中。课堂中使用数学文化三、课堂中运用数学文化1.将“割补法”蕴含于数学活动中。2.将“以盈补虚”蕴含于数学故事中。3.将“土地面积单位”蕴含于实际应用中。课堂中使用数学文化三、课堂中运用数学文化1.将“割补法”蕴含于数学活动中。2.将“以盈补虚”蕴含于数学故事中。3.将“土地面积单位”蕴含于实际应用中。4.将数学知识蕴含于科学与自然中。课堂中使用数学文化三、课堂中运用数学文化1.教材中的数学文化小结：第2篇材料2.课外资源中的数学文化3.课堂中运用数学文化两篇材料，还有很多不完善的地方。材料修改任重而道远。单元数学文化分析12目录CONTENTS单元数学文化及其课堂应用3单元统整研究《多边形的面积》1.深析教材——深度学习的单元主题和教学目标研究；2.深炼策略——促进学生深度学习策略与方法的研究；3.深研评价——深度学习的教学评估研究；4.深融技术——基于信息技术的深度学习研究；5.深促发展——区域整体深度学习的研究。教材单元结构的三种呈现形式一是单元信息窗并列式。二是单元信息窗围绕一个核心知识点呈现放射式。三是跨单元的并列式。1.单元结构并列式，方法引领为主。2.单元结构放射式，强化意义教学。3.不同单元跨越式，重视方法迁移。跨单元的并列式，还包括从单元整合到研究主题整合。内容相关，策略相通相关链接信息窗1：平行四边形的面积信息窗2：三角形的面积信息窗4：组合图形的面积五、多边形的面积信息窗3：梯形的面积公式探究应用拓展五、多边形的面积信息窗1：平行四边形的面积信息窗2：三角形的面积信息窗3：梯形的面积平行四边形的面积三角形的面积梯形的面积统整前的思考1.教学目标的统整：如何融入核心素养和德育指标？2.教学内容的统整：建构什么样的知识体系和思想脉络？

统整的重点是什么？3.教学过程的统整：每个信息窗教学的侧重点有什么不同？4.数学文化的统整:如何一以贯之地发挥数学文化的教育作用？5.课堂练习的统整：如何构建层次分明的练习题组？6.数学思维的统整：如何循序渐进地提升学生的思维品质？一、教学目标的统整

——立足全局，关注素养1.多元目标导向——明暗相间知识与技能——明线方法与经验——暗线核心素养学科德育多元目标一、教学目标的统整

——立足全局，关注素养1.多元目标导向——明暗相间2.单元目标设定——立足全局

单元目标是起点，分课时目标是路标牌，只有站在整体的高度下通盘规划，确定教学目标，单元教学才可到达预期的重点。——【侯学萍，陈琳.小学数学单元教学的整体设计[J].

教学与管理，2018(29)】立足全局谋局部单元教学目标1.学生通过观察操作，掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式（信息窗1、2、3的知识点），并能正确计算相应图形的面积；了解简单组合图形面积的计算方法（信息窗4的知识点）。2.学生经历探索平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程，条理清楚、有理有据的表达自己的想法，培养观察、比较、推理和概括能力，了解数学史，渗透转化思想，发展空间观念。3.学生能用有关图形的面积计算公式解决简单的实际问题，在解决问题的过程中，感受数学和现实生活的密切联系，体会学数学、用数学的乐趣，在了解数学史的过程中，培养民族自豪感。一、目标的统整

——立足全局，关注素养1.多元目标导向——明暗相间2.单元目标设定——立足全局3.课时目标设定——各有侧重

要站在单元统整的角度，既要让学生经历公式的推导的过程，重视转化思想，又要把这种经验合理迁移，体现出推导方法的多样性，还要体现出统整的价值，在目标制定上体现建立信息窗之间的联系。课时教学目标信息窗1教学目标：（1）学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，掌握平行四边形面积计算方法，并能灵活运用平行四边形面积公式进行正确的计算。（2）学生经历探索平行四边形面积计算公式的过程，培养观察、比较、推理和概括能力，感受出入相补的数学方法，渗透转化思想，积累数学活动经验，发展空间观念。（3）学生经历从现实情境中发现问题、提出问题并解决问题的过程，培养独立思考、长于质疑、善于反思的理性精神，形成一些解决问题的基本策略。在感受数学文化的过程中，了解数学的思维和精神，领略数学的精髓。（4）学生在运用平行四边形面积计算公式解决简单问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体会学数学、用数学的乐趣。课时教学目标信息窗2教学目标：（1）学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，掌握三角形面积计算方法，并能正确计算三角形的面积。（2）学生经历用“合拼”和“剪拼”的方法推导三角形面积公式的过程，感受推导方法的多样化，进一步体会转化思想，培养推理能力，发展空间观念。（3）学生在探索三角形面积计算公式的过程中，能够条理清楚、有理有据的进行表达、推理和数学思考，形成“持之有故，言之有理”的思维习惯和品质；在感受数学文化的过程中，品味数学的文化价值，激发探寻、传承真理的勇气。（4）学生能运用三角形的面积计算公式解决简单的实际问题，在解决问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，激发学生的学习热情和探究精神。课时教学目标信息窗3教学目标：（1）学生在平行四边形、三角形面积推导的基础上，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，掌握梯形面积计算方法，并能正确计算梯形、组合图形等图形的面积。（2）学生经历自主选择方法探索梯形面积计算公式的过程，并在交流中感受推导方法的多样化，进一步渗透转化思想，培养推理能力和空间观念；经历梳理平面图形面积推导方法及计算方法的过程，探索知识间的相互联系，构建知识网络，培养学生分析比较、总结概括和自主建构的能力。（3）学生经历探索方法、梳理知识的过程，培养独立思考、探索创新、长于质疑、善于反思的数学品格；在感受数学文化的过程中领略我国古代数学家的智慧，增强民族自豪感，培养学生乐于探究、勇于挑战的科学精神。（4）学生在解决更多有关平面图形实际问题的过程中，感受更广阔的数学活动空间，体验数学与实际生活的联系，培养热爱数学的情感。一、目标的统整

——立足全局，关注素养1.多元目标导向——明暗相间2.单元目标设定——立足全局3.课时目标设定——各有侧重

总之，在单元目标和课时目标的设定上，要沿着知识、技能和思想、方法两条线，发展学生的空间观念和推理能力，落实理性精神和爱国主义的德育目标，立足全局，各有侧重，建立知识间的内在联系，实现课堂的优质高效。二、教学内容的统整

——突出主线，一脉相承单元统整知识统整方法统整问题情境新旧转化找出关系推导公式转化思想一统整主线：新旧转化—找出关系—推导公式信息窗1经历过程感受转化信息窗2迁移类推加深转化信息窗3应用转化融汇贯通二、教学内容的统整

——突出主线，一脉相承二、教学内容的统整

——突出主线，一脉相承总之，3个信息窗的内容是通过“转化”这一核心串联起来的。不管是目标和内容的系统分解，还是过程与方法的分层推进，包括习题的深入挖掘，都指向转化这一核心，把转化这条主线贯穿在整个单元的学习之中。三、教学过程的统整

——有的放矢，精准发力

转化是一脉相承的主线。思路相同，但细节不同。怎么转化，转化成什么图形？还有别的转化方法吗？这些方法之间的联系是什么？三、教学过程的统整

——有的放矢，精准发力1.教学过程的设计——承前启后

要区分好每个信息窗的侧重点，避免平均用力、重复用力，做到重点突出、层次分明。

要思考前一课时能为后一课时做哪些准备和铺垫，后一课时能把上一节课的哪些知识方法迁移过来。三、教学过程的统整

——有的放矢，精准发力1.教学过程的设计——承前启后2.知识网络的建构——承上启下

要具备联系的眼光，引导学生探寻课时内容之间的联系和递进关系，建立完整的单元知识结构。三、教学过程的统整

——有的放矢，精准发力1.教学过程的设计——承前启后2.知识网络的建构——承上启下3.探究方法的选择——扶放结合方法层面的迁移教师层面的放手学生层面的整理提炼三、教学过程的统整

——有的放矢，精准发力具体教学过程:《平行四边形的面积》：经历过程

感受转化《三角形的面积》：

迁移类推

加深转化《梯形的面积》:应用转化

融汇贯通经历过程感受转化方法一：数方格方法二：割补法推导出公式：

—信息窗1《平行四边形的面积》一引导学生回顾学习的过程新旧转化——找出关系——推导公式一向学生介绍“出入相补”的原理。经历过程感受转化—信息窗1《平行四边形的面积》探究前回顾梳理迁移类推加深转化—信息窗2《三角形的面积》重合旋转平移迁移类推加深转化—信息窗2《三角形的面积》探究后回头看沟通比较找共性是否觉得还缺少点什么？迁移类推加深转化—信息窗2《三角形的面积》传统的数学文化，此时不用，更待何时？点击图片播放动画迁移类推加深转化—信息窗2《三角形的面积》迁移类推加深转化—信息窗2《三角形的面积》传统的数学文化，此时不用，更待何时？虽然很有挑战性，但学生乐于尝试。

学生先后经历“合拼”和“剪拼”过程，既深化了对转化方法的体验，又让前两个窗的方法密切而自然地衔接起来，也为后续梯形面积的探索提供了更多思路。应用转化融会贯通—信息窗3《梯形的面积》

一是应用模型，充分放手，提高能力。二是关注联系，合理沟通，融汇贯通。五年级六年级应用转化融会贯通—信息窗3《梯形的面积》1.转化中

的联系abahahabh转化转化转化2.推导中

的联系abaahahabh推导推导推导推导应用转化融会贯通—信息窗3《梯形的面积》长方形想一想、填一填。（5分）请你回忆长方形、平行四边形、三角形、梯形、正方形、圆的面积公式的推导过程，根据它们在推导过程中存在的关系，将它们分别填在相应位置。

abahahabh转化转化转化推导推导推导应用转化融会贯通—信息窗3《梯形的面积》三、教学过程的统整

——有的放矢，精准发力

综上：

平行四边形的面积推导，重在初步体验转化的方法；

三角形的面积推导，重在对转化方法的拓展；

梯形面积的推导，重在对转化方法的灵活应用，并建构知识网络。四、数学文化的统整

——出入相补，一以贯之

数学文化教学，不是单纯数学史的点缀，而是借助数学文化教学的实施，帮助学生理清数学知识的来龙去脉，了解和把握数学家们的原始思想，感悟数学思想的魅力，从而更好地理解数学的本质。基于数学文化的单元统整教学，就是要一以贯之的发挥数学文化的教育价值。四、数学文化的统整

——出入相补，一以贯之1.统整文化主线——一个核心出入相补

出入相补原理指的是一个平面图形从一处移到他处，面积保持不变；又若把图形分割成若干部分，则各部分面积之和等于原图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。——吴文俊《出入相补原理》

出入相补原理是刘徽发展并系统化了的一种重要的数学方法。化归、数形结合、极限思想、构造数学模型四、数学文化的统整

——出入相补，一以贯之2.统整融入方式——因地制宜数学史融入数学教学的方式：附加式、复制式、顺应式和重构式。类别描述附加式

展示有关的数学加图片，讲述有关数学故事等，去掉后对教学内容没有太大影响。复制式

直接采用历史上的数学问题、解法等。顺应式

根据历史材料，编制数学问题；或对历史上的思想方法进行适当改编。重构式

借鉴或重构知识的发生、发展历史。汪晓勤：《HPM视角下的小学数学教学》四、数学文化的统整

——出入相补，一以贯之2.统整融入方式——因地制宜

借助“出入相补”这个载体，以不同的方式，将数学文化嵌入到各个信息窗的学习中。

让学生沿着古人的足迹，进行穿越时空的对话。

使得数学史在课堂上的出现，不仅仅是一个一个的点，而是串联成线，成为数学文化的载体。

进一步思考：

教材内外有哪些与本单元知识相关的数学文化？

如何对这些数学文化资料进行有效的取舍？

如何将数学文化更好的嵌入到教学之中？类别附加式复制式顺应式重构式四、数学文化的统整

——出入相补，一以贯之3.梳理数学史料——合理取舍

（1）中国古代数学巨著《九章算术》及数学家刘徽《九章算术注》

中的有关素材；

（2）古希腊数学家欧几里得《几何原本》中同底等高、等底等高

平行四边形、三角形面积间关系的命题和证明等。四、数学文化的统整

——出入相补，一以贯之具体实施：《平行四边形的面积》：练习中顺应数学文化《三角形的面积》：

剪拼中感受数学文化《梯形的面积》:多元中拓展数学文化四、数学文化的统整

——出入相补，一以贯之《平行四边形的面积》：以“附加式”和“顺应式”融入数学史

第一次：将“青朱出入图”以微课形式穿插，属于“附加式”融入。

第二次：练习中以“顺应式”融入欧几里得的命题。

（1）学生计算

（2）继续画

（3）微课介绍《几何原本》及相关命题。四、数学文化的统整

——出入相补，一以贯之《三角形的面积》：以“重构式”“附加式”和“顺应式”融入数学史

第一次：引导学生对用剪拼法推导，经历古人探

索三角形面积计算公式的过程，属于“复制式”融入。

第二次：借助微课，采用“附加式”的方式向学生介绍刘徽研究三角形面积的资料。

第三次：在练习中继续以“顺应式”融入欧几里得的命题。四、数学文化的统整

——出入相补，一以贯之《梯形的面积》：以

“附加式”融入数学史借助微课，采用“附加式”向学生介绍《九章算术注》中有关邪田和箕田的面积公式推导。刘徽研究梯形面积的资料。四、数学文化的统整

——出入相补，一以贯之

综上，本单元数学文化的统整，以“出入相补”为载体，一以贯之地将数学文化嵌入到每一个课时中，让学生在亲身探索和体验中清晰地把握数学知识的本质和数学方法的内在联系，感受穿越时空的力量，领略数学文化的魅力。五、课堂练习的统整

——层次分明，拓展思维有效统整练习题是掌握数学知识，形成数学技能、培养解决数学问题的能力、发展学生智力的重要手段，也是提升学生数学素养的重要途径。

在研究练习统整的过程中，既要关注每一个信息窗的内容，也要关注各信息窗之间的联系，以及在整册教材中的地位和作用。五、课堂练习的统整

——层次分明，拓展思维

1.每个信息窗的练习题纵向有层次情境串教学法练习课流程：五、课堂练习的统整

——层次分明，拓展思维

1.每个信息窗的练习题纵向有层次有直接利用公式计算基本图形面积的基本练习

有自己画图或测量才能计算面积或者已知面积求底或高的变式练习有与生活相关的、多步才能解决的综合练习有通过观察、计算、找到规律等类型的发展练习

纵向的、有层次的练习，可以促进学生对每一个信息窗的知识和方法深入理解，为有效实施单元统整打下基础。五、课堂练习的统整

——层次分明，拓展思维

2.信息窗之间的练习题横向有联系

后面几个信息窗的综合练习，可以将前面学过的图形纳入其中。把前面信息窗学习的旧知，作为解决新问题的工具。抓住“等底等高”这个特殊的条件，设计有趣的拓展思维训练题五、课堂练习的统整

——层次分明，拓展思维

3.适当增加拓展练习的比重

五、课堂练习的统整

——层次分明，拓展思维

综上，处理习题要尽可能结合学习内容，挖掘富有思维含量的素材，帮助学生拓展认知视野，深化学生对知识、方法和思想的认知，并把数学文化通过练习的方式进行强化。六、数学思维的统整

基于深度学习和数学文化的单元统整教学，其核心提升是循序渐进地提升学生的思维品质。

——循序渐进，提升能力六、数学思维的统整

1.重视数学思维的问题性问题性是数学思维的特征之一

数学思维的问题性可以触发人的创造性平行四边形的面积三角形的面积梯形的面积

——循序渐进，提升能力六、数学思维的统整

情境串教学法“回归情境，拓展应用”环节引导学生继续解决信息包中的其它