基于等效阻尼的磁悬浮球系统动力学建模与分析

基于等效阻尼的磁悬浮球系统动力学建模与分析

1基于磁悬浮的振动测量系统磁浮技术是利用电磁力将磁体悬浮在空中，不需要任何媒体，只执行固定的非接触式支撑。因此，没有机械摩擦和磨损，可以降低工作能耗和噪声，延长使用寿命，并减少能源损失。与传统的机械接触工作方法相比，它具有非常优秀的特点。目前磁悬浮技术广泛应用于动力系统的控制,完成各种能量的传输,如用磁悬浮技术制造磁悬浮轴承、磁悬浮列车、磁悬浮风力发电设备、磁悬浮陀螺仪等。传统测量方法的阻尼一般需采用排气法、油浸法等来实现,阻尼性能比较局限且不易调整。本文将磁悬浮技术应用于振动测量,克服了传统的测量方法中拾振器所采用的重金属块必须与其它物体相连接而存在的摩擦。利用磁悬浮技术实现检测可使系统中所需质量块非接触地工作,实现无摩擦地测量,改善测试系统的静态特性和动态特性,而且还摆脱了传统测量的阻尼方式,采用模拟电子电路或数字系统实现阻尼系数的调节,采集到的数据还可方便地直接输送至数字系统,便于进行后续的数字信号处理、数字信号滤波等,且易于实现信号的远距离传输。基于磁悬浮技术实现振动测量的这些优异特性,对于了解被测对象的振动状态,评定被测对象的振动等级,寻找被测对象的振源,实现设备监测、分析、故障诊断和预测等均具有广泛的应用前景。2系统电磁力及位置传感器图1为磁悬浮球测振系统,由电磁铁、磁悬浮球、位置传感器构成。磁悬浮球半径R=0.1m,质量m=0.198kg,在磁悬浮球上表面嵌有半径为r=0.02m的圆形永磁片,N极向上。电磁铁线圈供电电源采用双极性直流稳压电源,输出电压E=±15V,输出最大电流I=1.2A。磁悬浮球上切面距电磁铁底部距离y20=0.027m,平衡点处电磁铁电流i0=0.5A。系统电磁力为f电磁力=-dWfielddy2f电磁力=−dWfielddy2,(1)式中Wfield表示电磁铁与磁悬浮球之间储存的磁场能,y2表示电磁铁与磁悬浮球之间的绝对位移。电磁铁的有效面积S=0.00126m2,绕组采用线径0.001m的铜导线绕制,匝数N=1341匝,等效电感为L=0.428H,电阻为R=5.2Ω。位置传感器由红外发光管OP133W、红外光电管OP505A构成。PD超前控制电路由运算放大器μA741、功放三极管3DD15、电阻、电容等构成。3电磁铁系统的安设计方案根据牛顿第二定律,磁悬浮球的动力学方程为mg-f电磁力(i,y2)=md2ydt2mg−f电磁力(i,y2)=md2ydt2,(2)式中:m为磁悬浮球质量;f电磁力(i,y2)为电磁铁在磁悬浮球上产生的电磁力,该电磁力是电磁铁电流和磁悬浮球与电磁铁之间位移y2的函数,呈非线性关系;y为磁悬浮球的绝对运动位移;d2ydt2d2ydt2为磁悬浮球的绝对加速度。设在平衡点处的电磁力为f电磁力(i0,y20),将电磁力f电磁力(i,y2)在平衡点(i0,y20)处进行泰勒级数展开,因平衡时电流变化和位移变化量均很小,忽略高次项,则f电磁力(i,y2)=f(i0,y20)+∂f∂i|(i0,y20)Δi(t)+∂f∂y|(i0,y20)Δy2(t)=f(i0,y20)-kiΔi(t)-kyΔy2(t)。(3)f电磁力(i,y2)=f(i0,y20)+∂f∂i|(i0,y20)Δi(t)+∂f∂y|(i0,y20)Δy2(t)=f(i0,y20)−kiΔi(t)−kyΔy2(t)。(3)式中ki、ky分别为电流变化和位移变化系数,将式(1)代入,得ki=-∂∂i(-dWfielddy2)=-μrμ0Ν2Si0y220ki=−∂∂i(−dWfielddy2)=−μrμ0N2Si0y220,(4)ky=-∂∂y2(-dWfielddy2)=μrμ0Ν2Si20y320ky=−∂∂y2(−dWfielddy2)=μrμ0N2Si20y320。(5)将电磁铁匝数N,有效面积S,磁悬浮球质量m,平衡点电流i0,平衡点位移y20,相对磁导率μr,空气磁导率μ0代入,得ki=-7.9N/A,(6)ky=146.67N/m。(7)平衡点处,向上的电磁力与磁悬浮球的质量相等,将磁场力表达式(3)代入式(2)并整理得到平衡点附近动力学方程为kiΔi(t)+kyΔy2(t)=md2ydt2kiΔi(t)+kyΔy2(t)=md2ydt2。(8)电磁铁可等效为电阻与电感的串联,由基尔霍夫电压定律得到u(t)=Ri(t)+dψ(t)dt=Ri(t)+μΝ2Sy2(t)di(t)dt-μΝ2Si(t)y22(t)dy2(t)dt。(9)u(t)=Ri(t)+dψ(t)dt=Ri(t)+μN2Sy2(t)di(t)dt−μN2Si(t)y22(t)dy2(t)dt。(9)已知L0=μΝ2Sy20(t),在平衡点(i0,y20)附近有i=i0+Δi,y2=y20+Δy2,u=u0+Δu,将式(9)泰勒级数展开,因平衡时的电流变化、位移变化和电压变化均很小,忽略高次项,有Δu(t)=RΔi(t)+L0dΔi(t)dt+kidΔy2(t)dt。(10)式中L0为平衡点处电磁铁电感;ki为式(3)电流变化系数。分别对式(8)和式(10)取拉氏变换,有kiΔi(s)+kyΔy(s)=ms2Δy(s),(11)ΔU(s)=RΔi(s)+L0sΔi(s)+kisΔy(s)。(12)由式(10)得到该系统位移对电流的传递函数为Η(s)=Δy(s)Δi(s)=kims2-ky。(13)将m、ki和ky代入式(13)并整理有Η(s)=-39.9(s-27.2)(s+27.2)。(14)式(14)中有27.2和-27.2两个极点,即s平面中含有正的极点,混合磁悬浮球系统为不稳定系统,欲使该系统稳定需加入超前校正环节。超前控制电路由RC电路构成,所选电路如图2所示。则有U2(s)U1(s)=s+1R1Cs+1R1C+1R2C。(15)设计使其零点与式(14)的极点相同,并令C=0.1μF,可解得R1=368kΩ,R2=36kΩ。设计得到的磁悬浮测振系统的控制电路如图3所示。运算放大器IC1、IC2、IC3构成差动放大,由光电管检测到的位移信号接至运放IC1的输入端,由另一光电管检测到的参考信号接至运放IC2的输入端,输出为差动信号,u3与u4之间的电阻、电容构成比例微分运算,实现PD控制,运算放大器IC4和三极管T等实现信号的驱动及放大,三极管T的集电极电流即为电磁铁的控制电流,实现电磁力的控制。控制电路中的电流、电压关系为ic=50ib,(16)ib≈u5300,(17)u5≈248u4,(18)u4≈0.14u3+0.0036du3dt,(19)u3=10u2-9u1,(20)Δu1=CuΔy2。(21)实测光电传感器灵敏度Cu=-10V/m。考虑到微分进入饱和区,实际微分作用需作调整,为原来的1/3。由以上关系式可以得到Δi(t)=371.7Δy2(t)+4.5dΔy2(t)dt。(22)4磁悬浮测振系统的动力学模型无外界振动时,位置传感器测出磁悬浮球所在位置,传感器输出为电压信号,该信号与参考信号相减,参考信号测量的是环境红外光强度,该输出信号也为电压信号,由差动放大电路实现测量信号与参考信号的减法运算,环境红外光的测量是为了消除外界环境中红外光强度变化引起的位置传感器输出误差,该差动信号传送至控制电路,控制电路输出电流信号,控制电磁铁电流的大小,从而改变磁悬浮球所受向上磁力的大小使之与磁悬浮球的重力相等而使悬浮球在平衡点附近悬浮起来。外界激振器产生振动时引起测振系统壳体产生相应的振动,电磁铁与磁悬浮球出现相对位移。这个由可控磁场力构成的测振系统,相当于由质量-弹簧构成的振动系统,弹簧振动系统的弹簧刚度系数以及弹簧振动系统阻尼器提供的阻尼力在磁悬浮测振系统中均由控制器中比例、微分电路提供。测得悬浮球与电磁铁的相对位移变化,即可测得振动物体的振动。图4为测振系统原理图。y1为电磁铁底部的运动,y2为磁悬浮球的上切面相对于电磁铁底部的相对运动,可分别表示为y1=y10+Δy1,(23)y2=y20+Δy2。(24)其中y10表示初始时刻电磁铁底部的绝对位移,Δy1表示t时刻电磁铁围绕其初始位置y10的相对位移,y20表示初始时刻磁悬浮球相对于电磁铁底部的绝对位移,Δy2表示t时刻磁悬浮球围绕起初始位置y20的相对位移。磁悬浮球的绝对运动为y=y1-y2=y10+Δy1-y20-Δy2。(25)把式(25)代入平衡点附近动力学方程(8),有kiΔi(t)+kyΔy2(t)=md2Δy1(t)dt2-md2Δy2(t)dt2。(26)将式(22)中Δi(t)及m、ki、ky代入式(26),整理得到磁悬浮球测振传感器的动力学方程为md2Δy2(t)dt2+cdΔy2(t)dt+kΔy2(t)=-md2Δy1(t)dt2。(27)可见,该系统为二阶系统,与质量-弹簧振动系统的动力学方程一样。式中m、c和k分别为磁悬浮球的质量、等效阻尼系数和等效弹簧弹性力系数(刚度),将m、ki、ky等数值代入得0.198d2Δy2(t)dt2+35.55dΔy2(t)dt+2789.76Δy2(t)=-0.1985d2Δy1(t)dt2。(28)根据弹簧测振系统的分析方法可知,运动系统的固有角频率为ωn=√km=118.7rad·s-1,固有频率为fn=ωn2π=18.89Hz,运动系统的阻尼率为ξ=c2√mk=0.76。通过上述分析,磁悬浮测振控制系统的振动方程为二阶系统,Δy2(t)和dΔy2(t)dt项系数均由控制系统来实现,体现在磁悬浮球运动越快,电磁铁的电磁力的变化强度也越大,方向与磁悬浮球运动方向相反。该项作用为0.05s固定的时间间隔,每个周期电磁力的峰值根据磁悬浮球的位置进行调节控制。该固定时间间隔的长度是由控制系统的延迟决定的。5标准曲线法测定磁悬浮球质量m将磁悬浮球测振系统和激振装置紧密固定于振动实验台,启动激振装置,则实验台将产生振动,连带磁悬浮球测振系统的壳体振动,此时悬浮球将获得表征振动幅值和频率的相对位移,也就是磁悬浮球作为拾振器获得振动信号,位移传感器采集该信号并通过调理电路放大滤波,经虚拟示波器记录和上传数据给PC机,在PC机上运行时频分析软件,将信号以位移波形显示,并进行时域、频域分析处理。当未加外界振动时,测得的磁悬浮球相对位移波形及通过频谱分析得到的自功率谱如图5所示。当将磁悬浮球质量减小为m=126.5g,无外加振动的情况下所测得的位移波形及通过频谱分析得到的自功率谱如图6所示。比较图5和图6可以看出磁悬浮球测振系统的固有振荡频率随磁悬浮球质量m的减小而增大,m为198.5g时固有频率是19Hz,m为126.5g时的固有频率是26Hz。图7和图8中激振器振动频率为50Hz,磁悬浮球质量分别为m=198.5g和m=126.5g所测得的位移波形及通过频谱分析得到的自功率谱。由图7和图8可见,无论磁悬浮球质量m是198.5g还是126.5g,自功率谱峰值均出现在频率f=50Hz处,恰与激振器振动频率相符。但后者因质量小,易受干扰,在f=100Hz处出现了一个倍频峰值。图9中用同一激振器,距离检振系统50cm,磁悬浮球质量为m=198.5g时,所测得的位移波形及通过频谱分析得到的自功率谱,其测量得到峰值较距离检振系统10cm时小。通过以上分析可见,质量大的磁悬浮球测振系统固有频率低,测量范围较大。本测振系统最大控制电流1.2A,悬浮球最大质量为198.5g,测振效果最佳。6振动系统及故障诊断由上可见,通过磁悬浮球测振系统可以测量系统的固有频率,由此可以确定等效阻尼系数c和等效弹簧弹性力系数k,在有外界振动