大学物理刚体力学基础课件

二、

刚体定轴转动的描述

若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运动，这种运动称之为转动。该直线称为转轴。

二、刚体定轴转动的描述若物体在运动过程中，其所1

若转动轴固定不动，即既不能改变方向又不能平移，这个转轴为固定轴，这种转动称为定轴转动。

我们只讨论定轴转动。OZ１、转动瞬轴、定轴转动

若转轴的方向或位置在运动过程中变化，这个轴在某个时刻的位置称为该时刻的转动瞬轴。

若转动轴固定不动，即既不能改变方向又不能平移，这个转轴2垂直于转动轴的平面为转动平面。

１）角量描述：角位移角速度角加速度

由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部可用。

以转动平面与轴的交点为原点，任引一射线为极轴，原点引向考察点的矢径与极轴的夹角

为角位置，并引入

0

x

2、定轴转动的角量描述垂直于转动轴的平面为转动平面。１）角量描述：角位移角速度3２)刚体定轴转动的特点所有质点的角量都相同

；质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比

。２)刚体定轴转动的特点所有质点的角量都相同；4一、力矩1、力对固定点的力矩

1）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即

力矩是矢量，M

的方向垂直于r和F所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。2）力矩的单位、牛·米(N·m)o

m3-2力矩

刚体定轴转动的转动定律一、力矩1、力对固定点的力矩1）定义：作用于质点的力对惯53）力矩的计算：

M的大小、方向均与参考点的选择有关※在直角坐标系中，其表示式为3）力矩的计算：M的大小、方向均与参考点的选择有关※6

力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列Ｍx,My,Mz

,即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。

２、力对轴的矩：

设力Ｆ的作用线就在Z轴的转动平面内，作用点到Ｚ轴的位矢为r，则力对Ｚ轴的力矩为·式中为力F到轴的距离若力的作用线不在转动在平面内，则只需将力分解为与轴垂直、平行的两个分力即可。rF力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列71.力对固定点的力矩为零的情况：

力F等于零，力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点,即，有心 力对力心的力矩恒为零）。2.力对固定轴的力矩为零的情况：

有两种情况,B）力的方向沿矢径的方向（）有心力的力矩为零A)1.力对固定点的力矩为零的情况： 力F等于零，2.力对固定轴83.质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零3.质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零9二、刚体定轴转动的转动定律：刚体绕定轴转动，在刚体上取一质元，绕轴作半径的圆周运动，作用在质点上的合力矩由牛顿第二定律可知则质点所受力矩二、刚体定轴转动的转动定律：刚体绕定轴转动，在刚体上取一质10对刚体所受所有力矩求和得：由于刚体各质点相对轴距离不变，令对刚体所受所有力矩求和得：由于刚体各质点相对轴距离不变，令112、刚体定轴转动的转动定理

作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。

转动定律说明了J是物体转动惯性大小的量度。因为：2、刚体定轴转动的转动定理作定轴转动的刚体，其转动角加速12即J越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，J越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态的能力越弱，或者说转动惯性越小。

如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？MM即J越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性13

转动惯量计算举例：转动惯量的单位：千克·米2（kg·m2）4、转动惯量的计算对于单个质点质点系若物体质量连续分布，转动惯量计算举例：转动惯量的单位：千克·米2（kg·m214解(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直例如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并与棒垂直.在棒上任取一质元，其长度为dx，距轴O的距离为x，设棒的线密度(即单位长度上的质量)为

，则该质元的质量dm＝λdx.该质元对中心轴的转动惯量为整个棒对中心轴的转动惯量为解例如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量：在棒15(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为由16解(1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为例设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.解(1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图17则整个圆盘对中心轴的转动惯量为(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)

，则小圆环的质量dm＝σdS＝σ2πrdr，该小圆环对中心轴的转动惯量为以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转动惯量不同.则整个圆盘对中心轴的转动惯量为(2)求质量为m，半径为R的圆18(2)质量元的选取：线分布面分布

体分布(1)刚体的转动惯量

以上各例说明：线分布体分布面分布与刚体的总质量有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。(2)质量元的选取：线分布面分布体分布(1)刚体的转动惯19(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于

定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对20例如图(a)所示，质量均为m的两物体A，B.A放在倾角为α的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连.定滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中张力和及物体的加速度a(轮轴光滑).解物体A，B，定滑轮受力图见图2.37(b).对于作平动的物体A，B，分别由牛顿定律得对定滑轮，由转动定律得例如图(a)所示，质量均为m的两物体A，B.A放在倾角21由于绳不可伸长，所以联立式①，②，③，④，⑤得由于绳不可伸长，所以联立式①，②，③，④，⑤得22例转动着的飞轮的转动惯量为J，在t＝0时角速度为.此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为k(k为大于零的常数)，当ω＝

时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？解(1)由题知，故由转动定律有即将代入，求得这时飞轮的角加速度为例转动着的飞轮的转动惯量为J，在t＝0时角速度为23(2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即分离变量，并考虑到t＝0时，

，两边积分故当时，制动经历的时间为(2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即分离241、转动动能

可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。注意比较转动动能平动动能i质点的动能

整个刚体的动能—对i求和3-3刚体定轴转动的动能定理1、转动动能可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量252、力矩的功对于i质点其受外力为Fi，对i求和，当整个刚体转动d

，则力矩的元功

式中M为作用于刚体上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于力矩与角位移之乘积（∵内力矩之和为零）

∴当刚体转过有限角时，力矩的功为2、力矩的功对于i质点其受外力为Fi，对i求和，当263、刚体定轴转动的动能定理：力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。3、刚体定轴转动的动能定理：力矩对刚体所做的功，等于刚体转274、刚体的势能其中m为刚体的总质量,yc为刚体质心的高度。

质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质心的位置为它的几何中心。OXYmiMC4、刚体的势能其中m为刚体的总质量,yc为刚体质心的高度。28例如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角时中心点C和端点A的速度.解棒受力如图2.39所示，其中重力G对O轴的力矩大小等于，是θ的函数，轴的支持力对O轴的力矩为零.由转动动能定理，有等式左边的积分为重力矩的功.即式中

是棒的质心所在处相对棒的质心C在最低点(即棒在竖直位置处)的高度.

例如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点29则中心点C和端点A的速度分别为将及

代入①式，得则中心点C和端点A的速度分别为将30§3-4刚体定轴转动的角动量定理

角动量守恒定律§3-4刚体定轴转动的角动量定理31一、

质点的角动量

在质点的匀速圆周运动中，动量mv不守恒，但

角动量的引入：开普勒行星运动定律的面积定律

许多实例都说明是一个独立的物理量，再考虑到行星的质量m为恒量，一、质点的角动量在质点的匀速圆周运动中，动量m32

在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须引入一个新的物理量－－角动量L，来描述这一现象。

卫星地球+在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星33１、质点对固定点的角动量

动量为mv的质点，对惯性系内某参考点0的角动量，等于质点对该参考点的位矢r与其动量mv的矢积。

角动量是矢量，角动量L

的方向垂直于r和mv所组成的平面，其指向可用右手螺旋法则确定。注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L画在参考点上。L的大小为·L１、质点对固定点的角动量动量为mv的质点，对惯34★角动量的单位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。

★当质点作圆周运动时,有v=r

,且r与v互相垂直，故有★是相对量：与参照系的选择有关，与参考点的选择有关L＝rmv=mr2

★角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。★角动量的单位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1352、质点对轴的角动量☆假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为r，则质点对z轴的角动量为，方向沿z轴，可正、可负☆质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量在转动平面内的分量；或运用坐标分量式求得：2、质点对轴的角动量☆假定质点的动量就在转动平面内，且质点36

质点的角动量定理１、对点的角动量定理（微分形式）若用r叉乘牛顿定律即式中r是质点对参考点o的位矢。

又于是有或

即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。质点的角动量定理１、对点的角动量定理（微分形式）若用37２、角动量定理的积分形式：

叫冲量矩*：M和L必须是对同一点而言a、对点的角动量守恒律若，则

质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。

外力距对某固定点的冲量距等于质点对该点的角动量的增量。＊若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。质点角动量守恒定律２、角动量定理的积分形式：叫冲量矩*：M和L38b、对轴的角动量守恒律：

若Mz=0，则Lz=常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩为零），则质点对该轴的角动量守恒。b、对轴的角动量守恒律：若Mz=0，则Lz39二、

质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理

i质点对固定点O的角动量定理设有一质点系，共有n个质点，其第i个质点受力为则i质点对固定点o的角动量定理为二、质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理40

对i求和——质点系对固定点O的角动量定理由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内力矩之总和为零，于是有（i)内力矩对系统的总角动量无贡献，（与质点系的动量定理相似）对i求和——质点系对固定点O的角动量定理由于内力成对出现41(iii)质点系对固定点的角动量定理的物理意义：质点系对o点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。(ii)在质点系的情况下，求外力对固定点的力矩之和时，不能先求合力，再求合力矩。只能说外力矩之和不能说合外力之矩。(iii)质点系对固定点的角动量定理的物理意义：质点系对422、质点系对轴的角动量定理如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。

式中ri为i质点到z轴的距离，

i

是vi与ri间的夹角。

若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度

作圆周运动，则这时则有

为简单记只讨论沿z轴的角动量定理——这时组成质点系的n个质点位于z轴的转动平面内，于是有2、质点系对轴的角动量定理如果将作用于质点系上的外力矩之矢43将其与线动量 相比

m

表示物体的平动惯性，则J表示转动惯性，故将命名为对轴的转动惯量，（式中ri

为mi

到轴的距离）即：若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度

作圆周运动，则这时系统对轴的角动量为

此时质点系对轴的角动量定理为将其与线动量 相比m表示物体的平动惯性，则J441、对轴的角动量定理已知质点对轴的角动量定理的积分形式为可以证明，这个结论对刚体定轴转动同样成立，同时考虑到

即：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内角动量的增量。这一关系称刚体的角动量定理。三、

刚体组对轴的角动量定理及其守恒定律1、对轴的角动量定理已知质点对轴的角动量定理的积分形式为452、定轴转动的角动量守恒若Mz外＝0，

若外力对Ｚ轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对Ｚ轴的角动量守恒，称之为刚体对轴的角动量守恒定律。

若为刚体，当角动量守恒时，因J＝常数，则亦为常数，这与转动定律是一致的。2、定轴转动的角动量守恒若Mz外＝0，若外