道路通行能力数学建模

道路通行能力数学建模

0道路通行能力确定模型及模型的建立由于道路和城市的交通流密度高，连续性强，公交车被占用，这也会降低该路段所有车道的交通能力。即使时间短，也会导致车辆轨道拥堵。如果处理不当，也会发生区域拥堵。大量道路占用的情况复杂。正确估计道路占用对道路交通的影响，正确预测道路占用对道路交通的影响，为交通管理部门提供理论依据，包括道路停车和非港湾公交车的配置，以模拟国内外相关文献。有很多关于道路运输能力的文献。根据《道路建设规范规范》和《道路技术规范》，相关处理和引入了改进系数，并介绍了确定道路运输能力影响道路运输能力的模型。在这项工作中，我们使用了2013年全国学生数学建模比赛a和b的数据。其中，a组（视频1）和b组（视频2）中的两个交通事故位于同一路段的同一横截面上，两条车道完全占据了两条车道。我们试图解决以下问题。问题1:根据视频1事故所处横断面从交通事故发生至撤离期间车流量的统计结果,描述该路段在这段时间内的实际通行能力的变化过程.问题2:对比视频1、2,分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异.问题3:构建模型,分析车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系.问题4:当路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零,且事故持续不撤离.估算从事故发生开始,经过多长时间,车辆排队长度将到140m?1图形的变化1)当某路段发生事故时,其上游车流量不会因此发生改变;2)附件中的图形是根据实际情况,严格按照一定比例制成的;3)道路中岔路口对堵塞车流长度的影响不计.2模型的构建和求解2.1建立数学模型题目要求描述事故所处横断面实际通行能力的变化过程.首先可以通过查阅国家道路相关行业标准获得“道路实际通行能力”等专业词汇的定义及相关评价标准;再采用合理方式对视频1中事故发生时期进行分段,同时根据相应的标准进行统计、分析和构建相关的数学模型;最后统筹所有的资料和分析结果,对事故所处横断面实际通行能力的变化进行清晰准确的描述和呈现.2.1.1实际通行能力测试首先对可能通行能力进行求解.根据可能通行能力的计算为了描述事故发生处横断面的实际通行能力变化过程,首先考虑将事故发生到撤离这段时间分成若干个时间段传统的划分方法以标准时间为根据,划分为相同时间长度的时间段,如16:40-1641,16:41-16:42.但在本题中,若以此方法对视频1进行划分将会产生很大的误差因为视频1中所处地点上游不远处即有一个红绿灯点,这对事故点位置的车流影响非常大.通过分析发现当上游交叉路口为红灯时,会在红灯处累计一定的车流,而在绿灯时,这些车流会通过交叉路口到达事故所在道路,这就造成了车流量的一个宏观周期性,所以,为更有效更准确统计出事故后的实际通行能力的变化过程,以每一次上游交叉口处由红绿灯导致的车流量周期性变化规律为划分依据,将视频1事故发生期间的总时段划分为六个主要时间区段,其中排除掉视频1中缺失时间段的影响.六个时间段对应的时间如下:其次,分析实际通行能力.步骤一:求出该路段在理想状况下的基本通行能力.基本通行能力是指,在理想的道路、交通控制和环境条件下,一条车道的横断面上,不论服务水平如何,1小时能通过的“标准车辆”(通常指小客车)的最大辆数.作为理想的道路条件,主要的车道宽度不小于3.75m,路旁的侧向余宽不小于1.75m,纵坡平缓并有开阔的视野、良好的平面线性和路面状况.并且,主要通行车辆为标准型汽车,在一条车道上以相同的速度连续不断地前行,各行驶车辆之间保持与车速相适应最小的车距,并且无任何方向的干扰.在这种条件下,计算所得的单位时间最大通过辆数,即为基本通行能力,其公式如下其中,t0为最小车头时距,l0为最小车头间距,v为行车速度.又其中,lc为标准车辆长度,lf为司机刹车反应时间内所行驶距离,lz为汽车刹车后的制动距离,la为安全间距.步骤二:计算可能通行能力可能通行能力是指,在考虑到道路和交通条件的限制后,对基本通行能力进行修正后得到的通行能力,则通行能力的表达公式为:道路通行能力的影响因素较多,其中,最主要的修正系数由以下3种构成:侧向余宽的修正系数λ1,车道宽度的修正系数λ2,车辆类型的修正系数λ3,所以,车道的可能通行能力又可用以下公式表示分析对于侧向余宽修正系数.当侧向余宽越短时,司机越倾向于靠中间行驶.这就对道路的通行能力造成了一定程度的影响.侧向余宽修正系数如表2所示.由于题目没有给出相应的侧向余宽数据,只能利用附件三所给的示意图,人工测出侧道余宽的大概值.测量结果显示,在该示意图中,侧向余宽的宽度与一条车道的宽度相当,由此可知,其右侧侧向余宽大于1.75m,其修正系数为1.也就是说,在这个路段,侧向余宽不会对道路的通行能力造成影响.对于车道宽度的修正系数,如表3所示.在本题中,车道宽度为3.25m,所以由上表知,其影响系数λ2为0.90.对于车辆类型的修正系数,由于道路基本通行能力的计算以所有行车都为标准车型为理想状况,当车流中有多种车时,道路的通行能力势必会下降.可根据车辆类型的换算系数得到其表达式:其中,Pi为i类车在交通量所占的百分比;Ei为i类车的换算系数.该修正系数的具体数值还需根据视频中的统计数据求得.步骤三:计算实际通行能力实际通行能力(记为N实际)是指,在给定“服务水平”的服务交通量Ys(统计所得的单位时段内通行辆数)与基本通行能力之比,再乘以可能通行能力(记为N可能)得到的值,其表达式为2.1.2实际通行能力分析首先对视频1统计数据处理.在计算公路的通行能力时,车辆数都以标准车辆计,所以,应首先将非标准车辆的通过辆数数据转化为标准车辆的通过辆数数据.查阅中华人民共和国行业标准《城市道路设计规范2012》得知,其转化标准如表4.所以视频1统计数据经换算后有表5.对基本通行能力求解,根据公式:要计算该段公路的基本通行能力,还需要自行查找车辆长度,司机刹车反应时间,汽车制动距离,安全车距,该路段的限速度等数据.这其中,大部分数据不是绝对客观的,也没有统一的标准.如果坚持采用该公式进行计算,很可能得出误差较大的数据.基于此,查阅资料发现,在《城市道路设计规范2012》中,给出了不同速度路段的基本通行能力表,如表6.所以,要确定该路段的基本通行能力,只需要确定其速度即可.而根据《公路工程技术标准》(JTGB01-2003)有以下车道宽度与相应速度对照表,如表7.该车道宽度为3.25m,所以,其限速度应为30km/h,进而得每条车道基本通行能力为1600pcu/h.该段路有三条车道,即该段道路的基本通行能力为4800pcu/h,其计算公式为上式中还有车辆类型修正系数λ3未知,车辆类型修正系数的计算公式为根据视频1统计出来的数据知该段路在事故影响时间内只有两种车型通过,分别为大客车和小客车(标准车型),且有E大=2,,经Excel计算得λ3=0.95,从而有最终得,该路段的可能通行能力为4104pcu/h.对事故后各时间段的实际通行能力求解,根据公式利用统计得出的数据,经上式计算得表8.由表8得该路段事故后到撤离前的实际通行能力变化过程折线图,如图1.由此折线图,无法明确观察出视频1中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化规律.通过题目分析以及模型的建立,知道实际通行能力受到道路条件、交通水平等多方面因素的影响,再结合视频1,可以发现在时间段1、3、4、5、6均发生了不同严重程度的堵塞,而交通堵塞也在不同程度上对车流的平均速度产生了影响,由观察可知时间段6中的交通堵塞,持续时长为102s,该次堵塞对车流速度的影响较大,对其实际通行能力也产生了较大影响,符合前面得出的折线图规律.同时,还需要考虑的是,在视频1的条件下,较短时间统计内的统计量较少,统计规律不明显属于正常现象.2.2通行能力影响差异研究结合问题1对于视频1的分析结果和对视频2的分析,说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异.由题目给出的资料,发现视频1与视频2的主要直接差异在于事故车辆所阻碍的车道不同,而对于该条道路来说,同一方向的三条车道所占车流量成一定比例关系,故需要构建相关模型,探索在可通行车道不同的情况下,通行能力和相关车道车流量比例之间的关系,并分析影响差异的因素和影响过程.2.2.1模型2.2模型与问题1中模型一致.2.2.2平均通行能力分析视频2的数据统计结果如下:首先对时间段的划分.根据问题1中所用的划分方法,对视频2进行划分,如表9.其次对各时间段的通行情况进行统计,如表10.从视频2中各时间段对实际通行能力进行计算.利用模型2.1的公式根据表格10中的数据,可以算出视频2各时间段的实际通行能力.见表11.对视频1,2通行能力差异进行对比分析.对视频1和视频2各时段的实际通行能力进行加权平均,得出其各自在交通事故这段时间内的平均实际通行能力,其公式为其中,Ni为第i时段的实际通行能力;ti为i时段的持续时间.经Excel计算得,在视频1时段,该路段的加权实际平均通行能力为963pcu/h;在视频2时段,该路段的加权平均实际通行能力为1093pcu/h.视频2时段发生事故后,车辆畅通状况下明显好于视频1所处时段.由此可知,视频1,2中虽然都发生了交通事故,但因为事故车辆所占用车道的不同,道路实际通行能力也会有一定差异.视频1中,可行车道为右车道.视频2中,可行车道为左车道.根据题目附件三所给的数据,该路段左转车流占35%,右转车流占21%.由此可知,该路段左车道的车流量明显大于右车道的车流量.这就说明:当多车道路段发生交通事故时,事故所占用车道的车流量越大,对该路段实际通行能力的影响越大.2.3交通状况分析要求根据视频1,分析交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系,构建数学模型.此题需要通过对于视频1中的交通状况的分析、模拟等多方因素进行考虑,将视频1中发生交通事故以来的交通状况的变化一般化,寻求以上四个要素之间的一般关系.2.3.1我国交通流以分流状态为前提的分析首先,分析交通事故发生后车流排队的实际形成过程.在交通事故后,路段上的交通流运行状态如下图2:从位置1到位置2,根据车辆的行驶速度,交通流可大概分为三部分:A部分为正在排队的车流,其速度均为0;B部分属于处在半拥堵区的车流,其速度依次增大但均小于正常行驶速度;C部分为正常行驶的车流,其速度与密度均处于一个定值.三部分的车流密度A>B>C.在三种交通流中,A、C为均匀流,而B为不均匀流,它是交通流从C状态转为A状态的过渡状态.一般状况下,排队长度将会随着事故发生的时间增长.过渡状态的存在使得排队长度的计算变得非常复杂,所以,考虑将B部分的不均匀车流转化为A、C部分的均匀车流.这将大大降低建立排队长度模型的难度.引入“交通二流理论”:交通流中的车辆可分为两类:运动车辆和停止车辆.根据交通二流理论,可以将图2中状态B中的车流看作是阻塞交通流A、畅通交通流C的某种加权组合.即可将图2中的三种交通流状态缩减为仅有两种状态.如图3:记交通流二流运行状态下的阻塞交通流的长度为LD′,为与实际运行状况下的排队长度区别开,称其为当量排队长度.下面基于交通流二流理论,利用流量守恒方程建立道路的排队长度模型.步骤一:根据流量守恒原理,可知其中,N0为初始时刻上下游断面之间的车辆数;NU(t)为t时刻通过上游断面的车辆累积数;ND(t)为t时刻通过下游断面的车辆累积数;ΔN(t)为t时刻上下游断面之间的车辆数.步骤二:根据交通流二流理论,有其中,LD′(t)为t时刻的当量排队长度;L为上下游断面之间的距离;km为上下游断面之间的交通流最佳密度;kj为上下游断面之间的阻塞密度.设车道数为n,可以推断,在多车道情形下:步骤三:联立(1)和(2),可得在多车道情形下,LD′(t)表达式如下又因为其中,QU表示上游车流量,QS表示事故横断面车流量.对于ND(t),由问题1可知车流量即通行能力与实际通行能力之间的关系其中,Ys为服务交通量,K为通行能力,所以有将式(4)与式(6)代入(3),化简后得进一步化简得2.3.2ldt与qu的关系现在需要探索变量LD′(t)与N实际,Δt,QU之间的关系,由前面的模型求解知:首先讨论LD′(t)与N实际的关系,固定Δt和QU.第一步:取QU=783,固定Δt,得从上式可知,固定Δt和QU时,LD′(t)和N实际呈反函数关系,其中Δt的取值范围为(0.1,0.4),由Matlab画图可得如图4(a).第二步:取Δt=0.3,固定QU,得其中QU取值范围为(1500,3300),得到图4(b).由图4(a)可见,当QU一定,不同Δt形成的LD′(t)-N实际曲线族为一系列近似平行的反函数曲线,随着LD′(t)增大,反函数曲线族由窄变宽;LD′(t)越大,同一Δt引起的ΔLD′越小,这说明此时LD′(t)对N实际敏感;N实际越小,事故持续时间Δt越大,同一ΔN实际引起的ΔLD′越大,这说明排队长度在事故持续时间越长时对路段的实际通行能力越敏感.由图4(b)可见,当Δt一定,不同QU形成的LD′(t)-N实际曲线族为一系列近似平行的反函数曲线,随着LD′(t)增大,反函数曲线族由窄变宽;N实际越大,同一QU引起的ΔLD′越小,这说明ΔLD′对N实际敏感,路段的实际通行能力越小,上游车流量越大,同一ΔN实际引起的ΔLD′越大.讨论LD′(t)与QU的关系,固定N实际和Δt.第一步:取Δt=0.3,固定N实际,得其中N实际取值范围为(700,1300),得到图5(a).第二步:取N实际=963,固定Δt,得其中Δt取值范围为(0.1,0.4),得到图5(b).由图5(a)可见,当Δt一定,不同N实际形成的LD′(t)-QU曲线族为一系列近似平行的反函数曲线,随着LD′(t)的增大,反函数曲线族由窄变宽;LD′(t)越大,同一N实际引起的ΔLD′越小,这说明此时LD′(t)对QU敏感;QU越小,实际通行能力越强,同一ΔQU引起的ΔLD′越大,这说明排队长度在实际通行能力强时对上游车流量越敏感.由图5(b)可见,当N实际一定,不同Δt形成的LD′(t)-QU曲线族为一系列近似平行的反函数曲线,随LD′(t)的增大,反函数曲线族由窄变宽;LD′(t)越大,同一Δt引起的ΔLD′越小,这说明此时LD′(t)对QU敏感;QU越小,事故持续时间越短,同一ΔQU引起的ΔLD′越大,这说明排队长度在事故持续时间长时对上游车流量越敏感.讨论LD′(t)与Δt的关系,固定N实际和QU.第一步:取QU=783,固定N实际,得:其中N实际的取值范围为(700,1300),得到图6(a).第二步:取N实际=963,固定QU,得:其中QU的取值范围为(1500,3300),得到图6(b).由图6(a)可见,当QU一定,不同N实际形成的LD′(t)-Δt曲线族为一系列不平行的正相关曲线.事故持续时间越长,曲线族发散,同一ΔN实际引起的ΔLD′越大,这说明排队长度对事故持续时间较敏感;道路的实际通行能力越大,同一Δt引起的ΔLD′越大,这说明排队长度在道路实际通行能力大时对事故持续时间越敏感.由图6(b)可见,当N实际一定,不同QU形成的LD′(t)-Δt曲线族为一系列不平行的正相关曲线.情况与图6(a)类似,说明排队长度在上游车流量越大时对事故持续时间越敏感.由以上的定性分析可知,LD′(t)对N实际、QU和Δt均具敏感,现通过偏微分方法进一步做定量分析,称为自变量对因变量的灵敏度分析.对各变量的一阶偏导数为